【解析版】福建省龙岩市2014届高三上学期期末考试数学（理）试题

福建省龙岩市2014届高三上学期期末考试
理科数学
第Ⅰ卷（共50分）
一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
2.已知命题p：≤0，则( )
A. p是假命题；p：≤0
B. p是假命题；p：＞0
C. p是真命题；p：≤0
D. p是真命题；p：＞0
3.设，则f（6）的值( )
A. 8 　　　　　B. 7 　　　　　C. 6 　　　　　　D. 5
4.设等比数列｛｝, Sn是数列｛｝的前n项和，S3=14,且 al＋8, 3a2 , a3＋6依次成等差数列，
则al·a3等于( )
A. 4 　　　　　B. 9 　　　　　C. 16 　　　　　　D. 25
5.已知椭圆C：的左焦点为F，右顶点为A，其长轴长是焦距的4倍，且抛物线y2＝6x的焦点平分线段AF，则椭圆C的方程为( )
6.一艘船上午9：30在A处，测得灯塔S在它的北偏东300处，之后它继续沿正北方向匀速航
行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东750，且与它相距8海里，则此船的航速是( )
A. 24海里／小时　　　　B. 30海里／小时 C. 32海里／小时　　　　D. 40海里／小时
【答案】C
【解析】
试题分析：经计算，，海里，速度为32海里/小时.[
考点：正弦定理.
7.一个侧棱与底面垂直的棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示，则截去那一部分的体积为( )
A、1　　　　　　　　　　B、 C、11　　　　　　　　　 D、12
【答案】A
8.将函数f（x）＝的图象向左平移m个单位（m＞一），若所得的图象关于
直线x＝对称，则m的最小值为( )
A.一　　　　　　B.一　　　　C. 0 　　　　　　D.
【答案】A
【解析】
试题分析：将的图象向左平移个单位，得函数的图象，则由题意得，即有，∵，∴当时，.
考点：1.三角函数图象的平移；2.函数图像的对称轴.
9.设F是双曲线的右焦点，双曲线两渐近线分另。为l1，l2过F作直线l1的垂线，分
别交l1，l2于A，B两点．若OA, AB, OB成等差数列，且向量与同向，则双曲线的离心率e的大小为( )
A.　　　　　　　 B.　　　　　C. 2 　　　　　　D.
10.设函数f（x）的定义域为D,若存在非零实数l使得对于任意x∈M（M?D）有x+l∈D，且
f（x＋l）≥f(x)，则称f(x)为M上的l高调函数，如果定义域为R的函数f(x)是奇函数，当x≥0时，f（x）＝｜x－a2｜－a2，且f(x)为R上的8高调函数，那么实数a的取值范围是( )
A. 　 B. C. 　D.
【答案】A
【解析】
试题分析：当时，，则，即为上的8高调函数；当时，函数的图象如图所示，若为上的8高调函数，则，解得且.
第Ⅱ卷（共100分）
二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）
11.已知向量，，且,则向量的夹角的余弦值为＿＿＿＿．
12.设变量x，y满足约束条件，则目标函数的最大值为＿＿＿．
13.若m＞l，则函数f（m）＝dx的最小值为＿＿＿·
14.设函数，观察：
，
，
，
，
根据以上事实，由归纳推理可得：当且时，＿＿＿
15.定义在R上的函数f (x)，满足f (m+n2) = f (m)＋2[ f (n) ]2，m, n R,且f (1):≠0,则
f（2014）的值为＿＿＿＿
【答案】1007
【解析】
试题分析：令得，所以；令，得
三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
16.（本小题满分13分）
已知△ABC中的内角A,B,C对边分别为a,b,c，sin 2C+2cos2C+1=3，c=.
（1）若cos A＝，求a；
（2）若2sin A=sin B，求△ABC的面积．
由①②解得，∴.（13分）
考点：1.降幂公式；2.两角和的正弦公式；3.正弦定理；4.余弦定理；5.三角形面积.
17.（本小题满分13分）
如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC, AB⊥BC,AB=AD=1
BC＝2，又PB⊥平面ABCD，且PB=1，点E在棱PD上，且DE=2PE.
(1）求证：BE⊥平面PCD；
(2)求二面角A一PD－B的大小．
(1)∵，，，
∴，
.
∴，，又，
∴平面.(8分)
18.（本小题满分13分）
为了保障幼儿园儿童的人身安全，国家计划在甲、乙两省试行政府规范购置校车方案，计划若干时间内（以月为单位）在两省共新购1000辆校车．其中甲省采取的新购方案是：本月新购校车10辆，以后每月的新购量比上一月增加50％；乙省采取的新购方案是：本月新购校车40辆，计划以后每月比上一月多新购m辆．
（1）求经过n个月，两省新购校车的总数S(n)；
（2）若两省计划在3个月内完成新购目标，求m的最小值．
【答案】（1）；（2）m的最小值为278.
【解析】
19.（本小题满分13分）
如图，正方形CDEF内接于椭圆，且它的四条边与坐标轴平行，正方形GHPQ的顶点G,H在椭圆上，顶点P，Q在正方形的边EF上．且CD=2PQ=．
(1)求椭圆的方程；
(2)已知点M(2,1)，平行于OM的直线l在y轴上的截距为m (m:≠ 0)，l交椭圆于A,B两个不同点，求证：直线MA，MB与x轴始终围成一个等腰三角形．
(2)设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1＋k2＝0即可，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，，直线l方程为，代入椭圆方程消去y，
得x2＋2mx＋2m2－4＝0可得x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m2－4.（9分）
而
20.（本小题满分14分）
已知函数f (x) =x2， g(x) ＝2eln x(x>0) (e为自然对数的底数）．
（1)求F(x) =f(x)－g(x) (x>0)的单调区间及最小值；
（2)是否存在一次函数y=kx+b(k，bR)，使得f (x) ≥kx十b 且g (x)≤kx＋b对一切x >0恒成立？若存在，求出该一次函数的表达式；若不存在，请说明理由．
试题解析：(1) (x＞0)，[
令F′(x)＝0，得 (舍)，
∴当时，F′(x)＜0，F(x)在上单调递减；
当时，F′(x)＞0，F(x)在上单调递增．
∴当时，F(x)有极小值，也是最小值，
即.
∴F(x)的单调递增区间为，单调递减区间为，最小值为0.（7分）
21.本题设有（1）、（2）、(3)三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做， 则按所做的前两题计分．
（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换
二阶矩阵M对应的变换将点(1，一1)与（－2，1)分别变换成点（－1，一1）与(0，一 2）．
①求矩阵M;
②设直线l在变换M的作用下得到了直线m：x－y=4，求l的方程．
(2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为 (t为参数），P为C1上的动点，Q为线段OP的中点．
（1)求点Q的轨迹C2的方程；
(2)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴（两坐标系取相同的长度单位）的极坐标系中,N为曲线p=2sinθ上的动点,M为C2与x轴的交点，求｜MN｜的最大值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（3) （本小题满分7分）选修4一5：不等式选讲
设函数f(x)＝｜x＋a｜－｜x－4｜，xR
（1)当a=1时，解不等式f（x）＜2；
(2)若关于x的不等式f (x)≤5－｜a＋l｜恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
试题分析：本题主要考查绝对值不等式的解法、不等式的性质及恒成立问题等数学知识，考查学生的转化能力和计算能力.第一问，将函数化为分段函数，再解不等式；第二问，利用不等式的性质先求