9.1 随机抽样——2022-2023学年高一数学人教A版（2019）必修第二册课时同步练习（含解析）

9.1 随机抽样
【教材课后习题】
1.下列情况中哪些适合用全面调查，哪些适合用抽样调查？说明理由.
（1）了解某城市居民的食品消费结构；
（2）调查一个县各村的粮食播种面积；
（3）了解某地区小学生中患沙眼的人数；
（4）了解一批玉米种子的发芽率；
（5）调查一条河流的水质；
（6）某企业想了解其产品在市场的占有率.
2.某刊物对其读者进行满意度调查，调查表随刊物送到读者手中，对寄回的调查表进行分析.这是不是一项抽样调查？样本抽取是不是属于简单随机抽样？为什么？
3.中央电视台希望在春节联欢晚会播出后一周内获得该节目的收视率.下面是三名同学为电视台设计的调查方案.
同学A：我把这张《春节联欢晚会收视率调查表》放在互联网上，只要上网登录该网址的人就可以看到这张表，他们填表的信息可以很快地反馈到我的电脑中.这样，我就可以很快统计出收视率了.
同学B：我给我们居民小区的每一个住户发一份是否在除夕晚上看过中央电视台春节联欢晚会的调查表，只要一两天就可以统计出收视率.
同学C：我在电话号码本上随机地选出一定数量的电话号码，然后逐个给他们打电话，问一下他们是否收看了中央电视台春节联欢晚会，我不出家门就可以统计出中央电视台春节联欢晚会的收视率.
请问：上述三名同学设计的调查方案获得比较准确的收视率的可能性大吗？为什么？
4.下列从总体中抽得的样本是否为简单随机样本？
（1）总体编号为1~75，在099中产生随机整数r.若或，则舍弃，重新抽取
（2）总体编号为1~75，在099中产生随机整数r，r除以75的余数作为抽中的编号.若余数为0，则抽中75.
（3）总体编号为6001~6876，在1~876范围内产生一个随机整数r，把作为抽中的编号.
5.一支田径队有男运动员56人，女运动员42人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为28的样本.如果样本按比例分配，那么男、女运动员应各抽取多少名？
6.数据，，…，的平均数为，数据，，…，的平均数为，a，b为常数.如果满足，，…，，证明.
7.已知总体划分为3层，通过分层随机抽样，得到各层的样本平均数分别为，，.
(1)根据以上信息可以估计总体平均数吗 如果不能，还需要什么条件 写出估计式.
(2)如果样本量是按比例分配，第1，2，3层的个体数分别为L，M，N，样本量分别为l，m，n，证明：
.
8.校学生会希望调查学生对本学期学生活动计划的意见.你自愿担任调查员，并打算在学校里抽取10%的同学作为样本.
（1）怎样安排抽样，可以提高样本的代表性？
（2）在调查抽样中你可能遇到哪些问题？
（3）这些问题可能会影响什么？
（4）你打算怎样解决这些问题？
9.一般来说，影响农作物收成的因素有气候、土质、田间管理水平等.如果你是一个农村调查队成员，要在麦收季节对你所在地区的小麦进行估产调查，你将如何设计调查方案？
10.如果调查目的是要确定被调查者的收入水平，请设计一种提问方法.
11.你可能想了解全校同学生活、学习中的一些情况，例如，全校同学比较喜欢哪门课程，每月的零花钱平均是多少，喜欢看《新闻联播》的同学的比例是多少，每天大约什么时间起床，每天睡眠的平均时间是多少，等.选一些自己关心的问题，设计一份调查问卷，利用简单随机抽样方法调查你们学校同学的情况，并解释你所得到的结论.
12.查询中央电视台最近五年春节联欢晚会的收视率，从中你能发现一些什么信息？查阅一些收视率调查所用的方法，在分析这些方法的合理性和不足的基础上，请你自行设计一个调查收视率的方案.
【定点变式训练】
13.我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为( )
A.134石 B.169石 C.338石 D.1 365石
14.下面问题可以用普查的方式进行调查的是( )
A.检验一批钢材的抗拉强度 B.检验海水中微生物的含量
C.检验10件产品的质量 D.检验一批汽车的使用寿命
15.某社会学专业的大学生为调查某村庄372户，共1511位村民的年龄情况，从该村档案室中抽查掌握了200位村民的基本信息.关于调查目的，下列说法正确的是( )
A.1511位村民是总体
B.该村的每位村民是个体
C.被抽到的200位村民是样本
D.本次抽查获得了200个样本的观测数据
16.现要完成下列3项抽样调查：
①从15种疫苗中抽取5种检测是否合格.
②某中学共有480名教职工，其中一线教师360名，行政人员48名，后勤人员72名.为了解教职工对学校上、下班时间调整方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本.
③在中秋节前，某地食品药品监督局从某品牌的10盒月饼中随机抽取3盒进行食品卫生检查.
较为合理的抽样方法是( )
A.①③简单随机抽样，②分层随机抽样 B.①②简单随机抽样，③分层随机抽样
C.②③简单随机抽样，①分层随机抽样 D.①简单随机抽样，②③分层随机抽样
17.为创全国文明城市拟招募青年志愿者，先将报名当青年志愿者的1860名青年编号为1，2，…，1860，采用系统抽样的方法抽取60名作第一期培训，若在抽取的样本中有一个编号为368，则样本中起始编号是( )
A.29 B.28 C.26 D.27
18.某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵，为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为( )
A.30 B.25 C.20 D.15
19.为响应“双减”政策，提高学生的身体素质及艺术修养，某校开展了丰富多彩的社团活动，如舞蹈社团、绘画社团、足球社团、书法社团等.已知该校共有800名学生，为了解该校学生参加社团的情况，随机抽取了100名学生，其中仅参加一个社团的有45人，参加2个及以上社团的有30人.据此估计该校没有参加社团的人数为( )
A.560 B.440 C.200 D.120
20.为了掌握你所在地区本年度空气质量变化的情况，最适宜的收集数据的方法是( )
A.通过调查获取数据 B.通过试验获取数据
C.通过观察获取数据 D.通过查询获得数据
21.对于下列抽样方法：
①运动员从8个跑道中随机抽取1个跑道；
②从20个零件中一次性拿出3个来检验质量；
③某班50名学生，指定其中成绩优异的2名学生参加一次学科竞赛；
④为了保证食品安全，从某厂提供的一批月饼中，拿出一个检查后放回，再拿一个检查，反复5次，拿了5个月饼进行检查.
其中，属于简单随机抽样的是_________.(把正确的序号都填上)
22.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层随机抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为，则应从一年级本科生中抽取_________名学生.
23.某校对高三年级1600名男女学生的视力状况进行调查，现用分层随机抽样的方法抽取一个容量是200的样本，已知样本中女生比男生少10人，则该校高三年级的女生人数是________.
24.为了了解某班学生的会考合格率，要从该班70人中选30人进行考察分析，则70人的会考成绩的全体是___________，样本是___________，样本量是__________.
25.一个学生在一次竞赛中要回答的8道题是这样产生的：
从15道物理题中随机抽3道；从20道化学题中随机抽3道；从12道生物题中随机抽2道.
选用合适的方法确定这个学生所要回答的三门学科的题的序号(物理题的编号为1~15，化学题的编号为16~35，生物题的编号为36~47).
26.为了对某课题进行研究，分别从A，B，C三所高校中用分层随机抽样法（样本量按比例分配）抽取若干名教授组成研究小组，其中高校A有m名教授，高校B有72名教授，高校C有n名教授（其中）.
（1）若A，B两所高校中共抽取3名教授，B，C两所高校中共抽取5名教授，求m，n；
（2）若高校B中抽取的教授数是高校A和C中抽取的教授总数的，求三所高校的教授的总人数.
答案以及解析
1.答案：（1）适合抽样调查，因为调查对象较多；
（2）适合全面调查，因为调查对象较少；
（3）适合抽样调查，因为调查对象较多；
（4）适合抽样调查，因为调查具有破坏性；
（5）适合抽样调查，因为调查对象较多；
（6）适合抽样调查，因为调查对象多而且不易操作.
解析：
2.答案：是抽样调查，样本的抽取不是简单随机抽样，因为每个个体被抽到的可能性不同.
解析：
3.答案：可能性不大.原因见解析
解析：可能性不大.调查的总体是所有可能看电视的人群.
学生A的设计方案考虑的人群是：上网而且登录某网址的人群，那些不能上网的人群，或者不登录某网址的人群就被排除在外了.因此A方案抽取的样本的代表性差.
学生B的设计方案考虑的人群是小区内的居民，有一定的片面性.因此B方案抽取的样本的代表性差.
学生C的设计方案考虑的人群是那些有电话的人群，电话号码本上的号码有限且有一定的片面性.因此C方案抽取的样本的代表性差.
所以，这三种调查方案都有一定的片面性，得到比较准确的收视率的可能性不大.
4.答案：（1）不是简单随机样本；
（2）不是简单随机样本：
（3）是简单随机样本.
解析：
5.答案：运动员中随机抽取16人，女运动员中随机抽取12人
解析：田径队运动员的总人数是，要得到28人的样本，占总体的比例为.于是，应该在男运动员中随机抽取（人），
在女运动员中随机抽取（人）.
6.答案：见解析
解析：由题意得，.
又，，…，，
，
，.
7.答案：（1）不能，见解析
（2）见解析
解析：(1)不可以估计总体平均数.需要第1，2，3层中包含个体的数目A，B，C，或抽取样本量分别为a，b，c，则估计式为
或
（2）证明：样本平均数.
在比例分配的分层随机抽样中，，
.
8.答案：（1）因为各个年级学习任务和学生年龄等因素的不同，影响各年级学生对学生活动的看法，所以按年级分层进行抽样调查，可以得到更有代表性的样本.
（2）在抽样的过程中可能遇到的问题如敏感性问题：有些学生担心提出意见对自己不利；又如不响应问题：由于种种原因，有些学生不能发表意见等.
（3）前面列举的两个问题都可能导致样本的统计推断结果的误差.
（4）为解决敏感性问题，可以采用阅读与思考栏目“如何得到敏感性问题的诚实反应”中的方法设计调查问卷；为解决不响应问题，可以事先向全体学生宣传调查的意义，并安排专人负责发放和催收调查问卷，最大程度地回收有效调查问卷.
解析：
9.答案：可以采用分层随机抽样的方法进行抽样，将麦田按气候、土质、田间管理水平等不同因素分为不同的层，然后按照各层麦田的面积比例及样本量确定各层抽取的面积，再在各层中抽取个体（这里的个体是单位面积的一块麦地）.
解析：
10.答案：您每年的纳税额是多少？您每年缴纳的所得税额是多少？
解析：
11.答案：可以按年级分层随机抽样的方法设计方案，调查问卷由学生所关心的问题组成.例如：
（1）你最喜欢哪一门课程？
（2）你每月的零花钱平均是多少？
（3）你喜欢看《新闻联播》吗？
（4）你每天早上几点起床？
（5）你每天晚上几点睡觉？
解析：
12.答案：发现的信息：不同年龄段的观众收视率差别大.
解析：这里利用分层随机抽样来设计抽样方案的效果应该比较好，可以按照年龄分层，也可以按职业，或者环境（城、镇、乡等）分层.
13.答案：B
解析：依题意，这批米内夹谷约为(石)，故选B.
14.答案：C
解析：A不能用普查的方式调查，因为这种实验具有破坏性；B用普查的方式无法完成；C可以用普查的方式进行调查；D中实验具有破坏性，且需要耗费大量的时间，在实际生产中无法应用.
15.答案：D
解析：本题抽样的调查目的是该村庄村民的年龄情况，总体是1511位村民的年龄；个体是每位村民的年龄；样本是200位村民的年龄；样本容量为200，即抽查获取了200个样本的观测数据.故选D.
16.答案：A
解析：①③中总体数量较少，且个体没有明显差别，适合用简单随机抽样；②中总体是由有明显差异的几部分组成的，适合用分层随机抽样.故选A.
17.答案：D
解析：由题意可得系统抽样的分段间隔为.根据在抽取的样本中有一个编号为368，可设起始编号为a，则样本中起始编号是27，故选D.
18.答案：C
解析：抽样比是，则样本中松树苗的数量为.
19.答案：C
解析：由题意知，100名学生中，没有参加社团的人数为，据此估计该校没有参加社团的人数为.
20.答案：C
解析：空气质量变化的情况很难被人控制，且会随着时间的变化而变化，只能利用专业测量设备，通过长久的持续观察获取观测数据.如果该地区有专门的空气质量检测记录机构，并对公众开放数据查询，则可在下一年度通过查询获得本年度的空气质量变化情况.故选C.
21.答案：①②④
解析：对于②，一次性拿出3个来检验质量不能等价于“逐个”拿出3个来检验质量；
对于③，指定其中成绩优异的2名学生，不满足等可能抽样的要求；
对于④，是有放回简单随机抽样.
22.答案：60
解析：应从一年级本科生中抽取(名).
23.答案：760
解析：设样本中女生有x人，则男生有人，所以，得，
设该校高三年级的女生有y人，则由分层随机抽样的定义可知，解得.
24.答案：总体；30人的会考成绩；30
解析：为了强调调查目的，由总体、样本、样本量的定义知，70人的会考成绩的全体是总体，样本是30人的会考成绩，样本量是30.
25.答案：见解析
解析：方法一：抽签法
第一步，将试题的编号1~47分别写在一张纸条上，将纸条揉成团，制成号签，并将物理、化学、生物题的号签分别放在不透明的袋子中，搅匀.
第二步，从装有物理题的号签的袋子中逐个抽取3个号签，从装有化学题的号签的袋子中逐个抽取3个号签，从装有生物题的号签的袋子中逐个抽取2个号签，并记录所得号签上的编号，这便是这个学生所要回答的问题的序号.
方法二：随机数法第一步，将物理题的序号对应改成01，02，…，15，其余两科题的序号不变.
第二步，准备10个大小、质地一样的小球，小球上分别写上数字0，1，2，…，9，把它们放入一个不透明的袋子中.
第三步，从袋子中有放回摸取2次，每次摸取前充分搅拌，并把第1，2次摸到球的数字分别作为十位、个位，这样就生成了一个两位随机数.凡不在01~47中的数跳过去不读，前面已经读过的也跳过去不读，从01~15中选3个号码，从16~35中选3个号码，从36~47中选2个号码，记录下来.
第四步，与这些编号对应的即为所要回答的三门学科的题的序号.
26.答案：（1），
（2）三所高校的教授的总人数为180
解析：（1），A，B两所高校中共抽取3名教授，B，C两所高校中共抽取5名教授，高校B中抽取2名教授，高校A中抽取1名教授，高校C中抽取3名教授，，解得，.
（2）高校B中抽取的教授数是高校A和C中抽取的教授总数的，
，解得，
三所高校的教授的总人数为.
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