【解析版】福建省福州市2014届高三质检数学理试题

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2014年福州市高中毕业班质量检测
理科数学试卷
第Ⅰ卷(选择题 共50分)
一、选择题:本大题共10小题.每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，若，则是实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2.“实数”是“复数（为虚数单位）的模为”的 （ ）
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既不是充分条件又不是必要条件
3.执行如图所示的程序框图,输出的值是 （ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
4.命题“，使得”的否定是 （ ）
A. ,都有 B.不存在,使
C. 都有 D. 使
5.已知等比数列的前项积记为，若，则 ( )
A.512 B.256 C.81 D.16
6.如图，设向量,若,且,则用阴影表示点所有可能的位置区域正确的是 ( )
7.函数的部分图像如图所示，则的解析式可以是 ( )
A. B. C. D.
考点：1.函数的图像.2.分类讨论.3.列举排除的数学思想.4.归纳化归的数学思想.
8.已知、是双曲线的左、右焦点，若双曲线左支上存在一点一点与点关于直线对称，则该双曲线的离心率为 （ ）
A. B. C. D.
9.若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)=f(x), f(2－x)=f(x),且当x∈[0,1]时，其图象是四分
之一圆(如图所示)，则函数H(x)= |xex|－f(x)在区间[－3,1]上的零点个数为 ( )
A.5 B.4 C.3 D.2
【答案】B
【解析】
试题分析：因为定义在R上的函数f(x)满足f(－x)=f(x)，所以函数为偶函数，又因为f(2－x)=f(x)，所以函数关于直线对称.因为函数H(x)= |xex|－f(x)在区间[－3,1]上的零点即等价求方程的解的个数.等价于函数和函数的图像的交点个数，由图象可得共有4个交点.故选B.
考点：1.函数的性质.2.数形结合的思想.3.函数图像的正确表示及绘制.
10.已知函数（、、为常数），当时取极大值，当时取极小值，则的取值范围是 （ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（共100分）
二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分.
11.5名同学站成一排，其中甲同学不站排头，则不同的排法种数是______________（用数字作答）.
12.如图所示，在边长为1的正方形中任取一点，则点恰好取自阴影部分的概率为________.
14.已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的表面积为____________.
15.已知函数，若数列满足,且的前项和为，则_____________.
【答案】8042
【解析】
试题分析：.因为，，，，，，，.所以8042.
考点：1.分段函数的问题.2.数列的思想.3.三角函数的周期性.4.分类列举的数学思想.
三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
16.(本小题满分13分)在对某渔业产品的质量调研中，从甲、乙两地出产的该产品中各随机抽取10件，测量该产品中某种元素的含量（单位：毫克）.下表是测量数据的茎叶图：
规定：当产品中的此种元素含量毫克时为优质品.
（Ⅰ）试用上述样本数据估计甲、乙两地该产品的优质品率（优质品件数/总件数）；
（Ⅱ）从乙地抽出的上述10件产品中，随机抽取3件，求抽到的3件产品中优质品数的分布列及数学期望.
(II)的取值为1，2，3.
所以的分布列为
1 2 3
故的数学期望为
考点：1.茎叶图的知识.2.列举对比的数学思想.3.数学期望的计算.4.概率知识.
17.（本小题满分13分）已知函数.
（Ⅰ）当时，求函数的单调递增区间；
（Ⅱ）设的内角的对应边分别为，且若向量与向量共线，求的值.
令，
18.(本小题满分13分) 如图，直角梯形中，,点分别是的中点，点在上，沿将梯形翻折，使平面平面.
（Ⅰ）当最小时，求证：;
（Ⅱ）当时，求二面角平面角的余弦值.
【答案】（Ⅰ）参考解析；（Ⅱ）
【解析】
试题分析：（Ⅰ）因为当最小时，及连结AC与EF的交点即为G点，通过三角形的相似可得到EG的长度.需要证明直线与直线垂直，根据题意建立空间直角坐标系，即可得到相关各点的坐标，从而写出相
(Ⅱ)解法一：设EG=k,
∥平面,点D到平面EFCB的距离为即为点A到平面EFCB的距离.
[(3- k)+4]2=7-k
=
又=,
,=,
即EG=1
设平面DBG的法向量为,∵G(0,1,0),
∴(－2,2,2),
则 ,即
19.(本小题满分13分) 已知动圆过定点（1,0），且与直线相切.
（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹方程；
（Ⅱ）设是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和,①当时，求证直线恒过一定点；
②若为定值，直线是否仍恒过一定点，若存在，试求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.
20.(本小题满分14分) 已知函数,其中且
（Ⅰ）讨论的单调区间；
（Ⅱ）若直线的图像恒在函数图像的上方，求的取值范围；
（Ⅲ）若存在,使得,求证：.
【答案】（Ⅰ）参考解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）参考解析
【解析】
的最小值为,所以只需
即,,
(Ⅲ)由于当时函数在上是增函数,不满足题意,所以
21.本小题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分.如果多做，则安所做的前两题计分.作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应提好右边的方框涂黑，并将所选题号填入括号中.
（1）(本小题满分7分)选修4-2：矩阵与变换.
已知矩阵 ，若矩阵属于特征值6的一个特征向量为，属于特征值1的一个特征向量.
（Ⅰ）求矩阵的逆矩阵；
（Ⅱ）计算
【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）
【解析】
试题分析：（Ⅰ）因为已知矩阵 ，若矩阵属于特征值6的一个特征向量为，属于特征值1的一个特征向量.通过特征向量与特征值的关系，可求矩阵A中的相应参数的值，再通过逆矩阵的含义可求出矩阵A的逆矩阵.同样可以从通过特征根的方程方面入手，求的结论.
（2）(本小题满分7分)选修4-4：坐标与参数方程.
在平面直角坐标系中，以为极点，轴非负半轴为极轴建立坐标系，已知曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为: （为参数），两曲线相交于两点.
（Ⅰ）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；
（Ⅱ）若求的值.
（3）(本小题满分7分)选修4-5：不等式选讲
设函数,
（Ⅰ）求的最小值；
（Ⅱ）当时,求的最小值.
【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）
【解析】
试题分析：（Ⅰ）因为,所以通过绝对值的基本不等式，即可得到最小值.另外也可以通过分类关键是去绝对值，求出不同类的函数式的最小值，再根据这些最小值中的最小值确定所求的结论.
开始
M=2
i=1
i<5
i=i+1
输出M
结束
否
是
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