27.2 相似三角形 同步练习（含答案） 2022-2023学年人教版九年级下册数学

27.2 相似三角形 同步练习
一、单选题
1．如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（　　）
A．a＝ b B．a＝2b C．a＝2 b D．a＝4b
2．如图，△ABC中，点D是AB上一点，补充下列条件后，仍不能判定△ADC∽△ACB的是（　　）
A．∠ADC＝∠ACB B．∠ACD＝∠ABC
C． ＝ D． ＝
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，如果AC=3，AB=6，那么AD的值为（　　）
A． B． C． D．3
4．如图，正方形ABCD的边长是3，BP=CQ，连接AQ，DP交于点O，并分别与边CD，BC交于点F，E，连接AE，下列结论：①AQ⊥DP；②OA2=OE OP；③S△AOD=S四边形OECF；④当BP=1时，tan∠OAE= ，其中正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图□ABCD，E是BC上一点，BE：EC=2：3，AE交BD于F，则BF：FD等于(　　)
A．2：5 B．3：5 C．2：3 D．5：7
6．如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC=3：2：1，M在AC边上，CM：MA=1：2，BM交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM等于（　　）
A．3：2：1 B．5：3：1 C．25：12：5 D．51：24：10
7．如图，正方形ABCD的边长为2，BE=CE，MN=1，线段MN的两端点在CD、AD上滑动，当DM为（　　）时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似．
A． B． C．或 D．或
8．如图，已知第一象限内的点A在反比例函数
上，第二象限的点B在反比例函数
上，且OA⊥OB，
，则k的值为 （　　）
A．－3　
B．－6　
C．－4　
D．
9．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，且AD：BC=1：2，则下列结论中，错误的是（　　）
A． B．
C． D．
10．如图，AD∥BE∥CF，直线l1、l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．已知AB＝1，BC＝3，DE＝2，则EF的长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．8
11．如图，在 中， ，且 ，则 的值为（　　）
A． B． C． D．
12．如图．直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F；AC与DF相交于点H，且AH=4，HB=2，BC=10，则 =(　　)
A． B．2 C． D．
二、填空题
13．定义：如果△ABC内有一点P，满足∠PAC＝∠PCB＝∠PBA，那么称点P为△ABC的布罗卡尔点，如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点P为△ABC的布罗卡尔点，如果PA＝2，那么PC＝　 　．
14．如图，在 和 中， ， ， ， ．则下列四个结论：① ；② ；③ ；④在 绕点 旋转过程中， 面积的最大值为 其中正确的是 　 　．（填写所有正确结论的序号）
15．如图，已知点A在反比例函数 的图象上，作 ，边BC在x轴上，点D为斜边AC的中点，连结DB并延长交y轴于点E，若 的面积为6，则k=　 　.
16．已知在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE//BC，=，那么的值等于　 　．
17．如图，在 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，把 绕C点旋转得到 ，其中点 在线段AB上，那么 的正切值等于　 　
18．如果两个相似三角形的对应边上的高之比是2：3，则它们的周长比是　 　
三、综合题
19．阅读下列材料，完成任务
小明同学酷爱数学，勤于探索研究，他画了一个三角形ABC，并画出其中一个外角 的角平分线，与BC的延长线交于点N，小明通过测量发现，该图形中的线段有特殊的关系： ，他想证明自己的发现．下面是部分证明过程：
证明：过点C作 交AB于点D，则 （第一步），
∴ ， （第二步）
…
请回答下面问题：
（1）小明部分证明过程中，第一步的依据是　 　；
（2）请完成证明的剩余部分；
（3）若 ， ， ，请求出CN的长．
20．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，点D为边BC的中点，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ=90°.
（1）当DP⊥AB时，求CQ的长；
（2）当BP=2，求CQ的长
21．如图所示，Rt△ABC中，已知∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不能到达点B，C），过点D作∠ADE=45°，DE交AC于点E.
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长.
22．如图，已知抛物线经过A（﹣2，0）B（﹣3，3）及原点O，顶点为C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点E在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E为顶点是四边形是平行四边形，求点D的坐标．
（3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形△BOC相似？
23．如图，在△ABC中，AB=AC=6，BC=2，过点A作AM∥BC，点P是AB上一点，作∠CPD=∠B，PD交AM于点D。
（1）如图8-1，在BA的延长线上取点G，使得DG=DA，则 的值为　 　；
（2）如图8-1，在(1)的条件下，求证：△DGP∽△PBC
；
（3）如图8-2，当点P是AB的中点时，求AD的长。
24．如图，已知 ， ， ， ， ．
（1）求 和 的大小；
（2）求 的长
答案解析部分
1．【答案】B
2．【答案】D
3．【答案】A
4．【答案】C
5．【答案】C
6．【答案】D
7．【答案】C
8．【答案】B
9．【答案】C
10．【答案】C
11．【答案】A
12．【答案】A
13．【答案】
14．【答案】①②④
15．【答案】12
16．【答案】
17．【答案】
18．【答案】2：3
19．【答案】（1）平行线分线段成比例定理
（2）证明：∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：过点 作 于点 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，即 为 的中点，
∴ 为等腰三角形，
∴ ，
∵ ，即 ，
解得： ．
20．【答案】（1）解：如图，
∵ DP⊥AB ，∠BAC=90°，∠PDQ=90°.
∴∠BAC=∠PDQ=∠APD=90°
∴四边形APDQ是矩形，
∴DQ⊥AC，
∴∠DQC=∠BAC=90°，
∴DQ∥AB，
∵点D是BC的中点，
∴CQ=AQ=AC=×8=4.
（2）解：∵如图，当点P在线段AB上时，作DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分别为M、N，
易证四边形AMDN是矩形，DM、DN分别是△ABC的中位线，DM＝4，DN＝3，
∵∠PDQ＝∠MDN＝90°，
∴∠PDM＝∠QDN，
∵∠DNQ∠DMP＝90°，
∴△PDM∽△QDN，
∴PM：QN＝DM：DN＝4：3，
∴QN＝PM，
∵PM＝BM PB＝3 2＝1，
∴QN＝，
∴CQ＝QN＋CN＝＋4＝；
如图，当点P在AB的延长线上时，
同理可证△PDM∽△QDN，DM=4，DN=3
∴PM：QN＝DM：DN＝4：3，
∴QN＝PM，
∵PM＝BM+PB＝3+2＝5，
∴QN＝，
∴CQ＝QN＋CN＝；
∴当BP＝2，求CQ的长为或．
21．【答案】（1）证明：Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，
∴∠B=∠C=45°.
∵∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADC=∠ADE+∠EDC，
∴∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD.
又∵∠ADE=45°，
∴45°+∠EDC=45°+∠BAD.
∴∠EDC=∠BAD.
∴△ABD∽△DCE.
（2）解：讨论：①若AD=AE时，∠DAE=90°，此时D点与点B重合，不合题意.
②若AD=DE时，△ABD与△DCE的相似比为1，此时△ABD≌△DCE，
于是AB=AC=2，BC=2 ，AE=AC﹣EC=2﹣BD=2﹣（2 ﹣2）=4﹣2
③若AE=DE，此时∠DAE=∠ADE=45°，
如下图所示易知AD⊥BC，DE⊥AC，且AD=DC.由等腰三角形的三线合一可知：AE=CE= AC=1.
22．【答案】（1）解：设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），
将点A（﹣2，0），B（﹣3，3），O（0，0），代入可得：
，
解得： ，
所以函数解析式为：y=x2+2x
（2）解：①以AE为边时，∵A，O，D，E为顶点的四边形是平行四边形，
∴DE=AO=2，D在x轴向方不可能，
∴D在x轴上方，且DE=2，当D点在对称轴直线x=﹣1的右侧时，D的坐标为（1，3）；
当D点在对称轴直线x=﹣1的左侧时，根据二次函数图象的对称性可知点D的坐标为（﹣3，3），
②以AO为对角线时，则DE与AO互相平分，
∵点E在对称轴上，且线段AO的中点横坐标为﹣1，
由对称性可知，符合条件的点D只有一个，与点C重合，即C（﹣1，﹣1），
综上点D的坐标为（1，3）或（﹣3，3）（﹣1，﹣1）
（3）解：假设存在点P，使以P，M，A为顶点的三角形与△BOC相似，如图 ，
设P（x，y），由题意知x＞0，y＞0，且y=x2+2x，
由题意，△BOC为直角三角形，∠COB=90°，且OC：OB=1：3，
①若△PMA∽△COB，则 = ，
即x+2=3（x2+2x），得
x1= ，x2=﹣2（舍去），当x= 时，y= ，即P（ ， ）；
②若△PMA∽△BOC， = ，
即：x2+2x=3（x+2），
得：x1=3，x2=﹣2（舍去）当x=3时，y=15，即P（3，15）
故符合条件的点P有两个，分别（ ， ）或（3，15）
23．【答案】（1）3
（2）证明： (如图1)
∵∠APC=∠GPD+∠DPC ，
∠APC=∠B+∠BCP，
又∠CPD=∠B，
∴∠GPD=∠BCP
又AD=DG，
∴∠G=∠GAD
又AM∥BC，
∴∠GAD=∠B，
∴∠G=∠B．
又∠GPD=∠BCP
∴△DGP∽△PBC
（3）解：(如图2)
在BA的延长线上取点G，使得DA= DG
∵AB=AC，DA=DG，
∴∠ACB=∠B，∠G=∠GAD．
∵AM∥BC，
∵∠GAD=∠B．
∴∠G=∠ACB ．
∴△DGA∽△ACB
∴
∴
又点P是AB的中点，
∴AP=BP=3
设AD=x，则DG=x，AG= x，PG=3+ x，
由(2)得△DGP△PBC，
∴
∴
解得x=9
∴AD=9
24．【答案】（1）解： ，
，
，
，
，
， .
（2）解： ,
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ,
∴ .