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6.4.3 第2课时 正弦定理
学习目标 把握航向 目的明确
1.能借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系并掌握正弦定理.
2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题.
知识梳理 回顾教材 夯实基础
知识点一 正弦定理
文字语言 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比都相等，该比值为三角形外接圆的直径.
符号语言 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则＝＝
知识点二 正弦定理的变形公式
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，其中R为△ABC外接圆的半径.
(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝(R为△ABC外接圆的半径).
(3)三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.
(4)＝＝＝.
(5)asin B＝bsin A，asin C＝csin A，bsin C＝csin B.
知识点三 正弦定理的证明
(1)在Rt△ABC中，设C为直角，如图，由三角函数的定义：
sin A＝，sin B＝，
∴c＝＝＝＝，
∴＝＝.
(2)在锐角三角形ABC中，设AB边上的高为CD，如图，
CD＝asinB＝bsinA，
∴＝，
同理，作AC边上的高BE，可得＝，
∴＝＝.
(3)在钝角三角形ABC中，C为钝角，如图，
过B作BD⊥AC于D，则
BD＝asin(π－C)＝asin_C，
BD＝csin_A，故有asin C＝csin_A，
∴＝，
同理，＝，∴＝＝.
典例讲解 题型探究 重点突破
题型一 对正弦定理的理解
例1 在△ABC中，若角A，B，C对应的三边分别是a，b，c，则下列关于正弦定理的叙述或变形中错误的是( )
A.a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C B.a＝b sin 2A＝sin 2B
C.＝ D.正弦值较大的角所对的边也较大
答案：B
解析：在△ABC中，由正弦定理得＝＝＝k(k>0)，则a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin C，故a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C，故A正确；当A＝30°，B＝60°时，sin 2A＝sin 2B，此时a ≠b，故B错误；根据比例式的性质易得C正确；大边对大角，故D正确.
反思感悟：如果＝，那么：＝(b，d≠0)(合比定理)；＝(b，d≠0)(分比定理)；＝(a>b，c>d)(合分比定理)；可以推广为：如果＝＝…＝，那么＝＝…＝＝.
跟踪训练1 在△ABC中，下列关系一定成立的是( )
A.a>bsin A B.a＝bsin A C.a
答案：D
解析：在△ABC中，B∈(0，π)，∴sin B∈(0,1]，∴ ≥1，由正弦定理＝得a＝≥bsin A.
题型二 用正弦定理解三角形
例2 (1)在△ABC中，已知c＝10，A＝45°，C＝30°，解这个三角形.
(2)在△ABC中，已知c＝，A＝45°，a＝2，解这个三角形.
解：(1)∵A＝45°，C＝30°，∴B＝180°－(A＋C)＝105°，
由＝得a＝＝＝10.
∵sin 75°＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝，
∴b＝＝＝＝20×＝5＋5.
∴B＝105°，a＝10，b＝5＋5.
(2)∵＝，
∴sin C＝＝＝，
∵C∈(0°，180°)，∴C＝60°或C＝120°.
当C＝60°时，B＝75°，b＝＝＝＋1；
当C＝120°时，B＝15°，b＝＝＝－1.
∴b＝＋1，B＝75°，C＝60°或b＝－1，B＝15°，C＝120°.
反思感悟：(1)已知两角与任意一边解三角形的方法：如果已知三角形的任意两个角与一边解三角形时，由三角形内角和定理可以计算出三角形的另一角，由正弦定理可计算出三角形的另两边.
(2)已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法：首先用正弦定理求出另一边所对的角的正弦值，若这个角不是直角，则利用三角形中大边对大角看能否判断所求这个角是锐角，当已知的角为大边所对的角时，则能判断另一边所对的角为锐角，当已知的角为小边所对的角时，则不能判断，此时就有两组解，再分别求解即可；然后由三角形内角和定理求出第三个角；最后根据正弦定理求出第三条边.
跟踪训练2 (1)在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b等于( )
A.4 B.4 C.4 D.4
(2)在△ABC中，若a＝，b＝2，A＝30°，则C＝______.
答案：(1)C (2)105°或15°
解析：(1)易知A＝45°，由＝得b＝＝＝4.
(2)由正弦定理＝，得sin B＝＝＝.
∵B∈(0°，180°)，∴B＝45°或135°，
∴C＝180°－45°－30°＝105°或C＝180°－135°－30°＝15°.
题型三 判断三角形的形状
例3 在△ABC中，已知a2tan B＝b2tan A，试判断三角形的形状.
解：由已知得＝，由正弦定理得＝.
∵sin A、sin B≠0，∴sin Acos A＝sin Bcos B.即sin 2A＝sin 2B.
∴2A＋2B＝π或2A＝2B.
∴A＋B＝或A＝B.
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.
反思感悟：(1)判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行，既可以转化为边与边的关系，也可以转化为角与角的关系.(2)注意在边角互化过程中，正弦定理的变形使用，如＝等.
跟踪训练3 在△ABC中，bsin B＝csin C且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断三角形的形状.
解：由bsin B＝csin C，得b2＝c2，
∴b＝c，∴△ABC为等腰三角形，
由sin2A＝sin2B＋sin2C得a2＝b2＋c2，
∴△ABC为直角三角形，
∴△ABC为 等腰直角三角形.
习题精练 基础落实 强化落实
选择题
1.下列有关正弦定理的叙述：①正弦定理只适用于锐角三角形；②正弦定理不适用于直角三角形；③在某一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是一定值；④在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝BC∶AC∶AB.其中正确的个数有( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案：B
解析：正弦定理适用于任意三角形，故①②均不正确；由正弦定理可知，三角形一旦确定，则各边与其所对角的正弦的比值也就确定了，所以③正确；由正弦定理可知④正确.故选B.
2.在△ABC中，AB＝c，AC＝b，BC＝a，下列等式中总能成立的是( )
A.asin A＝bsin B B.bsin C＝csin A C.absin C＝bcsin B D.asin C＝csin A
答案：D
解析：由正弦定理＝＝，得asin C＝csin A.
3.在△ABC中，BC＝a＝5，AC＝b＝3，则sin A∶sin B的值是( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：＝＝.
4.在△ABC中，A>B，则下列不等式中不一定正确的是( )
A.sin A>sin B B.cos Asin 2B D.cos 2A答案：C
解析：A>B a>b sin A>sin B，A正确；由于(0，π)上，y＝cos x单调递减，∴cos Asin B>0，∴sin2A>sin2B，∴cos 2A5.在△ABC中，A∶B∶C＝4∶1∶1，则a∶b∶c等于( )
A.4∶1∶1 B.2∶1∶1 C.∶1∶1 D.∶1∶1
答案：D
解析：∵A＋B＋C＝180°，A∶B∶C＝4∶1∶1，∴A＝120°，B＝30°，C＝30°.由正弦定理的变形公式得a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝sin 120°∶sin 30°∶sin 30°＝∶∶＝∶1∶1.
6.在△ABC中，a＝bsin A，则△ABC一定是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
答案：B
解析：∵a＝bsin A，∴＝sin A＝，∴sin B＝1，又∵B∈(0，π)，∴B＝，即△ABC为直角三角形.
7.已知△ABC中，a＝4，b＝4，A＝30°，则B等于( )
A.30° B.30°或150° C.60° D.60°或120°
答案：D
解析：由正弦定理＝得sin B＝＝＝，又∵B∈(0°，180°)，且b>a，B>A，∴B＝60°或120°.
8.在△ABC中，A＝60°，a＝3，则等于( )
A. B. C. D.2
答案：D
解析：利用正弦定理及比例性质，得＝＝＝＝2.
9.在△ABC中，已知B＝60°，最大边与最小边的比为，则三角形的最大角为( )
A.60° B.75° C.90° D.115°
答案：B
解析：设a为最大边，c为最小边，由题意有＝＝，即＝.整理得(3－)sin A＝(3＋)cos A.∴tan A＝2＋，又∵A∈(0°，120°)，∴A＝75°，故选B.
10.在△ABC中，a＝4，b＝，5cos(B＋C)＋3＝0，则角B的大小为( )
A. B. C. D.π
答案：A
解析：由5cos(B＋C)＋3＝0得cos A＝，∴A∈(0，)，∴sin A＝，由正弦定理得＝，∴sin B＝.又∵a>b，∴A>B，且A∈(0，)，∴B必为锐角，∴B＝.
二、填空题
11.在锐角三角形ABC中，角A，B所对的边分别为a，b，若2asin B＝b，则A＝______.
答案：
解析：在△ABC中，利用正弦定理得2sin Asin B＝sin B，又∵sin B≠0，∴sin A＝.又A为锐角，∴A＝.
12.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若＝＝，则△ABC是______.
答案：等腰直角三角形
解析：由题acos B＝bsin A，又由正弦定理asin B＝bsin A，∴sin B＝cos B，又∵B∈(0°，180°)，∴B＝45°.同理C＝45°.故△ABC为等腰直角三角形.
13.在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝30°，c＝150，b＝50，则△ABC的形状是________.
答案：等腰或直角三角形
解析：由＝得sin C＝＝＝，又∵C∈(0°，180°)，∴C＝60°或120°，∴A＝90°或30°，∴△ABC为等腰或直角三角形.
14.在△ABC中，A＝，BC＝3，AB＝，则角C＝______.
答案：
解析：由正弦定理，得sin C＝＝.因为BC >AB，所以A>C，则015.在△ABC中，BC＝a＝15，AC＝b＝10，A＝60°，则cos B＝________.
答案：
解析：由正弦定理得sin B＝sin A＝·sin 60°＝，又b0，∴cos B＝＝ ＝.
三、解答题
16.(1)在△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，已知A＝45°，B＝30°，c＝10，解三角形；
(2)在△ABC中，BC＝a＝4，AC＝b，AB＝c＝2，A＝45°，求b，B和C.
解：(1)因为A＋B＋C＝180°，所以C＝105°.
所以sin C＝sin 105°＝sin(60°＋45°)＝sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°＝.
由正弦定理＝＝，得a＝·c＝10(－1)，b＝＝＝5(－).
所以C＝105°，a＝10(－1)，b＝5(－).
(2)由正弦定理＝得sin C＝＝＝.
∵C∈(0°，180°)，且c>a，C >A，
∴C＝60°或120°，∴B＝75°或15°，
∴sin B＝或，
∴b＝·sin B＝×＝2(±1)，
∴b＝2(＋1)，B＝75°，C＝60°或b＝2(－1)，B＝15°，C＝120°.
17.在△ABC中，若sin A＝2sin Bcos C，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状.
解：方法一 根据正弦定理＝＝.
∵sin2A＝sin2B＋sin2C，
∴a2＝b2＋c2，
∴A是直角，B＋C＝90°，
∴2sin Bcos C＝2sin Bcos(90°－B)＝2sin2B＝sin A＝1，
∴sin B＝.
∵0°∴△ABC是等腰直角三角形.
方法二 根据正弦定理＝＝.
∵sin2A＝sin2B＋sin2C，
∴a2＝b2＋c2，∴A是直角.
∵A＝180°－(B＋C)，sin A＝2sin Bcos C，
∴sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bcos C，
∴sin(B－C)＝0.
又－90°∴B－C＝0，∴B＝C，
∴△ABC是等腰直角三角形.
18.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin A＝acos B.
(1)求B；
(2)若b＝3，sin C＝sin A，求a，c.
解：(1)由bsin A＝acos B及正弦定理，得sin Bsin A＝sin Acos B.
在△ABC中，sin A≠0，∴sin B＝cos B，∴tan B＝.
∵0(2)由sin C＝sin A及正弦定理，得c＝a，①
由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得32＝a2＋c2－2accos B，
即a2＋c2－ac＝9，②
联立①②，解得a＝3，c＝3.
19.已知下列各三角形中的两边及其中一边的对角，判断三角形是否有解，有解的作出解答.
(1)a＝10，b＝20，A＝80°；
(2)a＝2，b＝6，A＝30°.
解：(1)a＝10，b＝20，a讨论如下：
∵bsin A＝20sin 80°>20sin 60°＝10，∴a(2)a＝2，b＝6，a∵bsin A＝6sin 30°＝3，a>bsin A，
∴bsin A由正弦定理得sin B＝＝＝，
又∵0°当B＝60°时，C＝90°，c＝＝4；当B＝120°时，C＝30°，c＝a＝2.
∴当B＝60°时，C＝90°，c＝4；当B＝120°时，C＝30°，c＝2.
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高中数学(新RJ·A)必修第二册6.4.3 第2课时 正弦定理 1/1中小学教育资源及组卷应用平台
6.4.3 第2课时 正弦定理
学习目标 把握航向 目的明确
1.能借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系并掌握正弦定理.
2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题.
知识梳理 回顾教材 夯实基础
知识点一 正弦定理
文字语言 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比都相等，该比值为三角形外接圆的直径.
符号语言 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则＝＝
知识点二 正弦定理的变形公式
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，其中R为△ABC外接圆的半径.
(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝(R为△ABC外接圆的半径).
(3)三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.
(4)＝＝＝.
(5)asin B＝bsin A，asin C＝csin A，bsin C＝csin B.
知识点三 正弦定理的证明
(1)在Rt△ABC中，设C为直角，如图，由三角函数的定义：
sin A＝，sin B＝，
∴c＝＝＝＝，
∴＝＝.
(2)在锐角三角形ABC中，设AB边上的高为CD，如图，
CD＝asinB＝bsinA，
∴＝，
同理，作AC边上的高BE，可得＝，
∴＝＝.
(3)在钝角三角形ABC中，C为钝角，如图，
过B作BD⊥AC于D，则
BD＝asin(π－C)＝asin_C，
BD＝csin_A，故有asin C＝csin_A，
∴＝，
同理，＝，∴＝＝.
典例讲解 题型探究 重点突破
题型一 对正弦定理的理解
例1 在△ABC中，若角A，B，C对应的三边分别是a，b，c，则下列关于正弦定理的叙述或变形中错误的是( )
A.a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C B.a＝b sin 2A＝sin 2B
C.＝ D.正弦值较大的角所对的边也较大
反思感悟：如果＝，那么：＝(b，d≠0)(合比定理)；＝(b，d≠0)(分比定理)；＝(a>b，c>d)(合分比定理)；可以推广为：如果＝＝…＝，那么＝＝…＝＝.
跟踪训练1 在△ABC中，下列关系一定成立的是( )
A.a>bsin A B.a＝bsin A C.a题型二 用正弦定理解三角形
例2 (1)在△ABC中，已知c＝10，A＝45°，C＝30°，解这个三角形.
(2)在△ABC中，已知c＝，A＝45°，a＝2，解这个三角形.
解：
反思感悟：(1)已知两角与任意一边解三角形的方法：如果已知三角形的任意两个角与一边解三角形时，由三角形内角和定理可以计算出三角形的另一角，由正弦定理可计算出三角形的另两边.
(2)已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法：首先用正弦定理求出另一边所对的角的正弦值，若这个角不是直角，则利用三角形中大边对大角看能否判断所求这个角是锐角，当已知的角为大边所对的角时，则能判断另一边所对的角为锐角，当已知的角为小边所对的角时，则不能判断，此时就有两组解，再分别求解即可；然后由三角形内角和定理求出第三个角；最后根据正弦定理求出第三条边.
跟踪训练2 (1)在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b等于( )
A.4 B.4 C.4 D.4
(2)在△ABC中，若a＝，b＝2，A＝30°，则C＝______.
题型三 判断三角形的形状
例3 在△ABC中，已知a2tan B＝b2tan A，试判断三角形的形状.
解：
反思感悟：(1)判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行，既可以转化为边与边的关系，也可以转化为角与角的关系.(2)注意在边角互化过程中，正弦定理的变形使用，如＝等.
跟踪训练3 在△ABC中，bsin B＝csin C且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断三角形的形状.
解：
习题精练 基础落实 强化落实
选择题
1.下列有关正弦定理的叙述：①正弦定理只适用于锐角三角形；②正弦定理不适用于直角三角形；③在某一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是一定值；④在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝BC∶AC∶AB.其中正确的个数有( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.在△ABC中，AB＝c，AC＝b，BC＝a，下列等式中总能成立的是( )
A.asin A＝bsin B B.bsin C＝csin A C.absin C＝bcsin B D.asin C＝csin A
3.在△ABC中，BC＝a＝5，AC＝b＝3，则sin A∶sin B的值是( )
A. B. C. D.
4.在△ABC中，A>B，则下列不等式中不一定正确的是( )
A.sin A>sin B B.cos Asin 2B D.cos 2A5.在△ABC中，A∶B∶C＝4∶1∶1，则a∶b∶c等于( )
A.4∶1∶1 B.2∶1∶1 C.∶1∶1 D.∶1∶1
6.在△ABC中，a＝bsin A，则△ABC一定是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
7.已知△ABC中，a＝4，b＝4，A＝30°，则B等于( )
A.30° B.30°或150° C.60° D.60°或120°
8.在△ABC中，A＝60°，a＝3，则等于( )
A. B. C. D.2
9.在△ABC中，已知B＝60°，最大边与最小边的比为，则三角形的最大角为( )
A.60° B.75° C.90° D.115°
10.在△ABC中，a＝4，b＝，5cos(B＋C)＋3＝0，则角B的大小为( )
A. B. C. D.π
二、填空题
11.在锐角三角形ABC中，角A，B所对的边分别为a，b，若2asin B＝b，则A＝______.
12.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若＝＝，则△ABC是______.
13.在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝30°，c＝150，b＝50，则△ABC的形状是________.
14.在△ABC中，A＝，BC＝3，AB＝，则角C＝______.
15.在△ABC中，BC＝a＝15，AC＝b＝10，A＝60°，则cos B＝________.
三、解答题
16.(1)在△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，已知A＝45°，B＝30°，c＝10，解三角形；
(2)在△ABC中，BC＝a＝4，AC＝b，AB＝c＝2，A＝45°，求b，B和C.
解：
17.在△ABC中，若sin A＝2sin Bcos C，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状.
解：
18.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin A＝acos B.
(1)求B；
(2)若b＝3，sin C＝sin A，求a，c.
解：
19.已知下列各三角形中的两边及其中一边的对角，判断三角形是否有解，有解的作出解答.
(1)a＝10，b＝20，A＝80°；
(2)a＝2，b＝6，A＝30°.
解：
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