7.3 复数的三角表示——2022-2023学年高一数学人教A版（2019）必修第二册课时同步练习（含解析）

7.3 * 复数的三角表示
【教材课后习题】
1.把下列复数表示成三角形式，并画出与之对应的向量.
（1）6；
（2）；
（3）；
（4）.
2.把下列复数表示成代数形式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
3.计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）
4.计算下列各式，并作出几何解释：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
5.（1）求证；
（2）写出下列复数z的倒数的模与辐角：
，，.
6.求证：
（1）；
（2）.
7.化简：
（1）；
（2）.
8.设对应的向量为，将绕点O按逆时针方向和顺时针方向分别旋转45°和60°，求所得向量对应的复数（用代数形式表示）.
9.如图，复平面内的是等边三角形，它的两个顶点A，B的坐标，，求点C的坐标.
10.如图，已知平面内并列的三个全等的正方形，利用复数证明.
【定点变式训练】
11.复数的三角形式是( )
A. B.
C. D.
12.设复数，，则( )
A. B. C. D.
13.复数的辐角的主值是( )
A. B. C. D.
14.已知复数，则是( )
A. B. C. D.
15.若复数（i为虚数单位），则___________.
16.已知复数，若复数z满足，则复数z的辐角主值为___________.
17.将复数化为三角形式：______.
18._____________.
19.求下列复数的模和辐角主值.
（1）；
（2）.
20.复数的代数形式与三角形式互化：
（1）；
（2）.
答案以及解析
1.答案：（1），图见详解
（2），图见详解
（3），图见详解
（4），图见详解
解析：（1）6对应的向量如答图（1）中.
，，，又，
，.
（2）对应的向量如答图（2）中.
，，，
又，，
.
（3）对应的向量如答图（3）中.
，，，又，，
.
（4）对应的向量如答图（4）中.
，，，又，，
.
2.答案：（1）
（2）
（3）-9
（4）
解析：（1）原式；
（2）原式；
（3）原式；
（4）原式.
3.答案：（1）9i
（2）
（3）
（4）
解析：（1）原式；
（2）原式
；
（3）原式
；
（4）原式
.
4.答案：（1）-4，解释见解析
（2），解释见解析
（3），解释见解析
（4），解释见解析
解析：（1）原式.
几何解释：设，，作与，对应的向量，，然后把向量绕原点O按逆时针方向旋转，再将其长度伸长为原来的倍，得到一个长度为4，辐角为的向量，则即为积所对应的向量.
（2）原式
.
几何解释：设，，作与，对应的向量，，然后把向量绕原点O按逆时针方向旋转315°，再将其长度缩短为原来的，得到一个长度为，辐角为30°的向量，则即为积所对应的向量.
（3）原式
.
几何解释：设，，作与，对应的向量，，然后把向量绕原点O按顺时针方向旋转，再将其长度缩短为原来的，得到一个长度为，辐角为的向量，则即为所对应的向量.
（4）原式
几何解释：设，，作与，对应的向量，，然后把向量绕原点O按顺时针方向旋转，再将其长度缩短为原来的，得到一个长度为，辐角为的向量，则即为所对应的向量.
5.答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）证法1：左边右边.
证法2：，
，原等式成立.
（2）解：时，
，
的模为，辐角为，.
时，，
的模为1，辐角为，.
时，
，
的模为1，辐角为，.
6.答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）左边右边，原等式成立.
（2）左边
，原等式成立.
7.答案：（1）
（2）
解析：（1）原式.
（2）
.
8.答案：逆时针方向旋转45°所得向量对应的复数为；
按顺时针方向旋转60°所得向量对应的复数为-2i
解析：将绕点O按逆时针方向旋转45°所得向量对应的复数为
.
将绕点O按顺时针方向旋转60°所得向量对应的复数为
.
9.答案：
解析：将原点O平移至A点，建立平面直角坐标系，则，，将绕点A顺时针方向旋转得
，
在原平面直角坐标系xOy中，点C坐标为，即.
10.答案：见解析
解析：如答图：，，.
设正方形边长为1，则，，，
对应的复数为，对应的复数为，
对应的复数为，
.
又，
，
即.
11.答案：A
解析：由，则.
故选：A.
12.答案：C
解析：因为复数，，
所以，
，
，
，
所以，
故选：C.
13.答案：C
解析：因为
，
所以复数的辐角的主值是.
故选：C.
14.答案：B
解析：由题设，，
所以复数对应点为，
故辐角在第四象限，且正切值为，则.
故选：B.
15.答案：
解析：因为复数，其实部和虚部分别-1，，且在第二象限
故幅角的正切值，由于，则，
故答案为：.
16.答案：
解析：因为，，
所以，
所以复数z的辐角主值为.
故答案为：.
17.答案：
解析：复数中，，设为复数的辐角主值，，
又，，
所以.
故答案为：.
18.答案：
解析：.
19.答案：（1）复数z的模为32，辐角主值为
（2）复数z的模是，辐角主值为
解析：（1）
，
复数z的模为32，辐角主值为.
（2），
则复数的模.
设辐角为，则，
点在第四象限，
，，
.
20.答案：（1）
（2）
解析：（1），，
所以.
（2），
所以.
2