上海市2023届高三下学期数学开学摸底试卷

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上海市2023届高三下学期数学开学摸底试卷
一、填空题
1．（2022高二上·和田期中）已知集合，，则　 　.
【答案】
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】因为集合，，
所以，
故答案为：
【分析】先求出集合A，B，然后根据交集的运算即可.
2．（2023高三下·上海市开学考）已知函数 （，且）．若的反函数的图象经过点，则　 　．
【答案】
【知识点】反函数
【解析】【解答】与其反函数图象关于直线对称，的反函数的图象经过点，
则的图像经过点，所以，
即，解得.
故答案为：.
【分析】函数与其反函数图象关于直线对称，则在已知函数图象上，代入求解.
3．（2023高三下·上海市开学考）若方程x2﹣2x+3＝0的两个根为α和β，则|α|+|β|＝　 　．
【答案】
【知识点】一元次方程根与系数的关系
【解析】【解答】因为，此时方程两根为共轭虚根，
设，则，
，
.
故答案为：.
【分析】因为，设，则，根据根与系数关系及模求解.
4．（2023高三下·上海市开学考）某学校组织学生参加劳动实践活动，其中4名男生和2名女生参加农场体验活动，体验活动结束后，农场主与6名同学站成一排合影留念，则2名女生互不相邻，且农场主站在中间的概率等于　 　．（用数字作答）
【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】根据题意，农场主与6名同学站成一排，有种不同的站法，
若农场主站在中间，有种不同的站法，农场主人站在中间，两名女生相邻共有种站法，
则2名女生互不相邻，且农场主站在中间的站法有种站法，
则其概率，
故答案为：．
【分析】根据题意，由排列数公式计算“农场主与6名同学站成一排”和“2名女生互不相邻，且农场主站在中间”的站法数目，由古典概型公式计算可得答案．
5．（2021·青浦模拟）已知复数 满足 为虚数单位 ，则 的模为　 　.
【答案】
【知识点】复数代数形式的混合运算；复数求模
【解析】【解答】因为 ，所以 ，得 ，
故答案为： .
【分析】首先由复数代数形式的运算性质整理，再结合复数模的概念即可得出答案。
6．（2023高三下·上海市开学考）等比数列中，若，，则　 　．
【答案】4
【知识点】等比数列的通项公式
【解析】【解答】设等比数列的公比为，则，解得，即，所以，
故答案为：4．
【分析】根据等比数列的通项公式可求得答案．
7．（2022高三上·金山模拟）在的二项展开式中，项的系数为　 　(结果用数值表示).
【答案】160
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】二项式展开式中含的项为，
所以项的系数为160。
故答案为：160。
【分析】利用已知条件结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式求出 项的系数。
8．（2023高三下·上海市开学考）若，则的值等于　 　(用表示).
【答案】
【知识点】同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】因为，所以，
所以，
故答案为：
【分析】由同角三角函数的关系得，进而根据，结合齐次式求解即可.
9．（2021·奉贤模拟）函数 在 内单调递增，则实数 的取值范围是　 　.
【答案】(-∞,4]
【知识点】指数函数单调性的应用
【解析】【解答】当 时，在 上， 单调递增， 单调递增，即 单调递增，符合题意；
当 时， 在 内单调递增，符合题意；
当 时， ，
∴若 ， 时，等号不成立，此时 在 内单调递增，符合题意；
若 ， 时，若当且仅当 时等号成立，此时 在 内单调递增，不符合题意，
综上所述，当 时，函数 在 内单调递增。
故答案为：(-∞,4]。
【分析】利用分类讨论的方法结合增函数的定义，再结合均值不等式求最值的方法，再利用函数 在 内单调递增，进而求出实数a的取值范围。
10．（2023高三下·上海市开学考）设集合中，至少有两个元素，且满足：①对于任意，若，都有；②对于任意，若，则.若有4个元素，则有　 　个元素.
【答案】7
【知识点】元素与集合关系的判断
【解析】【解答】解：由题可知，，有4个元素，
若取，则，此时，包含7个元素，
具体如下：
设集合，且，，
则，且，则，
同理，
若，则，则，故，所以，
又，故，所以，
故，此时，故，矛盾，舍去；
若，则，故，所以，
又，故，所以，
故，此时，
若，则，故，故，
即，故，
此时，即中有7个元素.
故答案为：7.
【分析】由题可知有4个元素，根据集合的新定义，设集合，且，，分类讨论和两种情况，并结合题意和并集的运算求出，进而可得出答案.
11．（2021·奉贤模拟）设 为正数列 的前 项和， ， ，对任意的 ， 均有 ，则 的取值为　 　.
【答案】2
【知识点】等比数列；等比数列的前n项和；数列的极限
【解析】【解答】由题设知：当 时， ，即 ，
当 时， ，
综上可知：数列 是公比为 的正项等比数列，即 ，而 ，
∴由题设知，对任意的 ， 有 成立，又因为 ，
∴ ，整理得 恒成立，而 时 ，
∴ 。
故答案为：2。
【分析】利用与的关系式结合分类讨论的方法，从而结合等比数列的定义，推出数列 是公比为 的正项等比数列，再利用等比数列的通项公式求出数列 的通项公式，再利用等比数列前n项和公式求出数列 的前n项的和，由题设知：对任意的 ， 有 成立，又因为 ，整理得 恒成立，再利用数列求极限的方法，进而求出公比的值。
12．（2023高三下·上海市开学考）已知定义在上的奇函数的导函数是，当时，的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为　 　.
【答案】
【知识点】函数奇偶性的性质；函数的单调性与导数的关系
【解析】【解答】依题意是奇函数，图象关于原点对称，
由图象可知，在区间递减，；
在区间递增，.
所以的解集.
故答案为：
【分析】先判断出的单调性，然后求得的解集.
二、单选题
13．（2018·浙江）已知平面α，直线m，n满足mα，nα，则“m∥n”是“m∥α”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】详解：因为 ，所以根据线面平行的判定定理得 .
由 不能得出 与 内任一直线平行，所以 是 的充分不必要条件，
故答案为：A.
【分析】根据线面平行的定义和性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．当命题“若p则q”为真时，可表示为p q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．
14．（2023高三下·上海市开学考）某高科技公司所有雇员的工资情况如下表所示．
年薪（万元） 135 95 80 70 60 52 40 31
人数 1 1 2 1 3 4 1 12
该公司雇员年薪的标准差约为（　　）
A．24.5（万元） B．25.5（万元）
C．26.5（万元） D．27.5（万元）
【答案】B
【知识点】极差、方差与标准差
【解析】【解答】年薪的平均数为万元，
所以该公司雇员年薪的方差约为，
所以该公司雇员年薪的标准差约为（万元）．
故答案为：B
【分析】先求出年薪的平均数，然后由方差的计算公式求出年薪的方差，再求解标准差即可．
15．（2023高三下·上海市开学考）已知点是直线（是参数）和圆（是参数）的公共点，过点作圆的切线，则切线 的方程是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；参数方程化成普通方程
【解析】【解答】由得，则，所以，
圆的普通方程为，圆心为，
，所以切线的斜率为，
方程为，即．
故答案为：A．
【分析】求出点，把圆方程化为普通方程，得圆心坐标，由切线性质求得切线斜率，得切线方程．
16．（2019·温州模拟）已知数列 满足 ， .给出以下两个命题：命题 对任意 ，都有 ；命题 存在 ，使得对任意 ，都有 .则（　　）
A．p真，q真 B．p真，q假 C．p假，q真 D．p假，q假
【答案】B
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】由题意可知
则
数列 单调递减,所以
而当 时, 且
则 ,所以命题 为真命题
而
所以
所以 ,
即
所以
可得 ,
即存在 ,对任意 ,都有 成立
又
所以 ,即小于0有解,所以命题 为假命题
综上可知, 命题 为真命题, 命题 为假命题
故答案为：B
【分析】利用作差法,可证明数列 的单调性,结合极值特征即可判断命题 ;将 变形,结合不等式的放缩法,可得 .进而利用对数的运算变形化简,求得 ,从而得知命题q的真假.
三、解答题
17．（2023高三下·上海市开学考）如图，在四棱锥P-ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝AD＝AP＝2，BC＝1，且Q为线段BP的中点．
（1）求直线CQ与PD所成角的大小；
（2）求直线CQ到平面ADQ所成角的大小．
【答案】（1）解：连接，作交于，
四边形ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝AD＝2，BC＝1，
所以为矩形且分别为中点，则.
连接，又Q为线段BP的中点，故，
所以直线CQ与PD所成角，即为，
因为PA⊥平面ABCD，面ABCD，则，AP＝2，故，同理得，
又，，则面，而，
所以面，又面，故，则，
又，故在△中，即，
综上，，故.
（2）解：连接，由题设易知：到面的距离为，又，
所以，而，
由面，面，则，故，
若到面距离为，故，可得，又，
所以直线CQ到平面ADQ所成角正弦值为，故线面角大小为.
【知识点】异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1） 连接，作交于，连接 ，易得，则直线CQ与PD所成角为，根据线面垂直的判定和性质证线线垂直，应用勾股定理、中位线的性质求相关线段长度，进而求的大小；
（2）连接，由求到面，结合即可求直线CQ到平面ADQ所成角的大小．
18．（2023高三下·上海市开学考）2020年11月5日至10日，第三届中国国际进口博览会在上海举行，经过三年发展，进博会让展品变商品，让展商变投资商，交流创意和理念，联通中国和世界，国际采购、投资促进、人文交流，开放合作四大平台作用不断凸显，成为全球共享的国际公共产品.在消费品展区，某企业带来了一款新型节能环保产品参展，并决定大量投放市场.已知该产品年固定研发成本为150万元，每生产1万台需另投入380万元.设该企业一年内生产该产品万台且全部售完，每万台的销售收入为万元，且.
（1）写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式；（利润 = 销售收入—成本）
（2）当年产量为多少万台时，该企业获得的年利润最大？并求出最大年利润.
【答案】（1）解：当时，
，
当时，
，
所以年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式为
（2）解：当时，，
所以函数在上单调递增，所以当时， 取得最大值1450，
当时，
，
当且仅当，即时取等号，此时取得最大值1490，
因为，
所以当年产量为25万台时，该企业获得的年利润最大，最大为1490万元
【知识点】基本不等式；分段函数的应用；函数模型的选择与应用
【解析】【分析】（1）分和两种情况，由利润 = 销售收入—成本，知，再代入的解析式，进行化简整理即可；
（2）当时，利用配方法求出的最大值，当时，利用基本不等式求出的最大值，比较两个最大值后，取较大的即可.
19．（2023高三下·上海市开学考）在平面直角坐标系中，已知双曲线（、为正数）的右顶点为，右焦点到渐近线的距离为4，直线与双曲线交于、两点，且、均不是双曲线的顶点，为的中点．
（1）求双曲线的方程；
（2）当直线与直线的斜率均存在时，设斜率分别为、，求的值；
（3）若，试探究直线是否过定点？若过定点，求出该定点坐标：否则，说明理由．
【答案】（1）解：双曲线的渐近线方程为，即，
所以，该双曲线的右焦点到渐近线的距离为，因为，则，
因此，双曲线的方程为.
（2）解：设点、，则点，
所以，，，
由已知可得，两式作差可得，因此，.
（3）证明：因为，则，
又因为为的中点，故是直角三角形，且，设、.
①若直线轴，设直线的方程为，则、，
所以，，所以，，
易知点，，，
，
因为，解得；
②若直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立，可得，
所以，，
由韦达定理可得，，
，，
则
，
化简可得，即.
若，则直线的方程为，此时直线过点，不合乎题意；
若，则直线的方程为，此时直线过定点.
综上所述，直线过定点.
【知识点】恒过定点的直线；双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件求出，可求得，进而可得出双曲线的方程；
（2） 设点、，则点， 利用点差法可求得的值；
（3）分析可知，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，设出直线的方程，与双曲线的方程联立，结合平面向量数量积的坐标运算，求出对应参数的值或满足的等量关系式，即可求得直线所过定点的坐标.
20．（2023高三下·上海市开学考）已知在每一项均不为0的数列中，，且（、为常数，），记数列的前项和为.
（1）当时，求；
（2）当、时，
①求证：数列为等比数列；
②是否存在正整数，使得不等式对任意恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：当时，，
因为，所以，数列是首项为3、公比为的等比数列，
当时，；当时，，
故.
（2）解：①证明：当，时，，
则，，
若存在且，使得，
则，这与矛盾，
故，，
则，
因为，
所以数列是首项为、公比为2的等比数列.
②因为数列是首项为、公比为2的等比数列，
所以，，，，
因为，
所以，即，
当时，，
则
（当且仅当时取“”），
故，
因为，
所以存在且的最小值为2.
【知识点】函数恒成立问题；等比关系的确定；数列的求和
【解析】【分析】（1）本题首先可根据题意得出，然后根据得出数列是首项为3、公比为的等比数列， 最后通过等比数列前项和公式即可得出结果；
（2）①本题首先可根据题意得出，通过转化得出 ，， 然后通过判断得出，最后通过以及即可证得；
②本题首先可根据①得出以及，然后通过计算得出，最后通过放缩法以及等比数列前项和公式即可得出结果.
21．（2023高三下·上海市开学考）设函数，其中，若任意均有，则称函数是函数的控制函数”，且对于所有满足条件的函数在处取得的最小值记为．
（1）若，试问是否为的控制函数”；
（2）若，使得直线是曲线在处的切线，证明：函数为函数的控制函数，并求“”的值；
（3）若曲线在处的切线过点，且，证明：当且仅当或时，．
【答案】（1）解：当时，令，
所以，令解得或，
所以在单调递减，
又因为，所以在上小于等于0恒成立，
即在上恒成立，所以由题意是的控制函数.
（2）解：当时，，，
所以，，
所以曲线在处的切线为，整理得，
令，则，
令解得，所以在单调递增，在单调递减，
又，所以在上小于等于0恒成立，
即在上恒成立，所以是的控制函数，
由题意.
（3）证明：由题意
设在处的切线为，
则，因为 且，
所以，
所以，
，
所以，
则即恒成立，
所以函数必是函数的“控制函数”.
是函数的“控制函数”
此时“控制函数”必与相切与点，与在处相切，且过点，
由上及知：当且仅当或时等号成立，其他位置恒有，
所以或.
所以曲线在处的切线过点，且，
当且仅当或时，.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）令，利用导函数求单调性进而判断在上的正负即可；
（2）利用导数的几何意义求得切线的方程，再利用导函数求单调性进而判断在上的正负即可；
（3） 设在处的切线为， 利用切线过求出，再利用控制函数的定义求解即可.
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上海市2023届高三下学期数学开学摸底试卷
一、填空题
1．（2022高二上·和田期中）已知集合，，则　 　.
2．（2023高三下·上海市开学考）已知函数 （，且）．若的反函数的图象经过点，则　 　．
3．（2023高三下·上海市开学考）若方程x2﹣2x+3＝0的两个根为α和β，则|α|+|β|＝　 　．
4．（2023高三下·上海市开学考）某学校组织学生参加劳动实践活动，其中4名男生和2名女生参加农场体验活动，体验活动结束后，农场主与6名同学站成一排合影留念，则2名女生互不相邻，且农场主站在中间的概率等于　 　．（用数字作答）
5．（2021·青浦模拟）已知复数 满足 为虚数单位 ，则 的模为　 　.
6．（2023高三下·上海市开学考）等比数列中，若，，则　 　．
7．（2022高三上·金山模拟）在的二项展开式中，项的系数为　 　(结果用数值表示).
8．（2023高三下·上海市开学考）若，则的值等于　 　(用表示).
9．（2021·奉贤模拟）函数 在 内单调递增，则实数 的取值范围是　 　.
10．（2023高三下·上海市开学考）设集合中，至少有两个元素，且满足：①对于任意，若，都有；②对于任意，若，则.若有4个元素，则有　 　个元素.
11．（2021·奉贤模拟）设 为正数列 的前 项和， ， ，对任意的 ， 均有 ，则 的取值为　 　.
12．（2023高三下·上海市开学考）已知定义在上的奇函数的导函数是，当时，的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为　 　.
二、单选题
13．（2018·浙江）已知平面α，直线m，n满足mα，nα，则“m∥n”是“m∥α”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
14．（2023高三下·上海市开学考）某高科技公司所有雇员的工资情况如下表所示．
年薪（万元） 135 95 80 70 60 52 40 31
人数 1 1 2 1 3 4 1 12
该公司雇员年薪的标准差约为（　　）
A．24.5（万元） B．25.5（万元）
C．26.5（万元） D．27.5（万元）
15．（2023高三下·上海市开学考）已知点是直线（是参数）和圆（是参数）的公共点，过点作圆的切线，则切线 的方程是（　　）
A． B．
C． D．
16．（2019·温州模拟）已知数列 满足 ， .给出以下两个命题：命题 对任意 ，都有 ；命题 存在 ，使得对任意 ，都有 .则（　　）
A．p真，q真 B．p真，q假 C．p假，q真 D．p假，q假
三、解答题
17．（2023高三下·上海市开学考）如图，在四棱锥P-ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝AD＝AP＝2，BC＝1，且Q为线段BP的中点．
（1）求直线CQ与PD所成角的大小；
（2）求直线CQ到平面ADQ所成角的大小．
18．（2023高三下·上海市开学考）2020年11月5日至10日，第三届中国国际进口博览会在上海举行，经过三年发展，进博会让展品变商品，让展商变投资商，交流创意和理念，联通中国和世界，国际采购、投资促进、人文交流，开放合作四大平台作用不断凸显，成为全球共享的国际公共产品.在消费品展区，某企业带来了一款新型节能环保产品参展，并决定大量投放市场.已知该产品年固定研发成本为150万元，每生产1万台需另投入380万元.设该企业一年内生产该产品万台且全部售完，每万台的销售收入为万元，且.
（1）写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式；（利润 = 销售收入—成本）
（2）当年产量为多少万台时，该企业获得的年利润最大？并求出最大年利润.
19．（2023高三下·上海市开学考）在平面直角坐标系中，已知双曲线（、为正数）的右顶点为，右焦点到渐近线的距离为4，直线与双曲线交于、两点，且、均不是双曲线的顶点，为的中点．
（1）求双曲线的方程；
（2）当直线与直线的斜率均存在时，设斜率分别为、，求的值；
（3）若，试探究直线是否过定点？若过定点，求出该定点坐标：否则，说明理由．
20．（2023高三下·上海市开学考）已知在每一项均不为0的数列中，，且（、为常数，），记数列的前项和为.
（1）当时，求；
（2）当、时，
①求证：数列为等比数列；
②是否存在正整数，使得不等式对任意恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由.
21．（2023高三下·上海市开学考）设函数，其中，若任意均有，则称函数是函数的控制函数”，且对于所有满足条件的函数在处取得的最小值记为．
（1）若，试问是否为的控制函数”；
（2）若，使得直线是曲线在处的切线，证明：函数为函数的控制函数，并求“”的值；
（3）若曲线在处的切线过点，且，证明：当且仅当或时，．
答案解析部分
1．【答案】
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】因为集合，，
所以，
故答案为：
【分析】先求出集合A，B，然后根据交集的运算即可.
2．【答案】
【知识点】反函数
【解析】【解答】与其反函数图象关于直线对称，的反函数的图象经过点，
则的图像经过点，所以，
即，解得.
故答案为：.
【分析】函数与其反函数图象关于直线对称，则在已知函数图象上，代入求解.
3．【答案】
【知识点】一元次方程根与系数的关系
【解析】【解答】因为，此时方程两根为共轭虚根，
设，则，
，
.
故答案为：.
【分析】因为，设，则，根据根与系数关系及模求解.
4．【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】根据题意，农场主与6名同学站成一排，有种不同的站法，
若农场主站在中间，有种不同的站法，农场主人站在中间，两名女生相邻共有种站法，
则2名女生互不相邻，且农场主站在中间的站法有种站法，
则其概率，
故答案为：．
【分析】根据题意，由排列数公式计算“农场主与6名同学站成一排”和“2名女生互不相邻，且农场主站在中间”的站法数目，由古典概型公式计算可得答案．
5．【答案】
【知识点】复数代数形式的混合运算；复数求模
【解析】【解答】因为 ，所以 ，得 ，
故答案为： .
【分析】首先由复数代数形式的运算性质整理，再结合复数模的概念即可得出答案。
6．【答案】4
【知识点】等比数列的通项公式
【解析】【解答】设等比数列的公比为，则，解得，即，所以，
故答案为：4．
【分析】根据等比数列的通项公式可求得答案．
7．【答案】160
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】二项式展开式中含的项为，
所以项的系数为160。
故答案为：160。
【分析】利用已知条件结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式求出 项的系数。
8．【答案】
【知识点】同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】因为，所以，
所以，
故答案为：
【分析】由同角三角函数的关系得，进而根据，结合齐次式求解即可.
9．【答案】(-∞,4]
【知识点】指数函数单调性的应用
【解析】【解答】当 时，在 上， 单调递增， 单调递增，即 单调递增，符合题意；
当 时， 在 内单调递增，符合题意；
当 时， ，
∴若 ， 时，等号不成立，此时 在 内单调递增，符合题意；
若 ， 时，若当且仅当 时等号成立，此时 在 内单调递增，不符合题意，
综上所述，当 时，函数 在 内单调递增。
故答案为：(-∞,4]。
【分析】利用分类讨论的方法结合增函数的定义，再结合均值不等式求最值的方法，再利用函数 在 内单调递增，进而求出实数a的取值范围。
10．【答案】7
【知识点】元素与集合关系的判断
【解析】【解答】解：由题可知，，有4个元素，
若取，则，此时，包含7个元素，
具体如下：
设集合，且，，
则，且，则，
同理，
若，则，则，故，所以，
又，故，所以，
故，此时，故，矛盾，舍去；
若，则，故，所以，
又，故，所以，
故，此时，
若，则，故，故，
即，故，
此时，即中有7个元素.
故答案为：7.
【分析】由题可知有4个元素，根据集合的新定义，设集合，且，，分类讨论和两种情况，并结合题意和并集的运算求出，进而可得出答案.
11．【答案】2
【知识点】等比数列；等比数列的前n项和；数列的极限
【解析】【解答】由题设知：当 时， ，即 ，
当 时， ，
综上可知：数列 是公比为 的正项等比数列，即 ，而 ，
∴由题设知，对任意的 ， 有 成立，又因为 ，
∴ ，整理得 恒成立，而 时 ，
∴ 。
故答案为：2。
【分析】利用与的关系式结合分类讨论的方法，从而结合等比数列的定义，推出数列 是公比为 的正项等比数列，再利用等比数列的通项公式求出数列 的通项公式，再利用等比数列前n项和公式求出数列 的前n项的和，由题设知：对任意的 ， 有 成立，又因为 ，整理得 恒成立，再利用数列求极限的方法，进而求出公比的值。
12．【答案】
【知识点】函数奇偶性的性质；函数的单调性与导数的关系
【解析】【解答】依题意是奇函数，图象关于原点对称，
由图象可知，在区间递减，；
在区间递增，.
所以的解集.
故答案为：
【分析】先判断出的单调性，然后求得的解集.
13．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】详解：因为 ，所以根据线面平行的判定定理得 .
由 不能得出 与 内任一直线平行，所以 是 的充分不必要条件，
故答案为：A.
【分析】根据线面平行的定义和性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．当命题“若p则q”为真时，可表示为p q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．
14．【答案】B
【知识点】极差、方差与标准差
【解析】【解答】年薪的平均数为万元，
所以该公司雇员年薪的方差约为，
所以该公司雇员年薪的标准差约为（万元）．
故答案为：B
【分析】先求出年薪的平均数，然后由方差的计算公式求出年薪的方差，再求解标准差即可．
15．【答案】A
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；参数方程化成普通方程
【解析】【解答】由得，则，所以，
圆的普通方程为，圆心为，
，所以切线的斜率为，
方程为，即．
故答案为：A．
【分析】求出点，把圆方程化为普通方程，得圆心坐标，由切线性质求得切线斜率，得切线方程．
16．【答案】B
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】由题意可知
则
数列 单调递减,所以
而当 时, 且
则 ,所以命题 为真命题
而
所以
所以 ,
即
所以
可得 ,
即存在 ,对任意 ,都有 成立
又
所以 ,即小于0有解,所以命题 为假命题
综上可知, 命题 为真命题, 命题 为假命题
故答案为：B
【分析】利用作差法,可证明数列 的单调性,结合极值特征即可判断命题 ;将 变形,结合不等式的放缩法,可得 .进而利用对数的运算变形化简,求得 ,从而得知命题q的真假.
17．【答案】（1）解：连接，作交于，
四边形ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝AD＝2，BC＝1，
所以为矩形且分别为中点，则.
连接，又Q为线段BP的中点，故，
所以直线CQ与PD所成角，即为，
因为PA⊥平面ABCD，面ABCD，则，AP＝2，故，同理得，
又，，则面，而，
所以面，又面，故，则，
又，故在△中，即，
综上，，故.
（2）解：连接，由题设易知：到面的距离为，又，
所以，而，
由面，面，则，故，
若到面距离为，故，可得，又，
所以直线CQ到平面ADQ所成角正弦值为，故线面角大小为.
【知识点】异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1） 连接，作交于，连接 ，易得，则直线CQ与PD所成角为，根据线面垂直的判定和性质证线线垂直，应用勾股定理、中位线的性质求相关线段长度，进而求的大小；
（2）连接，由求到面，结合即可求直线CQ到平面ADQ所成角的大小．
18．【答案】（1）解：当时，
，
当时，
，
所以年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式为
（2）解：当时，，
所以函数在上单调递增，所以当时， 取得最大值1450，
当时，
，
当且仅当，即时取等号，此时取得最大值1490，
因为，
所以当年产量为25万台时，该企业获得的年利润最大，最大为1490万元
【知识点】基本不等式；分段函数的应用；函数模型的选择与应用
【解析】【分析】（1）分和两种情况，由利润 = 销售收入—成本，知，再代入的解析式，进行化简整理即可；
（2）当时，利用配方法求出的最大值，当时，利用基本不等式求出的最大值，比较两个最大值后，取较大的即可.
19．【答案】（1）解：双曲线的渐近线方程为，即，
所以，该双曲线的右焦点到渐近线的距离为，因为，则，
因此，双曲线的方程为.
（2）解：设点、，则点，
所以，，，
由已知可得，两式作差可得，因此，.
（3）证明：因为，则，
又因为为的中点，故是直角三角形，且，设、.
①若直线轴，设直线的方程为，则、，
所以，，所以，，
易知点，，，
，
因为，解得；
②若直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立，可得，
所以，，
由韦达定理可得，，
，，
则
，
化简可得，即.
若，则直线的方程为，此时直线过点，不合乎题意；
若，则直线的方程为，此时直线过定点.
综上所述，直线过定点.
【知识点】恒过定点的直线；双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件求出，可求得，进而可得出双曲线的方程；
（2） 设点、，则点， 利用点差法可求得的值；
（3）分析可知，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，设出直线的方程，与双曲线的方程联立，结合平面向量数量积的坐标运算，求出对应参数的值或满足的等量关系式，即可求得直线所过定点的坐标.
20．【答案】（1）解：当时，，
因为，所以，数列是首项为3、公比为的等比数列，
当时，；当时，，
故.
（2）解：①证明：当，时，，
则，，
若存在且，使得，
则，这与矛盾，
故，，
则，
因为，
所以数列是首项为、公比为2的等比数列.
②因为数列是首项为、公比为2的等比数列，
所以，，，，
因为，
所以，即，
当时，，
则
（当且仅当时取“”），
故，
因为，
所以存在且的最小值为2.
【知识点】函数恒成立问题；等比关系的确定；数列的求和
【解析】【分析】（1）本题首先可根据题意得出，然后根据得出数列是首项为3、公比为的等比数列， 最后通过等比数列前项和公式即可得出结果；
（2）①本题首先可根据题意得出，通过转化得出 ，， 然后通过判断得出，最后通过以及即可证得；
②本题首先可根据①得出以及，然后通过计算得出，最后通过放缩法以及等比数列前项和公式即可得出结果.
21．【答案】（1）解：当时，令，
所以，令解得或，
所以在单调递减，
又因为，所以在上小于等于0恒成立，
即在上恒成立，所以由题意是的控制函数.
（2）解：当时，，，
所以，，
所以曲线在处的切线为，整理得，
令，则，
令解得，所以在单调递增，在单调递减，
又，所以在上小于等于0恒成立，
即在上恒成立，所以是的控制函数，
由题意.
（3）证明：由题意
设在处的切线为，
则，因为 且，
所以，
所以，
，
所以，
则即恒成立，
所以函数必是函数的“控制函数”.
是函数的“控制函数”
此时“控制函数”必与相切与点，与在处相切，且过点，
由上及知：当且仅当或时等号成立，其他位置恒有，
所以或.
所以曲线在处的切线过点，且，
当且仅当或时，.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）令，利用导函数求单调性进而判断在上的正负即可；
（2）利用导数的几何意义求得切线的方程，再利用导函数求单调性进而判断在上的正负即可；
（3） 设在处的切线为， 利用切线过求出，再利用控制函数的定义求解即可.
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