2023年河南省普通高中学业水平考试数学仿真模拟卷（六）（2月）（Word版含解析）

河南省普通高中学业水平考试（2019版新教材）
数学仿真模拟卷（六）
一、选择题(本大题共16小题，每题3分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x |x<1}，则A∪( RB)＝(　　)
A．{x |x>1} B．{x |x≥－1} C．{x|12．命题“对任意x∈R，都有x2≥1”的否定是(　　)
A．对任意x∈R，都有x2＜1 B．不存在x∈R，使得x2＜1
C．存在x∈R，使得x2≥1 D．存在x∈R，使得x2＜1
3．如图，向量＝a，＝b，＝c，
则向量可以表示为(　　)
A．a＋b－c B．a－b＋c
C．b－a＋c D．b－a－c
4．观察新生儿的体重，其频率分布直方图如图所示，
则新生儿体重在[2 700，3 000)的频率为(　　)
A．0.001 B．0.1
C．0.2 D．0.3
5．函数f(x)＝＋的定义域是(　　)
A．[－1，＋∞) B．(－∞，0)∪(0，＋∞)
C．[－1，0)∪(0，＋∞) D．R
6．复数z的实部是虚部的两倍，且满足z＋a＝，则实数a等于(　　)
A．－1 B．5 C．1 D．9
7．已知互相垂直的平面α，β交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则(　　)
A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n
8．已知＋＝1(x>0，y>0)，则x＋y的最小值为(　　)
A．1 B．2 C．4 D．8
9．计算：log225·log52＝(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
10．已知在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝4∶3∶2，则cos B等于(　　)
A. B. C. D.
11．已知sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝，且β在第三象限，则cos的值等于(　　)
A．± B．± C．－ D．－
12．一个口袋内装有大小相同的红、蓝球各一个，若有放回地摸出一个球并记下颜色为一次试验，试验共进行三次，则至少摸到一次红球的概率是(　　)
A. B. C. D.
13．已知函数f(x)＝若f(2－a2)>f(a)，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．(－1，2)
C．(－2，1) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
14．已知函数f(x)＝ g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是(　　)
A．[－1，0) B．[0，＋∞) C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)
15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且ccos A＋acos C＝2c，若a＝b，则sin B等于(　　)
A. B. C. D.
16．在正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N分别是AB，BB1的中点，则直线MN与平面A1BC1所成角的余弦值为(　　)
A. B. C. D.
二、填空题(本大题共7小题，每小题3分，共21分)
17．如果用半径R＝2的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的高是________．
18．已知不等式x2－ax－b<0的解集为{x|2＜x＜3}，则不等式bx2－ax－1>0的解集为________．
19．已知函数f(x)＝ax2＋(b－3)x＋3，x∈[a2－2，a]是偶函数，则a＋b＝________．
20．设α是第二象限角，P(x，4)为其终边上一点，且cos α＝，则tan 2α＝________．
21．一个三位自然数，百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当a>b，b22．已知α满足sin α＝，那么coscos的值为________．
23．在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1.边DC上的动点P(包含点D，C)与CB延长线上的动点Q(包含点B)满足||＝||，则·的最小值为________．
三、解答题(本大题共6小题，共31分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
24．已知函数f(x)＝.
(1)判断函数在区间[1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论；
(2)求该函数在区间[1，4]上的最大值与最小值．
25．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求|a＋b|；
(3)若＝a，＝b，求△ABC的面积．
26.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bcos C＝csin B.
(1)求角C的大小；
(2)若c＝2，△ABC的面积为6，求△ABC的周长．
27．已知函数f(x)＝cos，x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)求函数f(x)在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值．
28．某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20，25)，第2组[25，30)，第3组[30，35)，第4组[35，40)，第5组[40，45]，得到的频率分布直方图如图所示．
(1)若从第3，4，5组中用分层随机抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？
(2)在(1)的条件下，该市决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第5组志愿者有被抽中的概率．
29.如图，在四棱锥P ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，BC∥平面PAD，∠ABC＝90°，PA＝PB＝AB.
求证：(1)AD∥平面PBC；
(2)平面PBC⊥平面PAD.
仿真模拟卷(六)答案
1．解析：选B　由A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}可知 RB＝{x|x≥1}，∴A∪( RB)＝{x|x≥－1}．故选B.
2．解析：选D　因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以命题“对任意x∈R，都有x2≥1”的否定是：存在x∈R，使得x2＜1.故选D.
3．解析：选C　依题意得，＝－＝＋－，即＝b－a＋c，故选C.
4．解析：选D　由频率分布直方图的意义可知，在区间[2 700，3 000)内取值的频率为(3 000－2 700)×0.001＝0.3.故选D.
5．解析：选C　要使函数有意义，需满足即x≥－1且x≠0.故选C.
6．解析：选A　z＝－a＝－a＝－a＝(3－a)＋2i，
由题意得3－a＝2×2，解得a＝－1.故选A.
7．解析：选C　选项A，只有当m∥β或m β时，m∥l；
选项B，只有当m⊥β时，m∥n；
选项C，由于l β，∴n⊥l；
选项D，只有当m∥β或m β时，m⊥n.故选C.
8．解析：选D　∵x>0，y>0，∴x＋y＝(x＋y)·＝4＋2≥4＋4＝8.
当且仅当＝，即x＝y＝4时取等号．故选D.
9．解析：选A　log225·log52＝·＝＝2×＝3.故选A.
10．解析：选A　依题意，设a＝4k，b＝3k，c＝2k(k>0)，则cos B＝＝＝.故选A.
11．解析：选A　由已知，得sin[(α－β)－α]＝sin(－β)＝，得sin β＝－.
∵β在第三象限，∴是第二象限或第四象限角，∴cos β＝－，
∴cos＝±＝±＝±.故选A.
12．解析：选B　所有的样本点为(红，红，红)，(红，红，蓝)，(红，蓝，红)，(蓝，红，红)，(红，蓝，蓝)，(蓝，红，蓝)，(蓝，蓝，红)，(蓝，蓝，蓝)，共8个．三次都是蓝球的样本点只有1个，其概率是，根据对立事件的概率之间的关系，所求的概率为1－＝，故选B.
13．解析：选C　∵f(x)＝
由函数图象(图略)知f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴由f(2－a2)>f(a)，得a2＋a－2<0，解得－214．解析：选C　函数g(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点，
即关于x的方程f(x)＝－x－a有2个不同的实根，
即函数f(x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点，
作出直线y＝－x－a与函数f(x)的图象，如图所示，
由图可知，－a≤1，解得a≥－1.故选C.
15．解析：选A　∵ccos A＋acos C＝2c，
∴由正弦定理，可得sin Ccos A＋sin Acos C＝2sin C，
∴sin(A＋C)＝2sin C，又∵A＋B＋C＝π，∴A＋C＝π－B，∴sin(π－B)＝2sin C，∴sin B＝2sin C，∴b＝2c，
又a＝b，∴a＝2c.∴cos B＝＝＝，
∵B∈(0，π)，∴sin B＝＝.故选A.
16．解析：选C
　设正方体的棱长为2a，如图，连接AC，BD，交于点O，连接ON，OM，DB1，易证B1D⊥平面A1BC1，而ON∥B1D，故∠ONM就是直线MN与平面A1BC1所成角的余角．又△OMN为直角三角形且OM＝a，MN＝a，∠OMN＝90°，所以tan∠ONM＝，sin∠ONM＝.设直线MN与平面A1BC1所成的角为θ，则cos θ＝，故选C.
17．解析：设圆锥筒的底面半径为r，则2πr＝πR＝2π，
则r＝，所以圆锥筒的高h＝＝＝3.
答案：3
18．解析：方程x2－ax－b＝0的根为2，3.根据根与系数的关系得：a＝5，b＝－6.所以不等式为6x2＋5x＋1<0，解得解集为.
答案：
19．解析：∵f(x)为偶函数，∴定义域关于原点对称，∴a＝1，
∴f(x)＝x2＋(b－3)x＋3＝(－x)2＋(b－3)(－x)＋3 ，∴b＝3，∴a＋b＝4.
答案：4
20．解析：因为α是第二象限角，P(x，4)为其终边上的一点，所以x＜0，
因为cos α＝＝，所以x＝－3，
所以tan α＝＝－，所以tan 2α＝＝.
答案：
21．解析：组成各个数位上的数字不重复的三位自然数的样本点共有24个，而满足三位数是“凹数”的有214，213，312，314，324，412，413，423，共8个，所以这个三位数为“凹数”的概率为＝.
答案：
22．解析：∵cos＝cos＝sin，
∴coscos＝sincos＝sin＝cos 2α
＝(1－2sin2α)＝＝.
答案：
23．解析：以点A为坐标原点，分别以AB，AD所在直线为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，
设P(x，1)，Q(2，y)，由题意知0≤x≤2，－2≤y≤0.
因为||＝||，所以|x|＝|y|，所以x＝－y.
因为＝(－x，－1)，＝(2－x，y－1)，
所以·＝－x(2－x)－(y－1)＝x2－2x－y＋1＝x2－x＋1＝＋，
所以当x＝时，·取得最小值为.
答案：
24．解：(1)f(x)在[1，＋∞)上是增函数．证明如下：任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1f(x1)－f(x2)＝－＝.
∵x1－x2<0，(x1＋1)(x2＋1)>0，
∴f(x1)－f(x2)<0，f(x1)∴函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数．
(2)由(1)知函数f(x)在[1，4]上是增函数．最大值为f(4)＝＝，最小值为f(1)＝＝.
25．解：(1)因为(2a－3b)·(2a＋b)＝61，
所以4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.又因为|a|＝4，|b|＝3，
所以64－4a·b－27＝61，所以a·b＝－6，
所以cos θ＝＝＝－.
又因为0≤θ≤π，所以θ＝.
(2)因为|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝42＋2×(－6)＋32＝13，
所以|a＋b|＝.
(3)因为与的夹角θ＝，所以∠ABC＝π－＝.
又因为||＝|a|＝4，||＝|b|＝3，
所以S△ABC＝||||·sin∠ABC＝×4×3×＝3.
26．解：(1)由正弦定理＝，得sin Bcos C＝sin Bsin C，
在△ABC中，因为sin B≠0，所以cos C＝sin C，故tan C＝，
又因为0＜C＜π，所以C＝.
(2)由已知，得absin C＝6.又因为C＝，所以ab＝24.
由已知及余弦定理，得a2＋b2－2abcos C＝28，
所以a2＋b2＝52，从而(a＋b)2＝100，即a＋b＝10，
又因为c＝2，所以△ABC的周长为10＋2.
27．解：(1)因为f(x)＝cos，所以函数f(x)的最小正周期为T＝＝π.
由－π＋2kπ≤2x－≤2kπ(k∈Z)，得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，
故函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
(2)因为f(x)＝cos在区间上为增函数，在区间上为减函数，又因为f＝0，f＝，f＝cos＝－cos＝－1，所以函数f(x)在区间上的最大值为，此时x＝；最小值为－1，此时x＝.
28．解：(1)第3组的人数为0.06×5×100＝30，第4组的人数为0.04×5×100＝20，第5组的人数为0.02×5×100＝10，
因为第3，4，5组共有60名志愿者，所以利用分层随机抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，每组抽取的人数分别为：
第3组：×6＝3；第4组：×6＝2；第5组：×6＝1.
所以应从第3，4，5组中分别抽取3人，2人，1人．
(2)设“第5组的志愿者有被抽中”为事件A.
记第3组的3名志愿者为A1，A2，A3，第4组的2名志愿者为B1，B2，第5组的1名志愿者为C1，则从6名志愿者中抽取2名志愿者有
(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C1)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C1)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)，共有15个样本点．
其中第5组的志愿者被抽中的有5个样本点，
P(A)＝＝.第5组志愿者有被抽中的概率为.
29．(1)证明：∵BC∥平面PAD，而BC 平面ABCD，
平面ABCD∩平面PAD＝AD，∴BC∥AD.
又∵AD 平面PBC，BC 平面PBC，
∴AD∥平面PBC.
(2)∵PA＝PB＝AB，满足PA2＋PB2＝AB2，
∴PA⊥PB.
由∠ABC＝90°，知BC⊥AB.
又∵平面PAB⊥平面ABCD，
平面PAB∩平面ABCD＝AB，BC 平面ABCD，
∴BC⊥平面PAB.
又∵PA 平面PAB，∴BC⊥PA.
又∵PB∩BC＝B，PB 平面PBC，BC 平面PBC，PA⊥PB，
∴PA⊥平面PBC.
又∵PA 平面PAD，∴平面PBC⊥平面PAD.