高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册 1.2.2 空间向量基本定理的应用 教案

第一章 空间向量与立体几何
1.2 空间向量基本定理
1.2.2 空间向量基本定理的应用
一、教学目标
1、了解掌握空间向量基本定理；
2、通过类比的方式快速掌握空间向量基本定理及其应用.
二、教学重点、难点
重点：空间向量基本定理的理解与掌握.
难点：空间向量基本定理的应用.
三、学法与教学用具
1、学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标.
2、教学用具：多媒体设备等
四、教学过程
（一）创设情景，揭示课题
【复习回顾】
平面向量基本定理
如果,是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量， 有且只有一对实数，使.
【基底】 若不共线，则称,为表示这一平面内所有向量的一个基底.
【中线定理】 在中，是边的中点，则
空间向量基本定理
如果三个向量不共面，那么对任意一个空间向量， 存在唯一的有序实数组，使得.
【基底】 若三个向量不共面，则叫做空间的一个基底，都叫做基向量.
单位正交基底中的三个基向量两两垂直且为单位向量. 称为空间向量的正交分解.
【问题】如何利用空间向量基本定理解决相对应的问题？
（二）阅读精要，研讨新知
【例题研讨】阅读领悟课本例2、例3（用时约为2-3分钟，教师作出准确的评析.）
例2如图 1.2-3,在平行六面体 中，,
，分别为的中点，求证: .
证明：设, 这三个向量不共 面，构成空间的一个基底，
由已知，，
所以
所以.
例3如图1.2-4， 正方体的棱长为 1, 分别为的中点.
（1）求证：；
（2）求与所成角的余弦值.
解：（1）证明：设，则构成空间的一个单位正交基底.
所以，
所以，所以.
（2）因为
所以
所以与所成角的余弦值为.
【小组互动】完成课本练习1、2、3，同桌交换检查，老师答疑.
【练习答案】
（三）探索与发现、思考与感悟
1.如图， 三棱柱 ，为 的中点， ， 设
（1）试用 表示向量 ；
（2）若，求异面直线与所成角的余弦值．
解：（1）因为D为中点，所以，
由．所以，
所以．
（2）由题意知，
，
所以，
，，
所以，
所以异面直线与所成角的余弦值为．
2.如图所示，在四棱锥中，，且，底面为正方形.
（1）设，试用表示向量；
（2）求的长.
解：（1）∵M是PC的中点，∴.
∵，
∴，
又
所以.
（2）∵，
∴，∵，
∴，，
∴
.
∴，即的长等于.
（四）归纳小结，回顾重点
空间向量基本定理
如果三个向量不共面，那么对任意一个空间向量， 存在唯一的有序实数组，使得.
【基底】 若三个向量不共面，则叫做空间的一个基底，都叫做基向量.
单位正交基底中的三个基向量两两垂直且为单位向量. 称为空间向量的正交分解.
（五）作业布置，精炼双基
1.完成课本习题1.2 5-8
2.预习1.3 空间向量及其运算的坐标表示
五、教学反思：（课后补充，教学相长）