【解析版】福建省龙岩市2014届高三上学期期末考试数学（文）试题

福建省龙岩市2014届高三上学期期末考试
文科数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.复数的虚部为( )
A、i　　　　　　　　　B、－i　　　　　　C、1　　　　　　D、－1
2.已知集合A={x｜x2＋x－2<0｝，集合B= {x｜(x＋2) (3－x)＞0｝，则等于( )
A. {x｜1≤x<3｝　　　 B. {x｜2≤x<3｝ C. {x｜－23.已知命题p：≤0，则( )
A. p是假命题；p：≤0
B. p是假命题；p：＞0
C. p是真命题；p：≤0
D. p是真命题；p：＞0
【答案】B
【解析】
试题分析：∵3x>0，∴3x＋1>1，则log2(3x＋1)>0，∴p是假命题；：?x∈R，log2(3x＋1)>0.
考点：命题的真假.
4.设f (x) ＝，则f（6）的值( )
A. 8 　　　　　B. 7 　　　　　C. 6 　　　　　　D. 5
5.已知直线2x－y＋6＝0过双曲线C：的一个焦点，则双曲线的离心率为( )
A、　　　　B、2　　　　　C、3　　　　　　D、4
6.设变量x，y满足约束条件,则目标函数z＝2y－3x的最大值为( )
A. －3　　　　　B. 2 　　　　　C. 4 　　　　　　D. 5
7.已知变量x，y之间具有线性相关关系，其回归方程为＝－3＋bx，若则b的值为( )
A. 2　　　　　　B. 1 　　　　　C. －2 　　　　　D.－1
8.执行如图所示的程序框图，若输入m的值为8，则输出s的值为( )
A. 4　　　　　　B. 6 　　　　　C. 8 　　　　　　D. 16
9.将函数f（x）＝的图象向左平移m个单位（m＞0），若所得的图象关于直线x＝对称，则m的最小值为( )
A. 　　　　　B. 　　　　C. 　　　　　 D.
【答案】B
10.在区间［－2,3］上任取一个数a，则函数f（x）＝x2－2ax＋a＋2有零点的概率为( )
A. 　　　　　B. 　　　　　C. 　　　　　　 D.
11.在平面直角坐标系中，菱形OABC的两个顶点为O(0,0)，A(l,1)，且＝1，则等于( )
A. －1　　　　　B. 1　　　　　C.　　　　　　　D.
12.已知函数f (x)＝－cosx，若，则( )
A. f（a）＞f（b） B. f (a) 0
【答案】B
【解析】
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）
13.在△ABC中，sin A＝，C= 300，BC= 3，则AB等于 .
【答案】2
【解析】
试题分析：.
考点：正弦定理.
14.如图是一个几何体的正视图、侧视图、俯视图，则该几何体的体积是 .
15.已知直线2x＋y－4＝0过椭圆E：的右焦点F2 ，且与椭圆E在第一象限的交点为M，与y轴交于点N，F1是椭圆E的左焦点，且｜MN｜＝｜MF1｜，则椭圆E的方程为 .
.
16.设集合M＝｛f（x）｜存在实数t使得函数f (x)满足f(t+1) = f (t)＋f(1)｝，则下列函数(a,b,k都是常数）：
①；②；③；④.
其中属于集合M的函数是＿＿＿＿＿（填序号）．
三、解答题 （本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分12分）
已知等差数列｛｝的前n项和为Sn，公差d≠0，且S3 =9 ，a1，a3，a7成等比数列．
（1)求数列｛｝的通项公式；
（2)设＝，求数列｛｝的前n项和.
【答案】（1）an＝n＋1；（2）.
【解析】
试题分析：本题主要考查等差数列的通项公式、等比数列的通项公式、等差数列的前n项和公式、等比数
18.（本小题满分12分）
某食品厂对生产的某种食品按行业标准分成五个不同等级，等级系数X依次为A，B，C，D,E.现从该种食品中随机抽取20件样品进行检验，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：
(1)在所抽取的20件样品中，等级系数为D的恰有3件，等级系数为E的恰有2件，求a ,b, c的值；
(2)在（1)的条件下，将等级系数为D的3件样品记为x1 ，x2 ，x3，等级系数为E的2件样品记为y1 ，y2，现从x1，x2 ，x3，y1，y2这5件样品中一次性任取两件（假定每件样品被取出的可能性相同），试写出所有可能的结果，并求取出的两件样品是同一等级的概率．
【答案】（1）a＝0.1，b＝0.15，c＝0.1；（2）.
【解析】
试题分析：本题主要考查频率分布表和随机事件的概率等数学知识，考查学生分析问题解决问题的能力和19.（本小题满分12分）
如图，在三棱柱ABC—A1B1 C1中，AA1⊥面ABC, AC⊥BC, E、F分别在线段上，B1E=3EC1，AC＝BC＝CC1＝4.
（1）求证：BC⊥AC1；
(2)试探究：在AC上是否存在点F，满足EF／／平面A1ABB1，若存在，请指出点F的位置，并给出证明；若不存在，说明理由．

【答案】（1）证明过程详见解析；（2）证明过程详见解析.
【解析】
∵EG∥BB1，EG?面A1ABB1，BB1?面A1ABB1，
∴EG∥平面A1ABB1.∵B1E＝3EC1，∴BG＝3GC，
∴FG∥AB，又AB?面A1ABB1，FG?面A1ABB1，
∴FG∥平面A1ABB1.
又EG?面EFG，FG?面EFG，EG∩FG＝G，
∴平面EFG∥平面A1ABB1.（11分）
∵EF?面EFG，∴EF∥平面A1ABB1.（12分）
考点：1. 线线垂直的判定；2.线面垂直的判定；3.线面平行的判定；4.面面平行的判定.
20.（本小题满分12分）
如图所示，在直径为BC的半圆中,A是弧BC上一点，正方形PQRS内接于△ABC，若BC = a , ∠ABC= θ，设△ABC的面积为Sl，正方形PQRS的面积为S2.
（1）用a，θ表示S1和S2；
（2)当a固定，θ变化时，求取得最小值时θ的值．
【答案】（1），；（2）.
【解析】
试题分析：本题主要以圆为几何背景考查三角函数的定义、三角函数的面积公式、函数的单调性及最值等数学知识，考查学生的分析问题的能力、转化能力和计算能力.第一问，在中，求出，
21.（本小题满分12分）
如图，斜率为1的直线过抛物线y2＝2 px(p>0)的焦点，与抛物线交于两点A, .B，M为抛物线弧AB上的动点．
（1）若｜AB｜＝8，求抛物线的方程；
（2）求的最大值
M到AB的距离，因为点M在直线AB的上方，所以，
所以，
当时，.
则.(12分)
考点：1.抛物线的标准方程及性质；2.点到直线的距离；3.两点间距离公式.
22.（本小题满分14分）
已知函数f（x）＝lnx－a2x2＋ax（aR）.
（l）当a＝1时，证明：函数f（x）只有一个零点；
（2）若函数f(x)在区间（1，十）上是减函数，求实数a的取值范围．
当x≠1时，f(x)＜f(1)，即f(x)＜0.
∴函数f(x)只有一个零点.（7分）