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新高考地区2022-2023学年高三下学期数学开学考试卷
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】，，
故答案为：D.
【分析】求出集合M中元素范围，再求即可.
2．已知复数是纯虚数，则（ ）
A．3 B．1 C．-1 D．-3
【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】，
因为复数是纯虚数，
则，解得
故答案为：B.
【分析】求出复数的代数形式，再根据纯虚数的概念列式计算.
3．古代名著《九章算术》中记载了求“方亭”体积的问题，方亭是指正四棱台，今有一个方亭型的水库，该水库的下底面的边长为20km，上底面的边长为40km，若水库的最大蓄水量为，则水库深度（棱台的高）为（ ）
A．10m B．20m C．30m D．40m
【答案】A
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】因为正四棱台上下底面边长分别为40km和20km，设高，
因为，，由棱台的体积计算公式可得：
，解得：，
故答案为：A.
【分析】由题意可知：该水库是一个正四棱台，已知正四棱台的体积为，上下底面边长分别为40km和20km，求正四棱台的高，同一单位，代入体积计算公式即可求解.
4．已知抛物线C：，过焦点F的直线与C在第四象限交于M点，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】因为直线过抛物线C：的焦点，则，
所以，，抛物线方程为，因为在抛物线上且在第四象限，设点，则，解得：，由抛物线的定义可知：，
故答案为：C.
【分析】由题意可知：焦点，设点，利用直线的斜率可得，再利用抛物线的定义即可求解.
5．若，，则（ ）
A． B． C． D．0
【答案】D
【知识点】二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】
，
或，
或（舍去，使无意义）
又，
，
故答案为：D.
【分析】利用倍角公式及辅助角公式求出角，再代入计算即可.
6．某部门统计了某地区今年前7个月在线外卖的规模如下表：
月份代号x 1 2 3 4 5 6 7
在线外卖规模y（百万元） 11 13 18 ★ 28 ★ 35
其中4、6两个月的在线外卖规模数据模糊，但这7个月的平均值为23．若利用回归直线方程来拟合预测，且7月相应于点的残差为，则（ ）
A．1.0 B．2.0 C．3.0 D．4.0
【答案】B
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】依题意，，而，于是得，
而当时，，即，联立解得，
所以.
故答案为：B
【分析】根据给定条件，求出，再借助回归直线的特征及残差列出方程组即可求解作答.
7．已知球O的半径为2，四棱锥的顶点均在球O的球面上，当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】令球O的内接四棱锥为，四边形外接圆半径为，对角线的夹角为，
则四边形的面积，
当且仅当，即四边形为正方形时取等号，
由球的结构特征知，顶点P为直线与球面O的交点，并且球心O在线段上，四棱锥的高最大，如图，
，高，
因此四棱锥的最大体积关系式为：，令，
则，
求导得，当时，，当时，，
因此函数在上单调递增，在上单调递减，当时，，此时，
所以当该四棱锥的体积最大时，其高为.
故答案为：D
【分析】根据给定条件，确定四棱锥体积最大时为正四棱锥，设出底面外接圆半径，求出体积函数式，再利用导数求解作答.
8．已知曲线在点处的切线与轴交于点，曲线在点处的切线与轴交于点，若，则的取小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】导数的几何意义；两点间的距离公式
【解析】【解答】设，，
，，
因为，所以，得，
，令，得，则，
，令，得，则，
则+
，两次不等式取等的条件都是.
所以的取小值为.
故答案为：C
【分析】设，，求导，，根据导数的几何意义结合，得，求出切线方程，得到，，由两点间的距离公式和基本不等式可求出结果.
二、多选题
9．与圆和都相切的直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
则两圆心的距离，
故两圆外切，则两圆的公切线有3条，且斜率都存在，
设两圆的公切线方程为，即，
则，解得或或
故公切线方程为或或
故答案为：ABD.
【分析】确定两圆的位置关系，设出公切线的方程，利用点到直线的距离公式列方程组求解.
10．记函数的最小正周期为，且，函数的图象关于点对称，则（ ）
A．
B．
C．
D．当取得最小值时，
【答案】B,D
【知识点】余弦函数的奇偶性与对称性
【解析】【解答】因为函数的图象关于点对称，
则，A不符合题意；
又，
，得，
，，B符合题意；
，解得，
，
C不符合题意；
当取得最小值，即时，，
，D符合题意.
故答案为：BD.
【分析】根据余弦函数图象和性质可求出，进而可逐一判断每个选项的正误.
11．已知椭圆的焦距长为，点为椭圆上一点，、是椭圆上关于坐标原点对称的两点（、非椭圆顶点），过作轴的垂线，垂足为，直线交椭圆于另一点，则（ ）
A．椭圆的方程为
B．
C．若为椭圆的一个焦点时，则的面积为
D．若，则的面积为
【答案】A,B,D
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】对于A选项，由题意可知，椭圆的左焦点为，右焦点为，
由椭圆的定义可得，
可得，则，故椭圆的方程为，A对；
对于B选项，设点，则，其中，易知点，
设点，则，两式作差可得，
所以，，即，
因为，所以，，则，
故，B对；
对于C选项，若为椭圆的一个焦点时，不妨设点，设点位于点上方，
联立解得，则点，故点，
所以，，C不符合题意；
对于D选项，不妨设点为第一象限内的点，
因为轴，且，所以，为等腰直角三角形，且，
设点，其中，则有，解得，
则点，故点、，
所以，，D对.
故答案为：ABD.
【分析】根据椭圆定义求出，则，可得出椭圆的方程，可判断A选项；利用点差法结合斜率关系可判断B选项；设，设点位于点上方，求出点，利用三角形的面积公式可判断C选项；设点为第一象限内的点，根据题意设点，其中，将点的坐标代入椭圆的方程，求出，利用三角形的面积公式可判断D选项.
12．已知函数，的定义域均为，且，，若为偶函数，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】抽象函数及其应用
【解析】【解答】由，以替换得，
结合得，
由于是偶函数，所以，
则，所以，C选项正确.
由令得，A选项正确.
由令得，
由令得，B选项错误.
由令得，
所以，
由得，，
，，
所以，
由于是周期为的周期函数，
所以，D选项正确.
故答案为：ACD
【分析】利用赋值法，结合函数的奇偶性、周期性求得正确答案.
三、填空题
13．已知向量，，若，则实数 ．
【答案】
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】向量，，则，而，
则有，解得，
所以实数.
故答案为：
【分析】根据给定条件，利用向量的坐标运算和共线向量坐标表示求解作答.
14．已知的展开式中的系数为-40，则实数 ．
【答案】4
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】∵表示6个因式的乘积，
故展开式中含的项为：
四个因式取，一个因式取，1个因式取-1；
或者：有三个因式取，其余的3个因式都取-1；
故展开式中含的项为
，解得
故答案为：4
【分析】先确定展开式中产生的项的方式，然后求出的项的系数列方程求解.
15．已知，是该函数的极值点，定义表示超过实数x的最小整数，则的值为 ．
【答案】0
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】的定义域为，
，令，
所以在上单调递增，
，
所以存在，使，
则在区间上，递减；在区间上，递增，
所以是的极小值点，所以，
所以.
故答案为：0
【分析】利用二次求导的方法求得，从而求得，进而求得正确答案.
16．现取长度为2的线段的中点，以为直径作半圆，该半圆的面积为（图1），再取线段的中点，以为直径作半圆．所有半圆的面积之和为（图2），再取线段的中点，以为直径作半圆，所有半圆的面积之和为，以此类推，则 ．
【答案】
【知识点】数列的求和；扇形的弧长与面积
【解析】【解答】依题意，，
，
，
以此类推可知，数列是首项为，公比是的等比数列，
所以.
令，
则，
，
两式相减得
所以.
所以.
故答案为：
【分析】先求得，然后利用错位相减求和法求得正确答案.
四、解答题
17．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
（1）证明：为定值；
（2）若，，求的周长．
【答案】（1）证明：
即，
由正弦定理角化边以及余弦定理得
，
整理得，即，
所以为定值；
（2）解：由（1），
，
，
得，
的周长为
【知识点】解三角形；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用正弦定理角化边以及余弦定理可整理变形得到为定值；
（2）先利用（1）以及余弦定理求出，然后再次用余弦定理并利用变形可得，则周长可求.
18．已知为数列的前项和，，．
（1）求；
（2）若，证明：．
【答案】（1）解：①
时，②
则①-②得，
当时可整理得，
即，
由①当时，，得，
当时，，得，
，
，
又，，符合，
；
（2）证明：由（1）得，
，
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）利用，当时，两式相减整理得到，再通过条件中的递推式求出，，将递推下去即可得；
（2）将分离常数，利用放缩法，然后裂项求和即可.
19．青少年近视问题备受社会各界广泛关注，某研究机构为了解学生对预防近视知识的掌握程度，对某校学生进行问卷调查，并随机抽取200份问卷，发现其得分（满分：100分）都在区间中，并将数据分组，制成如下频率分布表：
分数
频率 0.15 0.25 0.30 0.10
（1）试估计这200份问卷得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）用样本估计总体，用频率估计概率，从该校学生中随机抽取4人深入调查，设X为抽取的4人中得分在的人数，求的分布列与数学期望．
【答案】（1）解：由频率分布表可得，解得，
所以这200份问卷得分的平均值为
；
（2）解：由题意可得的可能取值为，则，
又，
则的分布列为：
0 1 2 3 4
0.0256 0.1536 0.3456 0.3456 0.1296
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）先利用频率和为1求出，在利用平均值的公式求解即可；
（2）由题可得服从二项分布，根据二项分布的公式以及期望公式计算可得答案.
20．在四棱锥中，底面，，，，，．
（1）证明：平面平面；
（2）若，求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明：因为，，，所以，
又因为，．所以，即，
因为底面，底面，所以，
由，，平面，平面，，得平面，
又因为平面，所以平面平面；
（2）解：以为原点，所在直线为轴，过垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系：
则，，，，
在平面中，如图：
，，，所以，
，，，所以，
所以，
过作，垂足为，则，即，
又，所以，即，，
所以，，
所以，
则，，，
设平面的一个法向量为，
则，则，令，得，则，
设平面的一个法向量为，
则，令，得，，得，
.
根据图形可知，二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为.
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1）根据勾股定理得，由底面 ，得，根据线面垂直判定定理得 平面 ，再根据面面垂直的判定定理得平面平面；
（2） 以为原点，所在直线为轴，过垂直于平面的直线为轴， 建立空间直角坐标系，利用二面角的向量公式可求出结果.
21．已知双曲线的渐近线方程为，点，分别为双曲线的左、右焦点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于第一象限的点，且的周长为．
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线与双曲线的左支、右支分别交于，两点，与直线，分别交于P，Q两点，求的取值范围．
【答案】（1）解：因为双曲线的渐近线方程为，所以，
设，则，
所以，因为点在第一象限，所以，即，
所以，又，
所以，所以，
所以双曲线的方程为.
（2）解：设，，
联立，消去并整理得，
所以，解得，
，，
所以，
联立，解得，所以，
联立，解得，所以，
所以，
所以，其中，
因为，所以，.
所以的取值范围为.
【知识点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据渐近线方程得， 设，则， 代入双曲线方程求出，得，利用双曲线定义求出，根据 的周长为列式求出，可得双曲线方程；
（2）联立直线与椭圆，根据题意求出，由弦长公式求出，再求出，和，根据的范围可求出的取值范围.
22．已知函数（）．
（1）讨论的单调性；
（2）若，（）是的两个极值点，证明：．
【答案】（1）解：∵，（）∴定义域为，
∴，（），
令，（），
①当时，，，，，
此时，在区间上单调递增；
②当时，，
令，解得，，
∴当时，，，
当时，，，
∴此时，在区间上单调递增，在区间上单调递减；
③当时，，
（i）当时，，，，，
∴此时，在区间上单调递增；
（ii）当时，，
令，解得，，且，
∴当时，，，
当时，，，
∴此时，在区间和上单调递增，
在区间上单调递减.
综上所述，当时，在区间上单调递增；
当时，在区间和上单调递增，
在区间上单调递减；
当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减.
（2）证明：由第（1）问知，若，（）是的两个极值点，
则，且的两根即为，，
且，，∴，
，
∴，
又∵，
∴不等式等价于，
∵，∴，，又∵，∴，
∴不等式又等价于，即，
∴只需证，
令，，则，在区间上单调递减，
又∵，∴，，
∴，
∴若，（）是的两个极值点，.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）对求导，根据的取值范围，对的符号进行讨论，即可得出的单调性；
（2）由第一问中有两个极值点时 ，化简不等式，然后构造函数，利用导数研究所构造函数的单调性，根据单调性进行证明.
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新高考地区2022-2023学年高三下学期数学开学考试卷
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．已知复数是纯虚数，则（ ）
A．3 B．1 C．-1 D．-3
3．古代名著《九章算术》中记载了求“方亭”体积的问题，方亭是指正四棱台，今有一个方亭型的水库，该水库的下底面的边长为20km，上底面的边长为40km，若水库的最大蓄水量为，则水库深度（棱台的高）为（ ）
A．10m B．20m C．30m D．40m
4．已知抛物线C：，过焦点F的直线与C在第四象限交于M点，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．若，，则（ ）
A． B． C． D．0
6．某部门统计了某地区今年前7个月在线外卖的规模如下表：
月份代号x 1 2 3 4 5 6 7
在线外卖规模y（百万元） 11 13 18 ★ 28 ★ 35
其中4、6两个月的在线外卖规模数据模糊，但这7个月的平均值为23．若利用回归直线方程来拟合预测，且7月相应于点的残差为，则（ ）
A．1.0 B．2.0 C．3.0 D．4.0
7．已知球O的半径为2，四棱锥的顶点均在球O的球面上，当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A． B．2 C． D．
8．已知曲线在点处的切线与轴交于点，曲线在点处的切线与轴交于点，若，则的取小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．与圆和都相切的直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
10．记函数的最小正周期为，且，函数的图象关于点对称，则（ ）
A．
B．
C．
D．当取得最小值时，
11．已知椭圆的焦距长为，点为椭圆上一点，、是椭圆上关于坐标原点对称的两点（、非椭圆顶点），过作轴的垂线，垂足为，直线交椭圆于另一点，则（ ）
A．椭圆的方程为
B．
C．若为椭圆的一个焦点时，则的面积为
D．若，则的面积为
12．已知函数，的定义域均为，且，，若为偶函数，，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．已知向量，，若，则实数 ．
14．已知的展开式中的系数为-40，则实数 ．
15．已知，是该函数的极值点，定义表示超过实数x的最小整数，则的值为 ．
16．现取长度为2的线段的中点，以为直径作半圆，该半圆的面积为（图1），再取线段的中点，以为直径作半圆．所有半圆的面积之和为（图2），再取线段的中点，以为直径作半圆，所有半圆的面积之和为，以此类推，则 ．
四、解答题
17．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
（1）证明：为定值；
（2）若，，求的周长．
18．已知为数列的前项和，，．
（1）求；
（2）若，证明：．
19．青少年近视问题备受社会各界广泛关注，某研究机构为了解学生对预防近视知识的掌握程度，对某校学生进行问卷调查，并随机抽取200份问卷，发现其得分（满分：100分）都在区间中，并将数据分组，制成如下频率分布表：
分数
频率 0.15 0.25 0.30 0.10
（1）试估计这200份问卷得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）用样本估计总体，用频率估计概率，从该校学生中随机抽取4人深入调查，设X为抽取的4人中得分在的人数，求的分布列与数学期望．
20．在四棱锥中，底面，，，，，．
（1）证明：平面平面；
（2）若，求二面角的余弦值．
21．已知双曲线的渐近线方程为，点，分别为双曲线的左、右焦点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于第一象限的点，且的周长为．
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线与双曲线的左支、右支分别交于，两点，与直线，分别交于P，Q两点，求的取值范围．
22．已知函数（）．
（1）讨论的单调性；
（2）若，（）是的两个极值点，证明：．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】，，
故答案为：D.
【分析】求出集合M中元素范围，再求即可.
2．【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】，
因为复数是纯虚数，
则，解得
故答案为：B.
【分析】求出复数的代数形式，再根据纯虚数的概念列式计算.
3．【答案】A
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】因为正四棱台上下底面边长分别为40km和20km，设高，
因为，，由棱台的体积计算公式可得：
，解得：，
故答案为：A.
【分析】由题意可知：该水库是一个正四棱台，已知正四棱台的体积为，上下底面边长分别为40km和20km，求正四棱台的高，同一单位，代入体积计算公式即可求解.
4．【答案】C
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】因为直线过抛物线C：的焦点，则，
所以，，抛物线方程为，因为在抛物线上且在第四象限，设点，则，解得：，由抛物线的定义可知：，
故答案为：C.
【分析】由题意可知：焦点，设点，利用直线的斜率可得，再利用抛物线的定义即可求解.
5．【答案】D
【知识点】二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】
，
或，
或（舍去，使无意义）
又，
，
故答案为：D.
【分析】利用倍角公式及辅助角公式求出角，再代入计算即可.
6．【答案】B
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】依题意，，而，于是得，
而当时，，即，联立解得，
所以.
故答案为：B
【分析】根据给定条件，求出，再借助回归直线的特征及残差列出方程组即可求解作答.
7．【答案】D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】令球O的内接四棱锥为，四边形外接圆半径为，对角线的夹角为，
则四边形的面积，
当且仅当，即四边形为正方形时取等号，
由球的结构特征知，顶点P为直线与球面O的交点，并且球心O在线段上，四棱锥的高最大，如图，
，高，
因此四棱锥的最大体积关系式为：，令，
则，
求导得，当时，，当时，，
因此函数在上单调递增，在上单调递减，当时，，此时，
所以当该四棱锥的体积最大时，其高为.
故答案为：D
【分析】根据给定条件，确定四棱锥体积最大时为正四棱锥，设出底面外接圆半径，求出体积函数式，再利用导数求解作答.
8．【答案】C
【知识点】导数的几何意义；两点间的距离公式
【解析】【解答】设，，
，，
因为，所以，得，
，令，得，则，
，令，得，则，
则+
，两次不等式取等的条件都是.
所以的取小值为.
故答案为：C
【分析】设，，求导，，根据导数的几何意义结合，得，求出切线方程，得到，，由两点间的距离公式和基本不等式可求出结果.
9．【答案】A,B,D
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
则两圆心的距离，
故两圆外切，则两圆的公切线有3条，且斜率都存在，
设两圆的公切线方程为，即，
则，解得或或
故公切线方程为或或
故答案为：ABD.
【分析】确定两圆的位置关系，设出公切线的方程，利用点到直线的距离公式列方程组求解.
10．【答案】B,D
【知识点】余弦函数的奇偶性与对称性
【解析】【解答】因为函数的图象关于点对称，
则，A不符合题意；
又，
，得，
，，B符合题意；
，解得，
，
C不符合题意；
当取得最小值，即时，，
，D符合题意.
故答案为：BD.
【分析】根据余弦函数图象和性质可求出，进而可逐一判断每个选项的正误.
11．【答案】A,B,D
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】对于A选项，由题意可知，椭圆的左焦点为，右焦点为，
由椭圆的定义可得，
可得，则，故椭圆的方程为，A对；
对于B选项，设点，则，其中，易知点，
设点，则，两式作差可得，
所以，，即，
因为，所以，，则，
故，B对；
对于C选项，若为椭圆的一个焦点时，不妨设点，设点位于点上方，
联立解得，则点，故点，
所以，，C不符合题意；
对于D选项，不妨设点为第一象限内的点，
因为轴，且，所以，为等腰直角三角形，且，
设点，其中，则有，解得，
则点，故点、，
所以，，D对.
故答案为：ABD.
【分析】根据椭圆定义求出，则，可得出椭圆的方程，可判断A选项；利用点差法结合斜率关系可判断B选项；设，设点位于点上方，求出点，利用三角形的面积公式可判断C选项；设点为第一象限内的点，根据题意设点，其中，将点的坐标代入椭圆的方程，求出，利用三角形的面积公式可判断D选项.
12．【答案】A,C,D
【知识点】抽象函数及其应用
【解析】【解答】由，以替换得，
结合得，
由于是偶函数，所以，
则，所以，C选项正确.
由令得，A选项正确.
由令得，
由令得，B选项错误.
由令得，
所以，
由得，，
，，
所以，
由于是周期为的周期函数，
所以，D选项正确.
故答案为：ACD
【分析】利用赋值法，结合函数的奇偶性、周期性求得正确答案.
13．【答案】
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】向量，，则，而，
则有，解得，
所以实数.
故答案为：
【分析】根据给定条件，利用向量的坐标运算和共线向量坐标表示求解作答.
14．【答案】4
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】∵表示6个因式的乘积，
故展开式中含的项为：
四个因式取，一个因式取，1个因式取-1；
或者：有三个因式取，其余的3个因式都取-1；
故展开式中含的项为
，解得
故答案为：4
【分析】先确定展开式中产生的项的方式，然后求出的项的系数列方程求解.
15．【答案】0
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】的定义域为，
，令，
所以在上单调递增，
，
所以存在，使，
则在区间上，递减；在区间上，递增，
所以是的极小值点，所以，
所以.
故答案为：0
【分析】利用二次求导的方法求得，从而求得，进而求得正确答案.
16．【答案】
【知识点】数列的求和；扇形的弧长与面积
【解析】【解答】依题意，，
，
，
以此类推可知，数列是首项为，公比是的等比数列，
所以.
令，
则，
，
两式相减得
所以.
所以.
故答案为：
【分析】先求得，然后利用错位相减求和法求得正确答案.
17．【答案】（1）证明：
即，
由正弦定理角化边以及余弦定理得
，
整理得，即，
所以为定值；
（2）解：由（1），
，
，
得，
的周长为
【知识点】解三角形；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用正弦定理角化边以及余弦定理可整理变形得到为定值；
（2）先利用（1）以及余弦定理求出，然后再次用余弦定理并利用变形可得，则周长可求.
18．【答案】（1）解：①
时，②
则①-②得，
当时可整理得，
即，
由①当时，，得，
当时，，得，
，
，
又，，符合，
；
（2）证明：由（1）得，
，
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）利用，当时，两式相减整理得到，再通过条件中的递推式求出，，将递推下去即可得；
（2）将分离常数，利用放缩法，然后裂项求和即可.
19．【答案】（1）解：由频率分布表可得，解得，
所以这200份问卷得分的平均值为
；
（2）解：由题意可得的可能取值为，则，
又，
则的分布列为：
0 1 2 3 4
0.0256 0.1536 0.3456 0.3456 0.1296
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）先利用频率和为1求出，在利用平均值的公式求解即可；
（2）由题可得服从二项分布，根据二项分布的公式以及期望公式计算可得答案.
20．【答案】（1）证明：因为，，，所以，
又因为，．所以，即，
因为底面，底面，所以，
由，，平面，平面，，得平面，
又因为平面，所以平面平面；
（2）解：以为原点，所在直线为轴，过垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系：
则，，，，
在平面中，如图：
，，，所以，
，，，所以，
所以，
过作，垂足为，则，即，
又，所以，即，，
所以，，
所以，
则，，，
设平面的一个法向量为，
则，则，令，得，则，
设平面的一个法向量为，
则，令，得，，得，
.
根据图形可知，二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为.
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1）根据勾股定理得，由底面 ，得，根据线面垂直判定定理得 平面 ，再根据面面垂直的判定定理得平面平面；
（2） 以为原点，所在直线为轴，过垂直于平面的直线为轴， 建立空间直角坐标系，利用二面角的向量公式可求出结果.
21．【答案】（1）解：因为双曲线的渐近线方程为，所以，
设，则，
所以，因为点在第一象限，所以，即，
所以，又，
所以，所以，
所以双曲线的方程为.
（2）解：设，，
联立，消去并整理得，
所以，解得，
，，
所以，
联立，解得，所以，
联立，解得，所以，
所以，
所以，其中，
因为，所以，.
所以的取值范围为.
【知识点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据渐近线方程得， 设，则， 代入双曲线方程求出，得，利用双曲线定义求出，根据 的周长为列式求出，可得双曲线方程；
（2）联立直线与椭圆，根据题意求出，由弦长公式求出，再求出，和，根据的范围可求出的取值范围.
22．【答案】（1）解：∵，（）∴定义域为，
∴，（），
令，（），
①当时，，，，，
此时，在区间上单调递增；
②当时，，
令，解得，，
∴当时，，，
当时，，，
∴此时，在区间上单调递增，在区间上单调递减；
③当时，，
（i）当时，，，，，
∴此时，在区间上单调递增；
（ii）当时，，
令，解得，，且，
∴当时，，，
当时，，，
∴此时，在区间和上单调递增，
在区间上单调递减.
综上所述，当时，在区间上单调递增；
当时，在区间和上单调递增，
在区间上单调递减；
当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减.
（2）证明：由第（1）问知，若，（）是的两个极值点，
则，且的两根即为，，
且，，∴，
，
∴，
又∵，
∴不等式等价于，
∵，∴，，又∵，∴，
∴不等式又等价于，即，
∴只需证，
令，，则，在区间上单调递减，
又∵，∴，，
∴，
∴若，（）是的两个极值点，.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）对求导，根据的取值范围，对的符号进行讨论，即可得出的单调性；
（2）由第一问中有两个极值点时 ，化简不等式，然后构造函数，利用导数研究所构造函数的单调性，根据单调性进行证明.
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