6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理
强化训练（答案）
一、选择题
1、从3名女同学和2名男同学中选1人主持主题班会，则不同的选法种数为( )
A．6 B．5
C．3 D．2
解：选B.5个人中每一个都可以主持，所以共有5种选法．
2、满足a，b∈{－1，0，1，2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为( )
A．14 B．13
C．12 D．10
解：选B.方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的情况应分类讨论．①当a＝0时，方程为一元一次方程2x＋b＝0，不论b取何值，方程一定有解．此时b的取值有4个，故此时有4个有序数对．
②当a≠0时，需要Δ＝4－4ab≥0，即ab≤1.显然有3个有序数对不满足题意，分别为(1，2)，(2，1)，(2，2)．a≠0时，(a，b)共有3×4＝12(个)实数对，故a≠0时满足条件的实数对有12－3＝9(个)，所以答案应为4＋9＝13.
3、中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个，已知甲同学喜欢牛、马和猴，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学所有的吉祥物都喜欢，让甲、乙、丙三位同学依次从中选一个作为礼物珍藏，若各人所选取的礼物都是自己喜欢的，则不同的选法有( )
A．50种 B．60种
C．80种 D．90种
解：根据题意，按甲的选择不同分成2种情况讨论：
若甲选择牛，此时乙的选法有2种，丙的选法有10种，共有2×10＝20种不同的选法；
若甲选择马或猴，此时甲的选法有2种，乙的选法有3种，丙的选法有10种，共有
2×3×10＝60种不同的选法．综上共有20＋60＝80种选法．
4、为响应国家“节约粮食”的号召，某同学决定在某食堂提供的2种主食、3种素菜、2种大荤、4种小荤中选取一种主食、一种素菜、一种荤菜作为今日伙食，并在用餐时积极践行“光盘行动”，则不同的选取方法有( )
A．48种 B．36种
C．24种 D．12种
解：由题意可知，分三步完成：
第一步，从2种主食中任选一种有2种选法；
第二步，从3种素菜中任选一种有3种选法；
第三步，从6种荤菜中任选一种有6种选法，
根据分步乘法计数原理，共有2×3×6＝36不同的选取方法.
5、已知某公园有4个门，从一个门进，另一个门出，则不同的走法种数为( )
A．16 B．13 C．12 D．10
解：将4个门编号为1，2，3，4，从1号门进入后，有3种出门的方式，共3种走法，从2，3，4号门进入，同样各有3种走法，共有不同走法4×3＝12(种)．
6、某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B，C，D中选择，其他四个号码可以从0～9这十个数字中选择(数字可以重复)，有车主第一个号码(从左到右)只想在数字3，5，6，8，9中选择，其他号码只想在1，3，6，9中选择，则他的车牌号码可选的所有可能情况有( )
A．180种 B．360种
C．720种 D．960种
解：按照车主的要求，从左到右第一个号码有5种选法，第二个号码有3种选法，其余三个号码各有4种选法．因此车牌号码可选的所有可能情况有5×3×4×4×4＝960(种)．
7、从集合{1，2，3，4，…，10}中，选出5个数组成子集，使得这5个数中任意两个数的和都不等于11，则这样的子集有( )
A．32个 B．34个
C．36个 D．38个
解：将和等于11的数放在一组：1和10，2和9，3和8，4和7，5和6.从每一小组中取一个，有C＝2种，共有2×2×2×2×2＝32个子集．
8、从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为( )
A．24 B．18 C．12 D．6
解：分两类情况讨论：第1类，奇偶奇，个位有3种选择，十位有2种选择，百位有2种选择，共有3×2×2＝12(个)；第2类，偶奇奇，个位有3种选择，十位有2种选择，百位有1种选择，共有3×2×1＝6(个)．根据分类加法计数原理知，共有12＋6＝18(个)．
9、从集合{1，2，3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为( )
A．3 B．4 C．6 D．8
解：以1为首项的等比数列为1，2，4和1，3，9；以2为首项的等比数列为2，4，8；以4为首项的等比数列为4，6，9；把这4个数列的顺序颠倒，又得到另外的4个数列，所以所求的数列共有2(2＋1＋1)＝8(个)．
10、现有5种不同颜色的染料，要对如图所示的四个不同区域进行涂色，要求有公共边的两个区域不能使用同一种颜色，则不同的涂色方法的种数是( )
A．120 B．140 C．240 D．260
解：由题意，先涂A处共有5种涂法，再涂B处有4种涂法，然后涂C处，若C处与A处所涂颜色相同，则C处共有1种涂法，D处有4种涂法；若C处与A处所涂颜色不同，则C处有3种涂法，D处有3种涂法，由此可得不同的涂色方法有5×4×(1×4＋3×3)＝260(种)．
11、如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”．在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是( )
A．60 B．48 C．36 D．24
解：长方体的6个表面构成的“平行线面组”的个数为6×6＝36，另含4个顶点的6个面(非表面)构成的“平行线面组”的个数为6×2＝12，故符合条件的“平行线面组”的个数是36＋12＝48.
12、如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是( )
A．48 B．18
C．24 D．36
解：第1类，对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有2×12＝24(个)；第2类，对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个．所以正方体中“正交线面对”共有24＋12＝36(个)．
二、填空题
13、如图，从A到O有________种不同的走法(不重复过一点)．
解：分三类：第一类，直接由A到O，有1种走法；
第二类，中间过一个点，有A→B→O和A→C→O，2种不同的走法；
第三类，中间过两个点，有A→B→C→O和A→C→B→O，2种不同的走法．
由分类加法计数原理可得共有1＋2＋2＝5(种)不同的走法．
14、已知集合A中有4个元素，B中有3个元素，C中有9个元素，则集合{(x，y，z)|x∈A，y∈B，z∈C}中的元素个数为____________．
解：分三个步骤，第一步确定x，有4种方法，第二步确定y，有3种方法，第三步确定z，有9种方法，由分步乘法计数原理得集合{(x，y，z)|x∈A，y∈B，z∈C}中有4×3×9＝108(个)元素．
15、从A地到B地，每天有直达班车4班；从A地到C地，每天有5个班车；从C地到B地，每天有3个班车，则从A地到B地，每天共有____________种不同的乘车方法．
解：分两类：第一类直接到达，A地到B地，每天有直达班车4班，共有4种方法，
第二类间接到达，从A地到C地，每天有5个班车，从C地到B地，每天有3个班车，共有5×3＝15种方法，根据分类加法计数原理可得共有4＋15＝19种方法．
16、甲、乙、丙三人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回给甲，则不同的传递方式共有________种．
解：分两类：甲第一次踢给乙时，满足条件的有3种传递方式(如图)，
同理，甲先传给丙时，满足条件的也有3种传递方式．
由分类加法计数原理可知，共有3＋3＝6(种)传递方式．
17、有6名同学报名参加三个智力项目，每项限报一人，且每人至多参加一项，则共有____________种不同的报名方法．
解：每项限报一个，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目有4种选法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有6×5×4＝120(种)．
18、从－1，0，1，2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)＝ax2＋bx＋c的系数，则可组成____________个不同的二次函数，其中偶函数有____________个．(用数字作答)
解：一个二次函数对应着a，b，c(a≠0)的一组取值，a的取法有3种，b的取法有3种，c的取法有2种，由分步乘法计数原理知共有3×3×2＝18(个)不同的二次函数．若二次函数为偶函数，则b＝0，同上可知共有3×2＝6(个)偶函数．
19、用0，1，2，3，4，5，6这7个数字可以组成____________个无重复数字的四位偶数．(用数字作答)
解：要完成的“一件事”为“组成无重复数字的四位偶数”，所以千位数字不能为0，个位数字必须是偶数，且组成的四位数中四个数字不重复，因此应先分类，再分步．
①第1类，当千位数字为奇数，即取1，3，5中的任意一个时，个位数字可取0，2，4，6中的任意一个，百位数字不能取与这两个数字重复的数字，十位数字不能取与这三个数字重复的数字．
根据分步乘法计数原理，有3×4×5×4＝240(种)取法．
②第2类，当千位数字为偶数，即取2，4，6中的任意一个时，个位数字可以取除首位数字外的任意一个偶数数字，百位数字不能取与这两个数字重复的数字，十位数字不能取与这三个数字重复的数字．根据分步乘法计数原理，有3×3×5×4＝180(种)取法．
所以根据分类加法计数原理，共可以组成240＋180＝420(个)无重复数字的四位偶数．
20、如图，现要用5种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，共有____________种不同的着色方法．
解：第一步：对Ⅰ着色，不同的选择有5种，
第二步：对Ⅱ着色，不同的选择有4种，
第三步：对Ⅲ着色，不同的选择有3种，
第四步：对Ⅳ着色，因为Ⅳ与Ⅱ，Ⅲ相接，故着色与Ⅱ，Ⅲ都不能同色，不同的选择有3种．
根据分步乘法计数原理，不同的着色方法有5×4×3×3＝180(种)．
21、有10种不同的玩具汽车，9种不同的洋娃娃，8种不同的闪光球，从中任取两种不同类的玩具，共有________种不同的取法．
解：任取两种不同类的玩具，有三类，第1类，取玩具汽车、洋娃娃各一种；第2类，取洋娃娃、闪光球各一种；第3类，取玩具汽车、闪光球各一种．第1类中根据分步乘法计数原理知，有10×9＝90(种)不同的取法；第2类中有9×8＝72(种)不同的取法；第3类中有10×8＝80(种)不同的取法．由分类加法计数原理知，共有90＋72＋80＝242(种)不同的取法．
22、在三位正整数中，若十位数字小于个位和百位数字，则称该数为“驼峰数”．比如“102”“546”为“驼峰数”，由数字1，2，3，4可构成无重复数字的“驼峰数”有________个．
解：十位上的数为1时，有213，214，312，314，412，413，共6个，十位上的数为2时，有324，423，共2个，所以共有6＋2＝8(个)．6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理
强化训练
一、选择题
1、从3名女同学和2名男同学中选1人主持主题班会，则不同的选法种数为( )
A．6 B．5
C．3 D．2
2、满足a，b∈{－1，0，1，2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为( )
A．14 B．13
C．12 D．10
3、中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个，已知甲同学喜欢牛、马和猴，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学所有的吉祥物都喜欢，让甲、乙、丙三位同学依次从中选一个作为礼物珍藏，若各人所选取的礼物都是自己喜欢的，则不同的选法有( )
A．50种 B．60种
C．80种 D．90种
4、为响应国家“节约粮食”的号召，某同学决定在某食堂提供的2种主食、3种素菜、2种大荤、4种小荤中选取一种主食、一种素菜、一种荤菜作为今日伙食，并在用餐时积极践行“光盘行动”，则不同的选取方法有( )
A．48种 B．36种
C．24种 D．12种
5、已知某公园有4个门，从一个门进，另一个门出，则不同的走法种数为( )
A．16 B．13 C．12 D．10
6、某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B，C，D中选择，其他四个号码可以从0～9这十个数字中选择(数字可以重复)，有车主第一个号码(从左到右)只想在数字3，5，6，8，9中选择，其他号码只想在1，3，6，9中选择，则他的车牌号码可选的所有可能情况有( )
A．180种 B．360种
C．720种 D．960种
7、从集合{1，2，3，4，…，10}中，选出5个数组成子集，使得这5个数中任意两个数的和都不等于11，则这样的子集有( )
A．32个 B．34个
C．36个 D．38个
8、从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为( )
A．24 B．18 C．12 D．6
9、从集合{1，2，3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为( )
A．3 B．4 C．6 D．8
10、现有5种不同颜色的染料，要对如图所示的四个不同区域进行涂色，要求有公共边的两个区域不能使用同一种颜色，则不同的涂色方法的种数是( )
A．120 B．140 C．240 D．260
11、如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”．在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是( )
A．60 B．48 C．36 D．24
12、如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是( )
A．48 B．18
C．24 D．36
二、填空题
13、如图，从A到O有________种不同的走法(不重复过一点)．
14、已知集合A中有4个元素，B中有3个元素，C中有9个元素，则集合{(x，y，z)|x∈A，y∈B，z∈C}中的元素个数为____________．
15、从A地到B地，每天有直达班车4班；从A地到C地，每天有5个班车；从C地到B地，每天有3个班车，则从A地到B地，每天共有____________种不同的乘车方法．
16、甲、乙、丙三人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回给甲，则不同的传递方式共有________种．
17、有6名同学报名参加三个智力项目，每项限报一人，且每人至多参加一项，则共有____________种不同的报名方法．
18、从－1，0，1，2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)＝ax2＋bx＋c的系数，则可组成____________个不同的二次函数，其中偶函数有____________个．(用数字作答)
19、用0，1，2，3，4，5，6这7个数字可以组成____________个无重复数字的四位偶数．(用数字作答)
20、如图，现要用5种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，共有____________种不同的着色方法．
21、有10种不同的玩具汽车，9种不同的洋娃娃，8种不同的闪光球，从中任取两种不同类的玩具，共有________种不同的取法．
22、在三位正整数中，若十位数字小于个位和百位数字，则称该数为“驼峰数”．比如“102”“546”为“驼峰数”，由数字1，2，3，4可构成无重复数字的“驼峰数”有________个．
