2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册6.2.3向量的数乘运算 课时练习（含答案）

2022-2023学年度高一数学人教A版（2019）课时练习
6.2.3向量的数乘运算
一、单选题
1．下列各式计算正确的个数是（　　）
①；②；③.
A．0 B．1
C．2 D．3
2．若，则下列各式中不正确的是（ ）．
A． B． C． D．
3．已知，设，则（ ）．
A． B． C． D．
4．已知平面上不共线的四点，若，则等于（ ）
A． B． C．3 D．2
5．若，化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，设P，Q是线段的三等分点（点P靠近点A），则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．在中，为的重心，为上一点，且满足，则（ ）
A． B．
C． D．
8．已知是平面上的一定点，，，是平面上不共线的三个动点，若动点满足，，则点的轨迹一定通过的（ ）
A．内心 B．外心
C．重心 D．垂心
二、填空题
9．化简＝________.
10．在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若，则______．
11．下列说法中正确的是__．
①单位向量都共线；
②若，则∥；
③若||＞||＞||，则||＞||；
④||≤||且||≤||．
12．设平面内四边形及任一点O，．．若且．则四边形的形状是_________．
三、解答题
13．计算：
(1)；
(2).
14．如图，在边长为a的正方形ABCD中，E，F分别为边BC，CD中点，设，，试用表示向量，.
15．如图，在中，C是AB上一点，且．设，，试用，表示．
16．如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，.
(1)用表示；
(2)求证：B，E，F三点共线．
参考答案：
1．C
【详解】根据向量数乘的运算律可验证①②正确；③错误，因为向量的和、差及数乘运算的结果仍为一个向量，而不是实数．
2．D
【详解】如图，由知在延长线上，且，
因此由向量数乘定义知ABC三个选项均正确，D错误．
3．D
【详解】由得是线段上的点，且，如图，
因此，，．
4．C
【详解】解：由，得，即，
所以，即，
5．A
【详解】
，
6．B
【详解】根据题意，，又与方向相同，∴，故A错误；
，又与方向相反，∴，故B正确；
，又与方向相反，∴，故C错误；
，又与方向相反，∴，故D错误.
7．B
【详解】因为为的重心，所以.
又，所以，所以，
8．C
【详解】解：设为的中点，则，
则，即，
三点共线，
又因为为的中点，所以是边的中线，
所以点的轨迹一定通过的重心.
9．
【详解】原式
.
10．
【详解】由题意画出图形，如图所示：
由题意可得
，
又，所以，
从而，即.
11．②
【详解】单位向量方向不一定相同或相反，故单位向量不一定共线，故①错误；
若，则方向相同，所以是共线向量，故②正确；
当时，，故③错误；
当时，故④错误．
12．菱形
【详解】由得，即，
∴，于是平行且等于，
∴四边形为平行四边形，又，从而，
∴，即四边形为菱形．
13．(1)
(2)
【详解】（1）原式=
.
（2）原式=
.
14．，
【详解】因为，
所以，，
解得.
15．
【详解】根据向量的加法，减法及数乘运算法则可得：
16．(1)，，，，
(2)证明见解析
【详解】（1）解：在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，
则，
故，
，
，
；
（2）证明：因为，，
所以，
所以，
又因有公共点，
所以B，E，F三点共线．