高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册 1.4.1.3 空间中直线、平面的垂直 教案

第一章 空间向量与立体几何
1.4 空间向量的应用
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
1.4.1.3 空间中直线、平面的垂直
一、教学目标
1、理解并掌握空间中点、直线和平面的向量表示；
2、理解空间中直线、平面的平行和垂直与空间向量的关联；
3、正确理解法向量，熟练掌握法向量的求解，并逐步熟悉法向量的应用.
4、通过空间向量的应用，培养求知探索精神，提高数学综合素养.
二、教学重点、难点
重点：空间中点、直线和平面的向量表示即关联.
难点：熟练掌握法向量的求解，并逐步熟悉法向量的应用.
三、学法与教学用具
1、学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标.
2、教学用具：多媒体设备等
四、教学过程
（一）创设情景，揭示课题
【问题】既然空间中点、直线和平面可以用向量表示，是否可以利用空间向量解决直线、平面的垂直问题？
（二）阅读精要，研讨新知
【发现】3.空间中直线、平面的垂直
空间中直线与直线垂直
设直线的方向向量分别为，则
空间中直线与平面的垂直
是直线的方向向量，是平面的法向量，则 使得.
空间中平面与平面的垂直
设分别是平面的法向量，则 .
【例题研讨】阅读领悟课本例4、例5（用时约为2分钟，教师作出准确的评析.）
例4如图1.4-14， 在平行六面体中，
，求证：直线平面.
证明：设,则为空间的一个基底，
且，所以
又
在平面上，取为基向量，则对于平面上任意一点, 存在唯一的有序实数对,使得
所以，
所以是平面的法向量
所以平面.
例5证明“平面与平面垂直的判定定理”:若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.
已知:如图1.4-15, .
求证: .
证明：取直线的方向向量，平面的法向量
因为，所以是平面的法向量.
因为，而是平面的法向量，所以
所以.
【小组互动】完成课本练习1、2、3，同桌交换检查，老师答疑.
【练习答案】
（三）探索与发现、思考与感悟
1．如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，分别是的中点，点在直线上．证明：.
证明：如图，由已知两两垂直．以分别
作为轴正方向建立空间直角坐标系，
则．
∵M是的中点，N是的中点，∴，
设，∴，则，
则，所以．
2．如图，四棱锥中，底面，，，,，是的中点．
求证：（1）；
（2）平面．
证明：方法一（向量法）：（1）如图，以为坐标原点，
所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系.则
，，，，，，
所以，，
所以，所以．
（2）由（1）得，，．
设向量是平面的法向量，则，即，
取，则，所以，所以，
所以平面．
方法二（几何法）：（1）∵底面，∴．
又，，∴平面．
∵平面，∴．
（2）∵底面，∴．
又，，
∴平面，∴．
由题可得，由是的中点，∴．
又，，
∴平面，∴．
∵，，，
∴平面．
3．如图，在直三棱柱中，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）证明：平面平面．
证明：（1）在直三棱柱中，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
设，则
则，，，
设平面的法向量是，
则，取，得，
，且平面，则平面
（2），
设平面的一个法向量，
则，取，得，
又平面的法向量，则，则
平面平面．
（四）归纳小结，回顾重点
空间中直线与直线垂直
设直线的方向向量分别为，则
空间中直线与平面的垂直
是直线的方向向量，是平面的法向量，则 使得.
空间中平面与平面的垂直
设分别是平面的法向量，则 .
（五）作业布置，精炼双基
1.完成课本习题1.4 5、8、11
2.预习课本1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题
五、教学反思：（课后补充，教学相长）