2023年河南省普通高中学业水平考试数学仿真模拟卷（七）（2月）（Word版含解析）

河南省普通高中学业水平考试（2019版新教材）
数学仿真模拟卷（七）
一、选择题(本大题共16小题，每题3分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若集合A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x |x＜－1或x＞3}，则A∩B＝(　　)
A．{x|－2＜x＜－1} B．{x|－2＜x＜3} C．{x|－1＜x＜1} D．{x|1＜x＜3}
2．已知命题p：x为自然数，命题q：x为整数，则p是q的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．某学校有高中学生1 000人，其中高一年级、高二年级、高三年级的人数分别为320，300，380.为调查学生参加“社区志愿服务”的意向，现采用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为100的样本，那么应抽取高二年级学生的人数为(　　)
A．68 B．38 C．32 D．30
4．已知复数a＋bi＝ (i是虚数单位，a，b∈R)，则a＋b等于(　　)
A．－2 B．－1 C．0 D．2
5．某校高一年级15个班参加朗诵比赛的得分如下：
91　89　90　92　94　87　93　96　91　85　89　93　88　98　93
则这组数据的60%分位数、90%分位数分别为(　　)
A．92，96 B．93，96 C．92.5，95 D．92.5，96
6．在△ABC中，若A＝60°，C＝45°，c＝，则a等于(　　)
A．1 B. C. D．2
7．已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为(　　)
A. B．4π C．2π D.
8．若集合A＝{x|ax2－ax＋1＜0}＝ ，则实数a的取值范围是(　　)
A．(0，4) B．[0，4) C．(0，4] D．[0，4]
9．已知x＞0，y＞0，且x＋2y＝2，则xy(　　)
A．有最大值为1 B．有最小值为1 C．有最大值为 D．有最小值为
10．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，|a－b|＝2，则|a＋b|等于(　　)
A．1 B. C. D.
11．函数f(x)＝x－的零点个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
12．甲、乙两个人进行“剪子、包袱、锤”的游戏，两人都随机出拳，则一次游戏两人平局的概率为(　　)
A. B. C. D.
13．“十一”期间，高速公路车辆较多．某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中抽取了40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速(km/h)分成六段：[60，65)，[65，70)，[70，75)，[75，80)，[80，85)，[85，90]，得到如图所示的频率分布直方图．下列结论错误的是(　　)
A．这40辆小型汽车车速的众数的估计值为77.5
B．在该服务区任意抽取一辆车，车速超过80 km/h的概率为0.35
C．若从车速在[60，70)的车辆中任意抽取2辆，则至少有一辆车的车速在[65，70)的概率为
D．若从车速在[60，70)的车辆中任意抽取2辆，则车速都在[60，65)内的概率为
14．设D，E为正三角形ABC中BC边上的两个三等分点，且BC＝2，则·等于(　　)
A. B. C. D.
15．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为S，且a＝1，4S＝b2＋c2－1，则△ABC外接圆的面积为(　　)
A．4π B．2π C．π D.
16．已知函数①y＝sin x＋cos x，②y＝2sin xcos x，则下列结论正确的是(　　)
A．两个函数的图象均关于点成中心对称图形
B．两个函数的图象均关于直线x＝－成轴对称图形
C．两个函数在区间上都是单调递增函数
D．两个函数的最小正周期相同
二、填空题(本大题共7小题，每小题3分，共21分)
17．已知非零向量a，b满足|a|＝4|b|，且b⊥(a＋2b)，则a与b的夹角为________．
18．某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x，y，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x－y|的值为________．
19．某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y＝ekt(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则经过5小时，1个病毒能繁殖为________个．
20．已知sin(π－α)＝，cos(α－β)＝，0＜β＜α＜，角β的大小为________．
21．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知a＝b，c2＝2b2(1－sin C)，则C＝________．
22．如图所示，在空间四边形ABCD中，E，H分别是AB，AD的中点，F，G分别是CB，CD上的点，且＝＝，若BD＝6，四边形EFGH的面积为28，则直线EH，FG之间的距离为________．
23．甲、乙、丙三人向同一飞机射击，设击中的概率分别为0.4，0.5，0.8，若只有1人击中，则飞机被击落的概率为0.2，若2人击中，则飞机被击落的概率为0.6，若3人击中，则飞机一定被击落，则飞机被击落的概率为________．
三、解答题(本大题共6小题，共31分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
24．设α，β是锐角，sin α＝，cos(α＋β)＝－，求β的值．
25．已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°.
(1)求a·b的值及|a＋b|的值；
(2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)
26.某集团公司为了加强企业管理，树立企业形象，考虑在公司内部对迟到现象进行处罚，现在员工中随机抽取200人进行调查，当不处罚时，有80人迟到，处罚时，得到如下数据：
处罚金额x(单位：元) 50 100 150 200
迟到的人数y 50 40 20 0
若用表中数据所得频率代替概率．
(1)当处罚金额定为100元时，员工迟到的概率会比不进行处罚时降低多少？
(2)将选取的200人中会迟到的员工分为A，B两类：A类员工在罚金不超过100元时就会改正行为；B类是其他员工．现对A类与B类员工按分层随机抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷调查，则前两位均为B类员工的概率是多少？
27．如图，在三棱锥A BCD中，点E，F分别是BD，BC的中点，AB＝AD，AE⊥BC.
求证：(1)EF∥平面ACD；
(2)AE⊥CD.
28.已知函数f(x)＝lg.
(1)求证：f(x)是奇函数；
(2)求证：f(x)＋f(y)＝f；
(3)若f＝1，f＝2，求f(a)，f(b)的值．
29．已知函数f(x)＝cos(πx＋φ)的部分图象如图所示．
(1)求φ及图中x0的值；
(2)设g(x)＝f(x)＋f，求函数g(x)在区间上的最大值和最小值．
仿真模拟卷(七)答案
1．解析：选A　在数轴上表示出集合A，B，如图所示．
由图知A∩B＝{x|－2＜x＜－1}．
2．解析：选A　若x为自然数，则它必为整数，即p q.
但x为整数不一定是自然数，如x＝－2，即q /　p．故p是q的充分不必要条件．
3．解析：选D　根据题意得，用分层随机抽样在各层中的抽样比为＝，
则高二年级抽取的人数是300×＝30(人)．
4．解析：选A　由复数的运算法则，可得
＝＝＝＝－1－i，
结合题意可得a＋bi＝－1－i，即a＝－1，b＝－1，据此可得a＋b＝－2.故选A.
5．解析：选D　将这组数据按从小到大排列得
85　87　88　89　89　90　91　91　92　93　93　93　94　96　98
则15×60%＝9，15×90%＝13.5，
所以60%分位数为＝92.5，90%分位数为96.
6．解析：选B　由正弦定理得，a＝＝.
7．解析：选D　∵正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为，∴正四棱柱体对角线的长为＝2.又∵正四棱柱的顶点在同一球面上，∴正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径，得球的半径R＝1，根据球的体积公式，得此球的体积V＝πR3＝，故选D.
8．解析：选D　当a＝0时，满足条件；当a≠0时，由题意知a＞0且Δ＝a2－4a≤0，得0＜a≤4，所以0≤a≤4.
9．解析：选C　因为x＞0，y＞0，x＋2y＝2，
所以x＋2y≥2，即2≥2，xy≤，
当且仅当x＝2y，即x＝1，y＝时，等号成立．
所以xy有最大值，且最大值为.
10．解析：选D　∵|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2a·b
＝12＋22－2a·b＝4.
∴a·b＝，
∵|a＋b|2＝|a－b|2＋4a·b＝22＋4×
＝4＋2＝6，
∴|a＋b|2＝6，∴|a＋b|＝.
11．解析：选B
　函数f(x)＝x－的零点个数是方程x－＝0的解的个数，即方程x＝的解的个数，也就是函数y＝x与y＝的图象的交点个数，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图所示，可得交点个数为1.
12．解析：选A　甲、乙两个人进行“剪子、包袱、锤”的游戏，所以可能出现的样本点列表如下：
　　甲
乙　　 锤 剪子 包袱
锤 (锤，锤) (锤，剪子) (锤，包袱)
剪子 (剪子，锤) (剪子，剪子) (剪子，包袱)
包袱 (包袱，锤) (包袱，剪子) (包袱，包袱)
因为由表格可知，共有9个样本点．
其中平局的有3种，(锤，锤)，(剪子，剪子)，(包袱，包袱)．
设事件A为“甲和乙平局”，则P(A)＝＝.
13．D
14．解析：选C　如图，
||＝||＝2，〈，〉＝60°，
∵D，E是边BC的两个三等分点，
∴·＝·＝·
＝||2＋·＋||2＝×4＋×2×2×＋×4＝.
15．解析：选D　由余弦定理得，b2＋c2－a2＝2bccos A，a＝1，
所以b2＋c2－1＝2bccos A，
又因为S＝bcsin A，4S＝b2＋c2－1，所以有4×bcsin A＝2bccos A，
即sin A＝cos A，tan A＝1，又因为0由正弦定理得，＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径)，得R＝，
所以△ABC外接圆的面积为.
16．解析：选C　①y＝sin，图象的对称中心为，k∈Z，对称轴为x＝＋kπ，k∈Z，单调递增区间为，k∈Z，最小正周期为2π；②y＝sin 2x图象的对称中心为，k∈Z，对称轴为x＝＋kπ，k∈Z，单调递增区间为，k∈Z，最小正周期为π.故选C.
17．解析：设a与b的夹角为θ，根据题意，可得b·(a＋2b)＝0，即|a|·|b|cos θ＋2b2＝0，代入|a|＝4|b|，得到cos θ＝－，于是a与b的夹角为.
答案：
18．解析：由题意可得，x＋y＝20，(x－10)2＋(y－10)2＝8，
设x＝10＋t，y＝10－t，则2t2＝8，解得t＝±2，∴|x－y|＝2|t|＝4.
答案：4
19．解析：当t＝0.5时，y＝2，所以2＝e，
所以k＝2ln 2，所以y＝e2tln 2，
当t＝5时，y＝e10ln 2＝210＝1 024.
答案：1 024
20．解析：因为sin(π－α)＝，
所以sin α＝.因为0＜α＜，所以cos α＝＝.
因为cos(α－β)＝，且0＜β＜α＜，所以0＜α－β＜，
所以sin(α－β)＝＝，
所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝×＋×＝.因为0＜β＜，所以β＝.
答案：
21．解析：∵c2＝2b2(1－sin C)，∴sin C＝1－，
又∵a＝b，由余弦定理可得，cos C＝＝1－＝sin C，
∴tan C＝1，∵C∈(0，π)，∴C＝.
答案：
22．解析：由题意得EH是△ABD的中位线，∴EH∥BD且EH＝BD＝3，
又∵＝＝，∴GF∥BD且GF＝BD＝4，
由基本事实4知，EH∥GF，
∴四边形EFGH是梯形，而直线EH，FG之间的距离就是梯形EFGH的高，设为h，
即＝28，得h＝8.
答案：8
23．解析：设甲、乙、丙三人击中飞机为事件A，B，C，依题意，A，B，C相互独立，故所求事件概率为P＝[P(A)＋P(B)＋P(C)]×0.2＋[P(AB)＋P(BC)＋P(AC)]
×0.6＋P(ABC) ＝(0.4×0.5×0.2＋0.6×0.5×0.2＋0.6×0.5×0.8)×0.2＋(0.4×0.5×0.2＋0.6×0.5×0.8＋0.4×0.5×0.8)×0.6＋0.4×0.5×0.8＝0.492.
答案：0.492
24．解：由0＜α＜，0＜β＜，知0＜α＋β＜π，
又因为cos(α＋β)＝－，所以sin(α＋β)＝＝＝.
由sin α＝，可知cos α＝＝＝，
∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝×－×＝，
又∵β是锐角∴β＝.
25．解析：(1)由向量的数量积的运算公式，
可得a·b＝|a||b|cos 120°＝4×8×＝－16，
|a＋b|＝＝＝4.
(2)因为(a＋2b)⊥(ka－b)，
所以(a＋2b)·(ka－b)＝ka2－2b2＋(2k－1)a·b＝0，
整理得16k－128＋(2k－1)×(－16)＝0，解得k＝－7.
即当k＝－7时，(a＋2b)⊥(ka－b)．
26．解析：(1)设“当罚金定为100元时，某员工迟到”为事件A，则P(A)＝＝，
不处罚时，某员工迟到的概率为＝.
∴当罚金定为100元时，比不进行处罚员工迟到的概率会降低.
(2)由题意知，A类员工和B类员工各有40人，分别从A类员工和B类员工各抽出两人，
设从A类员工抽出的两人分别为A1，A2，从B类员工抽出的两人分别为B1，B2，
设“从A类与B类员工按分层随机抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷调查”为事件M，
则事件M中首先抽出A1的样本点有(A1，A2，B1，B2)，(A1，A2，B2，B1)，(A1，B1，A2，B2)，(A1，B1，B2，A2)，(A1，B2，A2，B1)，(A1，B2，B1，A2)，共6个，
同理，首先抽出A2，B1，B2的样本点也各有6个，故事件M共有4×6＝24(个)样本点．
设“抽取4人中前两位均为B类员工”为事件N，则事件N有(B1，B2，A1，A2)，(B1，B2，A2，A1)，(B2，B1，A1，A2)，(B2，B1，A2，A1)，共4个样本点．
∴P(N)＝＝，
∴抽取4人中前两位均为B类员工的概率是.
27．证明：(1)因为在△BCD中，点E，F分别是BD，BC的中点，
所以EF∥CD，
又因为EF 平面ACD，CD 平面ACD，所以EF∥平面ACD.
(2)因为点E是BD的中点，且AB＝AD，所以AE⊥BD，
又因为AE⊥BC，BC 平面BCD，BD 平面BCD.
BC∩BD＝B，所以AE⊥平面BCD，
又因为CD 平面BCD，
所以AE⊥CD.
28．(1)证明：由函数f(x)＝lg，可得>0，即<0，解得－1(2)证明：f(x)＋f(y)＝lg＋lg＝lg
而f＝lg＝lg＝lg，
∴f(x)＋f(y)＝f成立．
(3)解：若f＝1，f＝2，
则由(2)可得f(a)＋f(b)＝1，f(a)－f(b)＝2，解得f(a)＝，f(b)＝－.
29．解析：(1)由题图得f(0)＝，所以cos φ＝，
因为0＜φ＜，故φ＝.
因为f(x)的最小正周期等于2，所以由题图可知1＜x0＜2，
所以＜πx0＋＜.
由f(x0)＝，得cos＝，所以πx0＋＝，x0＝.
(2)因为f＝cos＝cos πx＋＝－sin πx，
所以g(x)＝f(x)＋f＝cos－sin πx＝cos πxcos－sin πxsin－sin πx
＝cos πx－sin πx＝sin.
当x∈时，－≤－πx≤.
所以－≤sin≤1，
所以－≤sin≤，
即－≤g(x)≤.
故－πx＝，即x＝－时，
g(x)取得最大值；
当－πx＝－，即x＝时，g(x)取得最小值－.