山东省广饶一中2013-2014学年高二上学期期末质量检测数学（文）试题（A）

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广饶一中2013-2014学年高二上学期期末
数学试题(文A)
（考试时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．
1．抛物线的焦点坐标为（ ）
A.（0，） B.（，0） C.（0, 4） D.（0, 2）
2．下列求导运算正确的是（　　）
A. B. C. D.
3．己知函数，其导数的图象如图所示，则函数的极大值是（　　）
A. B. C. D.
4．已知命题：：，则为（　　）
A. B. C. D.
5．命题“若，则是直角三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，
真命题的个数是（ ）
A． 0 B ． 3 C ． 2 D． 1
6．设变量、满足约束条件则目标函数的最小值是（ ）
A．－7 B．－4 C．1 D．2
7．如果方程表示双曲线，那么实数的取值范围是（ ）
A. B. 或 C. D. 或
8．已知,则下列推证中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
9．设等比数列的公比为,前项和为,且.若,则的取值范围是 （　　）
A． B． C．D．
10.已知两灯塔A和B与海洋观测站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东400，灯塔B在观察站C
的南偏东600，则灯塔A在灯塔B的（ ）
A. 北偏东100 B. 北偏西100 C. 南偏东100 D. 南偏西100
11．已知不等式的解集为,则不等式的解集为( )
A． B．
C． D．
12．已知是奇函数，当时，，当时，的最小值为1，则的值等于（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：共4小题，每小题4分，共16分．
13．已知双曲线的一条渐近线的方程为，则＝_____ __；
14．设函数的导数为,且,则的值是 ；
15．右图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米；
16．给出下列命题：
（1）导数是在处取得极值的既不充分也不必要条件；
（2）若等比数列的前项和，则必有；
（3）若的最小值为2；
（4）函数在上必定有最大值、最小值；
（5）平面内到定点的距离等于到定直线的距离的点的轨迹是抛物线.
其中正确命题的序号是 .
三、解答题：共6小题，共74分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本题满分12分)命题：实数满足，其中，命题：实数满足
或，且 是的必要不充分条件，求的取值范围.
18. （本题满分12分）在中，分别是角的对边，且.
（1）求角的大小；
（2）若，求的面积.
19．(本题满分12分)已知数列的各项均为正数，为其前项和，对于任意的满足关系式
.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的通项公式是，前项和为，
求证：对于任意的正数，总有.
20．（本题满分12分）据市场分析,广饶县驰中集团某蔬菜加工点,当月产量在10吨至25吨时,月生产总成本（万元）可以看成月产量（吨）的二次函数.当月产量为10吨时,月总成本为20万元；当月产量为15吨时,月总成本最低为17.5万元.
（1）写出月总成本（万元）关于月产量（吨）的函数关系；
（2）已知该产品销售价为每吨1.6万元,那么月产量为多少时,可获最大利润；
（3）当月产量为多少吨时, 每吨平均成本最低,最低成本是多少万元？
21.（本小题满分12分）设函数，若函数在处与直线相切，
(1)求实数，的值；
(2)求函数上的最大值；
(3) 已知函数 （为实数），若对任意，，总有成立，求的取值范围.
22．（本小题满分14分）已知椭圆：的离心率为，右焦点为(，0)．
(1) 求椭圆的方程；
(2) 若过原点作两条互相垂直的射线，与椭圆交于，两点，求证：点到直线的距离为定值；
(3) 在（2）的条件下，求面积的最大值．
广饶一中2013-2014学年高二上学期期末
数学试题(文A)评分标准
一、选择题：
DBBCC ABCBB BD
二、填空题：
13. 2 14. 15. 16. （1）（2）
解答题评分标准：
17．解：设A＝{x|x2－4ax＋3a2＜0(a＜0)}＝{x|3a＜x＜a}，……………………………2分
B＝{x|x2－x－6≤0或x2＋2x－8＜0}
＝{x|x2－x－6＜0}∪{x|x2＋2x－8＞0}
＝{x|－2≤x≤3}∪{x|x＜－4或x＞2}＝{x|x＜－4或x≥－2}. …………………5分
因为 p是q的必要不充分条件，
所以 推不出p，由得 ……………………………8分
或 …………………………10分
即－≤a＜0或a≤－4. ……………………………12分
18．解：（1）法一：由正弦定理得………………………1分
将上式代入已知…………………3分
即
即
∵………5分
∵ ∵B为三角形的内角，∴. ………6分
法二：由余弦定理相应给分
（2）将代入余弦定理…7分
，
∴ ……………………………10分
∴. ……………………………12分
19.(1)解 由已知得 (n≥2)． ……………………………2分
故2(Sn－Sn－1)＝2an＝3an－3an－1，即an＝3an－1 (n≥2)．
故数列{an}为等比数列，且公比q＝3. ……………………………4分
又当n＝1时，2a1＝3a1－3，∴a1＝3.∴an＝3n. ……………………………6分
(2)证明　∵bn＝＝－. ……………………………8分
∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝＋＋…＋ …………………………10分
＝1－<1. ……………………………12分
20.解：（1） （） ……………………………2分
将x=10，y=20代入上式得，20=25a+17.5，解得
（ ） ……………………………4分
（2）设最大利润为则
……6分
因为，所以月产量为23吨时，可获最大利润12.9万元.…………8分
（3）……………………10分
当且仅当，即时上式“=”成立. …………………11分
故当月产量为20吨时，每吨平均成本最低，最低成本为1万元. ……………12分
21. 解：（1）函数在处与直线相切
解得 ………………………………………………3分
(2) ……………………………5分
当时，令得；令，得
上单调递增，在（1，e）上单调递减，……8分
（3）由知在上单调增。 ……………………………9分
最小值为， ……………………………………………………10分
命题等价于 ……………………………………………………11分
即 得 ………………………………………………12分
22. 解：（1） ………………………… 3分
（2） 设，，若k存在，则设直线AB：y＝kx＋m.
由，得 ……………………………5分
△ ＞0， ……………………………6分
有OA⊥OB知x1x2＋y1y2＝x1x2＋(k x1＋m) (k x2＋m)
＝(1＋k2) x1x2＋k m(x1＋x2)＝0 ………………………8分
代入，得4 m2＝3 k2＋3原点到直线AB的距离d＝. ………………9分
当AB的斜率不存在时，,可得，依然成立．
所以点O到直线的距离为定值 ……………………………10分
说明：直接设直线OA的斜率为K相应给分
（3）
＝ ＝≤4 …………………12分
当且仅当，即时等号成立. ……………………………13分
当斜率不存在时，经检验|AB|＜2.所以≤
综合得：面积的最大值为 ………………………14分
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