8.3 简单几何体的表面积与体积——2022-2023学年高一数学人教A版（2019）必修第二册课时同步练习（含解析）

8.3 简单几何体的表面积与体积
【教材课后习题】
1.如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C，D在同一个平面内.如果四边形ABCD是边长为30cm的正方形，那么这个八面体的表面积是多少
2.如图，将一个长方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，求棱锥的体积与剩下的几何体体积的比.
3.如图，一个三棱柱形容器中盛有水，侧棱.若侧面水平放置时，水面恰好过AC，BC，的中点.那么当底面ABC水平放置时，水面高为多少
4.如图，圆锥PO的底面直径和高均是a，过PO的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的表面积和体积.
5.一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是acm，求球的体积.
6.如图是一个烟筒的直观图（图中数据的单位为厘米），它的下部是一个正四棱台形物体，上部是一个正四棱柱形物体（底面与四棱台形物体的上底面重合）.为防止雨水的侵蚀，同时使烟筒更美观，现要在烟筒外部粘贴瓷砖，请你计算需要多少平方厘米的瓷砖？（结果精确到，可用计算工具）
7.有一堆规格相同的铁制(铁的密度是)六角螺母共重5.8kg.如图，每一个螺母的底面是正六边形，边长为12mm，内孔直径为10mm，高为10mm，这堆螺母大约有多少个 (可用计算工具，取3.14)
8.分别以一个直角三角形的斜边、两条直角边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成3个几何体.这3个几何体的体积之间有什么关系
9.如图是一个奖杯的三视图，试根据奖杯的三视图计算它的表面积和体积(可用计算工具，尺寸如图，单位：cm，取3.14，结果取整数).
【定点变式训练】
10.已知长方体同一顶点上的三条棱长分别为2，2，3，则长方体的体积与表面积分别为( ).
A.12，32 B.12，24 C.22，12 D.12，11
11.已知某圆锥的侧面积为，高为，则该圆锥底面圆的半径为( )
A.2 B.3 C.4 D.6
12.已知某圆锥的轴截面为等边三角形，且该圆锥内切球的表面积为，则该圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
13.若正三棱台上、下底面边长分别是a和2a，棱台的高为，则此正三棱台的侧面积为( )
A. B. C. D.
14.两个球的表面积之差为，它们的大圆周长之和为，则这两个球的半径之差为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
15.已知正方体的棱长为6，点M是对角线上靠近点的三等分点，则三棱锥的体积为____________.
16.已知底面边长为，各侧面均为直角三角形的正三棱锥的四个顶点都在同一球面上，则此球的表面积为_____________.
17.在正四棱柱中，，，O为上底面ABCD的中心.设正四棱柱与正四棱锥的侧面积分别为，，则__________.
18.如图所示，一圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的顶点是圆柱底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的另一个底面.圆柱的母线长为6，底面半径为2，则该组合体的表面积等于______________.
19.现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥，下部分的形状是正四棱柱（如图所示），并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍.若，，求仓库的容积.
20.如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在的直线为轴，旋转一周得到一个几何体，求该几何体的表面积及其体积（其中）.
答案以及解析
1.答案：
解析：由题意，每个面都是边长为30cm的正三角形，
.
即这个八面体的表面积是.
2.答案：1：5
解析：设长方体的三条棱长分别为a，b，c，
则，
剩下的几何体的体积，
所以棱锥的体积与剩下的几何体的体积之比为1：5.
3.答案：6
解析：当三棱柱的侧面水平放置时，液体部分是四棱柱，其高即为原三棱柱的高，侧棱长.设当底面ABC水平放置时，液面高为h，由已知条件，知四棱柱与三棱柱的底面面积之比为3：4，由于两种状态下液体体积相等，即，当底面ABC水平放置时，液面高为6.
4.答案：表面积为，体积为
解析：设圆锥底面半径为r，圆柱底面半径为，则，.
又可知圆柱母线长，圆锥母线长，
剩下几何体的表面积
.
剩下几何体的体积.
答：剩下几何体的表面积为，体积为.
5.答案：
解析：正方体的棱长为acm，正方体的体对角线长为，
球的半径，.
6.答案：
解析：由题意，需贴瓷砖的部分为四棱柱与四棱台的侧面积.
，
四棱台的斜高，
，
故需要瓷砖的面积为.
7.答案：这堆螺帽大约有248个
解析：六角螺帽的体积是六棱柱体积与圆柱体积的差，即
.
所以螺帽的个数为（个）.
答：这堆螺帽大约有248个.
8.答案：
解析：设直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c.
以边长为a的直角边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥，其体积为，记为.同理，以边长为b的直角边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成的几何体也是圆锥，其体积为，记为，以斜边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成的几何体是两个圆锥组合而成的简单组合体，其体积为，记为.所以.
9.答案：表面积为，体积为
解析：由该奖杯的三视图可知，奖杯的上部是直径为4cm的球；中部是一个四棱柱，其中上、下底面都是边长分别为8cm、4cm的矩形，四个侧面中的两个侧面是边长分别为20cm、8cm的矩形，另两个侧面是边长分别为20cm、4cm的矩形；下部是一个四棱台，其中上底面是边长分别为10cm、8cm的矩形，下底面是边长分别为20cm、16cm的矩形，四棱台的高为2cm.因此它的表面积和体积分别约为、.
10.答案：A
解析：长方体的体积为，表面积为，故选A.
11.答案：B
解析：设圆锥底面圆的半径为r，高为h，母线长为l.由题意，得，所以，即，所以(负值已舍去)，解得
(负值已舍去).故选B.
12.答案：C
解析：设圆锥的内切球的半径为r，则，所以.又圆锥的轴截面为等边三角形，所以圆锥的高为，圆锥的底面半径为，
则圆锥的体积.故选C.
13.答案：C
解析：如图，设，O分别为上、下底面的中心，D，分别是AC，的中点，过作于点E.在直角梯形中，，，.在中，，则..
14.答案：B
解析：设两球半径分别为，，且，则，，所以.
15.答案：24
解析：.故答案为24.
16.答案：
解析：由题意可将三棱锥补形为棱长为1的正方体，易知此正三棱锥的外接球即为正方体的外接球.正方体的体对角线长是，故外接球的直径是，半径是，故外接球的表面积是.
17.答案：
解析：如图，在正四棱柱中，，，则正四棱柱的侧面积.取正方形的中心，的中点E，连接OE，，，则，，正四棱锥的斜高为，正四棱锥的侧面积，.故答案为.
18.答案：
解析：挖去的圆锥的母线长为，则圆锥的侧面积等于.圆柱的侧面积为，圆柱的一个底面面积为，所以该组合体的表面积为.
19.答案：仓库的容积为312
解析：由，得，则
，
，，
故仓库的容积为312（）.
20.答案：表面积为，体积为
解析：如图所示，过点C作于点，
在半圆中可得，，，
，，，
，
，
，
，
旋转所得到的几何体的表面积为.
又，，
，
.
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