高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册 1.3.2 空间向量运算的坐标表示 教案

第一章 空间向量与立体几何
1.3 空间向量及其运算的坐标表示
1.3.2 空间向量运算的坐标表示
一、教学目标
1、熟练掌握空间向量运算的坐标表示；
2、通过类比的方式快速掌握空间向量的线性运算、数乘运算、数量积的坐标表示；
3、通过空间向量运算的坐标表示，充分了解二维与三维的关联，扩大视界.
二、教学重点、难点
重点：空间向量运算的坐标表示的理解与掌握.
难点：空间向量运算的熟练应用.
三、学法与教学用具
1、学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标.
2、教学用具：多媒体设备等
四、教学过程
（一）创设情景，揭示课题
【复习回顾】
平面向量运算的坐标表示
向量
已知，则
非零向量与夹角公式
向量与垂直
向量共线（平行）的充要条件是
【引入问题】能否通过类比方式，找出空间向量运算的坐标表示及其公式？
（二）阅读精要，研讨新知
【类比转化】通过空间向量与平面向量的类比，二维平面与三维空间的关系，得出以下结论.
空间向量运算的坐标表示
向量
已知，则
非零向量与夹角公式
向量与垂直
当时，
【例题研讨】阅读领悟课本例2、例3（用时约为2-3分钟，教师作出准确的评析.）
例2如图1.3-8. 在正方体中， 分别是的中点.求证: .
证明：设，建立如图所示的空间直角坐标系,则
，，
所以，
所以.
所以,即.
例3如图1.3-9，在棱长为1的正方体中，为的中点，分别在棱上. .
（1）求的长.
（2）求与所成角的余弦值.
解：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，则
，
因为为的中点，所以
所以，即的长为.
（2）由（1）得，
所以，
所以
所以，与所成角的余弦值是.
【小组互动】完成课本练习1、2、3、4、5，同桌交换检查，老师答疑.
【练习答案】
（三）探索与发现、思考与感悟
1．（多选）已知向量，下列等式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
解：，∴，
对于A，，该等式错误，所以A错；
对于B，，，该等式正确，所以B正确；
对于C，，该等式正确，所以C正确；
对于D，，
，
∴，该等式正确，所以D正确. 故选BCD．
2. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
解：因为，，
所以，，
所以向量在向量上的投影向量是
. 故选C
3．如图,已知直三棱柱中, 为的中点, .求证：
（1）；
（2）平面．
证明：（1）如图,以点为原点, 所在直线
分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.
设,则,
,
所以
因为
所以，即.
（2）取的中点,连接,因为,
所以，又,所以
又和不共线,所以
又平面,平面,
所以平面.
4．如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面，分别为的中点.若.
（1）求；
（2）求异面直线与所成角的余弦值；
（3）判断四边形的形状.
解：（1）如图，以为原点，射线为轴，轴，轴的正半轴，建立空间直角坐标系.
则，，，，，，
所以，则.
（2）由（1）知，，，
所以
所以异面直线与所成角的余弦值为
（3）因为，所以四边形AEFG是平行四边形，
又，
所以，即，
又，
所以四边形是矩形.
（四）归纳小结，回顾重点
空间向量运算的坐标表示
向量
已知，则
非零向量与夹角公式
向量与垂直
当时，
（五）作业布置，精炼双基
1.完成课本习题1.3 4-9
2.预习1.4 空间向量的应用
五、教学反思：（课后补充，教学相长）