8.6 空间直线、平面的垂直——2022-2023学年高一数学人教A版（2019）必修第二册课时同步练习（含解析）

8.6 空间直线、平面的垂直
【教材课后习题】
1.选择题
（1）若空间中四条不同的直线，，，满足，，，则下面结论正确的是( ).
A. B.
C.，既不垂直也不平行 D.，的位置关系不确定
（2）设l，m，n均为直线，其中m，n在平面内，则“”是“且”的( ).
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
（3）直线，互相平行的一个充分条件是( ).
A.，都平行于同一个平面 B.，与同一个平面所成的角相等
C.，都垂直于同一个平面 D.平行于所在的平面
2.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.
（1）过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面垂直.( )
（2）过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面平行.( )
（3）过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线垂直.( )
（4）过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行.( )
（5）过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.( )
3.判断下列命题是否正确，正确的说明理由，错误的举例说明.
（1）一条直线平行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直；
（2）如果平面平面，平面平面，那么平面与平面所成的二面角和平面，与平面，所成的二面角相等或互补；
（3）如果平面平面，平面平面，那么平面平面.
4.如图，在直三棱柱中，，P为的中点，Q为棱的中点.求证：
（1）；
（2）；
（3）.
5.如图，在三棱锥中，，垂足为D，底面ABC，垂足为O，且O在CD上，求证.
6.如图，在正方体中，平面与正方体的各个面所在的平面所成的二面角的大小分别是多少
7.如图，在三棱锥中，已知，判断平面VAB与平面VBC的位置关系，并说明理由.
8.求证：如果共点的三条直线两两垂直，那么它们中每两条直线确定的平面也两两垂直.已知：直线VA，VB，VC两两垂直.求证：平面VAB，平面VBC，平面VAC也两两垂直.
9.已知平面，且，，求证.
10.已知平面，且，，，求证.
11.如图，在正方体中，点P，Q分别为棱AD，的中点.求证.
12.如图，m，n是两条相交直线，，是与m，n都垂直的两条直线，且直线l与，都相交，求证.
13.求证：两条平行直线与同一个平面所成的角相等.
已知：，，，，分别是a，b与所成的角..
求证：.
14.如图，在棱锥中，平面ABC，，，，你能判定，以及吗
15.如图，在正方形中，E，F分别是，的中点，D是EF的中点.若沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使，，三点重合，重合后的点记为G，则在四面体中，哪些棱与面互相垂直
16.求证：垂直于两个平行平面中的一个平面的直线也垂直于另一一个平面.
已知：，，求证：.
17.求证：三个两两垂直的平面的交线也两两垂直.
已知：平面，，，，，.
求证：，，.
18.如图，在三棱锥中，，，作出二面角的平面角，并求出它的余弦值.
19.如图，在直三棱柱中，，，求证.
20.如图，AB是的直径，点C是上的动点，过动点C的直线VC垂直于所在平面，D，E分别是VA，VC的中点.判断直线DE与平面VBC的位置关系，并说明理由.
21.如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，底面ABCD，，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点.平面AEF与平面PBC是否互相垂直 如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由.
【定点变式训练】
22.在正方体中，E为棱的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为( )
A. B. C. D.
23.如图，为正方体，给出以下结论：①平面；②；③平面.其中正确结论的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
24.在三棱锥中，，，，则二面角等于( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
25.设l是直线，，是两个不同的平面( )
A.若，，则 B.若，，则
C.若，，则 D.若，，则
26.在长方体中，，，则直线与平面ABCD所成的角的大小为( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
27.如图，在正方体中，M，N分别为AC，的中点，则下列说法中错误是( )
A.平面
B.
C.直线MN与平面ABCD所成的角为45°
D.异面直线MN与所成的角为60°
28.在四边形ABCD中，，，，.如图，将沿BD折起，使平面平面BCD，构成三棱锥.则在三棱锥中，下列结论正确的是( )
A.平面平面ABC B.平面平面BDC
C.平面平面BDC D.平面平面ABC
29.已知正三棱锥的所有棱长均为2，则侧面与底面所成二面角的余弦值为( )
A. B. C. D.
30.已知平行六面体的底面ABCD是菱形，且，，，则直线与直线BD所成的角的大小为( )
A. B. C. D.
31.如图，在三棱雉中，三条棱OA，OB，OC两两垂直，且，M是AB的中点，则OM与平面ABC所成角的余弦值是______________.
32.如图，点P在正方体的面对角线上运动，则下面四个结论：①三棱锥的体积不变；②平面；③；④平面平面.
其中正确结论的序号是_______________.（写出所有你认为正确结论的序号）
33.已知矩形ABCD的边，，平面ABCD.若BC边上有且只有一点M，使，则a的值为_________________.
34.如图，在四棱锥中，，，，平面底面ABCD，，E和F分别是CD和PC的中点.求证：
（1）底面ABCD；
（2）平面PAD；
（3）平面平面PCD.
35.如图，在四棱锥中，底面是边长为a的正方形，侧棱，，求证：
（1）平面ABCD；
（2）平面平面PBD；
（3）二面角的平面角的大小为45°.
答案以及解析
1.答案：（1）D
（2）A
（3）C
解析：
2.答案：（1）√
（2）×
（3）√
（4）×
（5）√
解析：
3.答案：（1）正确.设直线平面，直线平面，则存在直线，且.，.
（2）正确.
（3）错误，如长方体中两底面都与同一侧面垂直，但两底面不垂直.
解析：
4.答案：（1）见解析
（2）见解析
（3）见解析
解析：（1）如图，取AB的中点D，连接CD，DP，
P为的中点，.
又Q为的中点，，
，
四边形CDPQ为平行四边形，.
又，D为AB的中点，，.
（2）在直三棱柱中，平面ABC，平面ABC.
，由（1）知，.
又，.
（3）由（1）（2）知，，，而.
平面.平面，.
5.答案：见解析
解析：底面ABC，底面ABC，.
O在CD上，.又，
平面POC，平面POC，.
6.答案：90°
解析：平面与平面ABCD，平面，平面，平面都成45°角，平面与平面，平面都垂直，即与它们所成的角为90°.
7.答案：平面VBA和平面VBC垂直.理由见解析
解析：平面VBA和平面VBC垂直.
因为，，
所以平面ABC，所以.
因为，所以.
因为，所以平面VAB.
又平面VBC，所以平面平面VBC.
8.答案：见解析
解析：如图所示，，，，平面VBC.
又平面VAC，
平面平面VBC.
同理可得，平面平面VAB，平面平面VBC.
9.答案：见解析
解析：如答图，设，在平面内作直线.
因为，所以.
过a作一个平面与平面相交于直线b，
由，得，所以.
又，所以.
10.答案：见解析
解析：在上分别取点M，N，过点M，N分别作与的交线e和m的垂线c，d，如图所示，则，，所以，所以.因为，所以，所以.
11.答案：见解析
解析：取的中点R，连接QR，AR，.
Q是的中点，.而..
四边形ABQR是平行四边形，.
在正方形中，P、R分别是AD、的中点，
，.
，，
，即..
12.答案：见解析
解析：因为m，n是相交直线，所以它们可以确定一个平面记为，则，，
，，，
同理...
13.答案：见解析
解析：如图，在a，b上分别取点A，B，这两点在平面的同侧.且，连接AB和.
因为，，
所以四边形是平行四边形.
所以.又，，所以.
设，分别是平面的垂线，的垂足，
连接，，则.
在和中，因为，，所以，所以，.
14.答案：能判定，理由见解析
解析：能判定以及.
理由如下：
平面ABC，平面ABC，
，
，，.
，平面VDO.
平面VDO，.
又，.
15.答案：平面GEF，平面GSE，平面GSF
解析：折前，，，
折后，，.
又SG，EG，FG交于一点G.
平面GEF，平面GSE，平面GSF.
16.答案：见解析
解析：如图，过直线a作两平面、，使，，，.
，，.
，，，，.
，.
又与都在内且相交，.
17.答案：见解析
解析：如图所示，因为，，，
所以，
又，，
所以，，所以，，
同理可得.
18.答案：
解析：如图所示，取AB的中点M，连接VM，CM.
，，
，，
为二面角的平面角.
根据已知条件可得，，，，
二面角的余弦值等于.
19.答案：见解析
解析：直三棱柱中，，四边形为正方形.
连接，则.
直棱柱中，底面ABC，底面ABC，.
，即.
又，
平面.
平面，.
又，平面.
平面..
20.答案：直线DE与平面VBC垂直.理由见解析
解析：直线DE与平面VBC垂直.
理由：由VC垂直于所在平面，知，，即是二面角的平面角.
由AB是的直径，知.
因此，平面平面VBC.
由D，E分别是VA，VC的中点，知，故.
由两个平面垂直的性质定理，知直线DE与平面VBC垂直.
21.答案：垂直，证明见解析
解析：垂直.证明如下：
底面ABCD，平面ABCD，
.
又底面ABCD为正方形，，而.
平面PAB.
平面PAB，.
，E为PB的中点，
.而，平面PBC.
平面AEF，平面平面PBC.
22.答案：C
解析：在正方体中，，所以异面直线AE与CD所成的角即为.设正方体的边长为2a，则由E为棱的中点，可得，所以.易知，则.故选C.
23.答案：D
解析：由正方体的性质得，所以结合线面平行的判定定理可得，平面，所以①正确.连接AC，由正方体的性质得，.又，即平面，所以，所以②正确.由正方体的性质得，由②可得，所以，同理可得，进而结合线面垂直的判定定理可得平面，所以③正确.故选D.
24.答案：C
解析：取AB中点O，连接VO，CO.
在三棱锥中，，，，
，，
是二面角的平面角.
，
，
，为等边三角形.
，
二面角等于60°.故选C.
25.答案：B
解析：A选项中，若，，则，可能平行也可能相交，故A错误；B选项中，，，由线面平行、线面垂直的性质和面面垂直的判定定理可知，故B正确；C选项中，若，，则或，故C错误；D选项中，若，，则l与相交、平行或，故D错误.故选B.
26.答案：C
解析：如图所示，连接AC，由题可知平面ABCD，故为直线与平面ABCD所成的角，.又因为，所以.故选C.
27.答案：D
解析：如图，连接BD，，由M，N分别为AC，的中点知.因为平面，平面，所以平面，故A正确.易知平面，平面，所以.又，所以，故B正确.易知MN与平面ABCD所成的角即为与平面ABCD所成的角，为45°，故C正确.易知MN与所成角即为与所成角，为45°，故D错误.故选D.
28.答案：D
解析：在平面图形中，，折起后仍然满足.因为平面平面BCD，所以平面ABD，.又因为，所以平面ADC，所以平面平面ABC.
29.答案：C
解析：如图所示，过点S作底面ABC，点O为垂足，连接OA，OB，OC，则，点O为等边三角形ABC的中心.延长AO交BC于点D，连接SD.则，.
为侧面SBC与底面ABC所成二面角的平面角.
正三棱锥的所有棱长均为2，
，.
在中，.故选C.
30.答案：A
解析：连接AC交BD于点O，连接，，.，，，，.底面ABCD是菱形，，.，，平面，，直线与直线BD所成的角的大小为.故选A.
31.答案：
解析：不妨设，，OB，OC两两垂直，.，平面OBC，.设点O到平面ABC的距离为h.，，解得.又是AB的中点，，与平面ABC所成的角的正弦值为，与平面ABC所成角的余弦值为.
32.答案：①②④
解析：连接AC，，，，.因为，，所以四边形是平行四边形，所以.又因为平面，平面，所以平面.同理可证平面，又因为平面，平面，且，所以平面平面.因为平面，所以平面，故②正确.因为，所以平面，所以点P到平面的距离不变.又因为，所以三棱锥的体积不变，故①正确.连接DB，，DP.因为，所以当P为的中点时才有，故③错误.因为平面ABCD，平面ABCD，所以.又因为，，所以平面.连接，又因为平面，所以.同理可证.又因为平面，平面，，所以平面.又因为平面，所以平面平面，故④正确.
33.答案：
解析：平面ABCD，平面ABCD，.边上存在点M，使，且，平面PAM.平面PAM，，以AD为直径的圆和BC相交.，圆的半径为.点M是唯一的，和以AD的中点为圆心，半径为的圆相切，，即.
34.答案：（1）见解析
（2）见解析
（3）见解析
解析：（1）平面底面ABCD，平面底面，平面PAD，，底面ABCD.
（2），，E是CD的中点，
，且.
四边形ABED为平行四边形..
又平面PAD，平面PAD，平面PAD.
（3），四边形ABED为平行四边形，
，.
由（1）知底面ABCD，.
，平面PAD..
和F分别是CD和PC的中点，，.
，，平面BEF.
平面PCD，平面平面PCD.
35.答案：（1）见解析
（2）见解析
（3）见解析
解析：（1），，，
，.
同理可证.，平面ABCD.
（2）由（1）知平面ABCD，平面ABCD，.
四边形ABCD是正方形，.
又，平面PBD.
又平面PAC，平面平面PBD.
（3）由（1）知平面ABCD，平面ABCD，.
又，，平面PDC.
平面PDC，.
为二面角的平面角.
在中，，.
二面角的平面角的大小为45°.
2