九师联盟2022-2023学年高三下学期2月开学考试（新教材老高考） 数学 (Word版含答案)

高三数学
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色里水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3．考生作答时，请将答亲答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4．本试卷主要命题范围：高考范围。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．已知集合，集合，则等于（ ）
A． B．
C． D．
2．若复数满足（是虚数单位），则等于（ ）
A． B． C． D．
3．《九章算术》中方田篇有如下问题：“今有田广十五步，从十六步．问为田几何？答曰：一亩．”其意思：“现有一块田，宽十五步，长十六步．问这块田的面积是多少？答：一亩．”如果百亩为一顷，今有田宽480步，长600步，则该田有（ ）
A．12顷 B．13顷 C．14顷 D．16顷
4．函数的图象在点处的切线方程是（ ）
A． B．
C． D．
5．若点是抛物线的焦点，点，分别是抛物线上位于第一、四象限的点，且轴，，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．函数是定义在上的减函数的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
7．已知平面向量，满足，，的夹角为，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，若对于任意的时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．已知直线，两个不同的平面和，下列说法正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
10．已知函数的图象关于直线对称，则（ ）
A．
B．函数的最大值为2
C．在区间上单调递增
D．将函数的图象向左平移个单位可得到函数的图象
11．已知函数，则（ ）
A．恒成立 B．是上的增函数
C．在取得极小值 D．只有一个零点
12．已知椭圆的左、右两个焦点分别是，，过点且斜率为的直线与椭圆交于，两点，则下列说法中正确的有（ ）
A．当时，的周长为
B．若的中点为，则（为坐标原点，与不重合）
C．若，则椭圆的离心率的取值范围是
D．若的最小值为，则椭圆的离心率
三、填空题：全科试题免费下载公众号《高中僧课堂》本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知倾斜角为的直线与直线垂直，则___________．
14．从1，2，3，0这四个数中取三个组成没有重复数字的三位数，则这些三位数的和为___________．
15．已知边长为3的正的三个顶点都在球（为球心）的表面上，且与平面所成的角为，则球的体积为___________．
16．若数列对任意正整数，有（其中，为常数，且），则称数列是以为周期，以为周期公比的类周期性等比数列．已知类周期性等比数列的前4项为1，1，2，3，周期为4，周期公比为3，则数列前25项的和为___________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
已知等比数列的各项均为正数，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，数列的前项和为，求．
18．（12分）
如图，在梯形中，，，，．
（1）求的值；
（2）若的面积为8，求的长．
19．（12分）
甲、乙两班进行消防安全知识竞赛，每班选出3人组成甲、乙两支代表队，每队初始分均为4分，首轮比赛每人回答一道必答题，答对则为本队得2分，答错或不答扣1分．已知甲队3人每人答对的概率分别为，，，乙队每人答对的概率都是．设每人回答正确与否相互之间没有影响，用表示首轮甲队总分．
（1）求随机变量的分布列及其数学期望；
（2）求在甲队和乙队总分之和为14的条件下，甲队与乙队得分相同的概率．
20．（12分）
如图，在三棱柱中，平面，，，，为的中点，为上靠近的三等分点．
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的余弦值．
21．（12分）
双曲线的左、右焦点分别为，，，焦点到其渐近线的距离为1．
（1）求双曲线的方程；
（2）过双曲线右焦点作直线与分别交于左右两支上的点，，又过原点作直线，使，且与双曲线分别交于左右两支上的点，，且与同向，试判断是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．
22．（12分）
已知函数，为正实数．
（1）若在上为单调函数，求的取值范围；
（2）若对任意的，且，都有，求的取值范围．
高三数学参考答案、提示及评分细则
1．B ，又，所以．
2．C 由，得，所以．
3．A 依题可得该田有顷．
4．D ，则切线的斜率是，，切线方程是，即．
5．A 由题知，故，，所以，所以．
6．B 由题知．
7．C 由题意，不妨设，，，，又，在以为圆心，1为半径的圆上，所以的最小值为．
8．A 的定义域为，且，所以为奇函数，且当时，单调递增，所以在上单调递增．，即，所以，可得，所以，设，
，因为，所以，单调递增，，所以，所以．
9．BC 若，，则或，A错误；若，，则，B正确；若，，则由面面平行的性质可得，C正确；若，，则与平行或相交，D错误．
10．AB 由，可得，A正确；，所以的最大值为2，B正确；，则，不是单调函数，C错误；将函数的图象向左平移个单位长度得，D错误．
11．BCD 因为，该函数的定义域为，，当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，所以，故B正确，C正确；当时，，此时，A错误；由，可得，解得，D正确．
12．ABD 设，因为弦过椭圆的左焦点，所以，所以A正确；
设，，则，有，，所以，由作差得：，所以，则有，所以B正确；
，，
所以，
则有，可得，所以C错误；
由过焦点的弦中垂直于轴的最短，则的最小值为，则有，即，解得，所以，D正确．
13．5 直线的斜率为，则．则．
14．3864分三种情况：（1）所有不含0的三位数的和为；
（2）含0且0在十位上的三位数的和为；
（3）含0且0在个位上的三位数的和为．
那么可得符合条件的这些三位数之和为．
15． 设正的外接圆圆心为，易知，
在中，，即球的半径，故球的体积为．
16．3277 由题意可知，，，且，
所以
．
17．解：（1）设等比数列的公比为，
因为，，所以，
解得或（舍去），
所以．
（2）因为，
所以．
18．解：（1）在中，由正弦定理知，，
因为，，所以，
又，，所以．
（2）在中，，则为锐角．
因为，所以，
因为，所以，
显然为锐角，所以，8分
因为，所以，
所以，所以．
19．解：（1）的可能取值为1，4，7，10，
；；
；．
所以的分布列为
1 4 7 10
．
（2）设“甲队和乙队得分之和为14”为事件，“甲队与乙队得分相同”为事件，则
，
，所以．
20．（1）证明：因为平面，平面，所以，
因为，所以，
因为，为中点，所以．
又，所以平面，
因为平面，所以平面平面．
（2）解：由（1）及题意知，，，两两互相垂直，
故以点为原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，．
设平面的一个法向量为，则
所以令，所以，，，
设平面的一个法向量为，则
所以令，则，所以．
设二面角的平面角为，易知为锐角，
所以，
所以二面角的余弦值为．
21．（1）解：因为，所以，
因为焦点到渐近线的距离，
所以．
所以双曲线的方程．
（2）证明：由（1）知，设，
由消去整理得：，所以
由交左右两支于、两点，有，
即，则，
，
由于，可设，由，
消去整理得：，所以，
由此，
所以为定值．
22．解：（1）时，，，
因为函数在上为单调函数，
当时，，所以，
所以，即的取值范围为．
（2）因为，所以，
所以在区间上是减函数．
①当时，．
由在上恒成立．
设，所以，
所以在上为增函数，所以．
②当时，．
由在上恒成立．
令，所以在上为增函数，
所以，
综上：的取值范围为．