第七章 复数 —2022-2023学年高一数学人教A版（2019）必修第二册单元巩固练习（含解析）

第七章 复数 复习参考题
【教材课后习题】
1.选择题
（1）复数与的积是实数的充要条件是( ).
A. B. C. D.
（2）复数的共轭复数是( ).
A. B. C. D.
（3）当时，复数在复平面内对应的点位于( ).
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
*（4）复数的辐角主值是( ).
A.40° B.140° C.220° D.310°
2.填空题
（1）若复数z的模为5，虚部为-4，则复数________.
（2）已知复数，那么________.
（3）复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为________.
*（4）如果向量对应复数4i，绕点O按逆时针方向旋转45°后再把模变为原来的倍得到向量，那么与对应的复数是________（用代数形式表示）.
3.求证：.
4.已知复数与都是纯虚数，求z.
5.在复数集C中解下列方程：
（1）；
（2）.
6.已知，，，求z.
7.已知，求z及.
8.（1）求，，，，，，，的值；
（2）由（1）推测的值有什么变化规律，并把这个规律用式子表示出来.
9.已知复数，，并且，求的取值范围.
10.在复平面的上半平面内有一个菱形OABC，，点A所对应的复数是，求另外两个顶点B，C所对应的复数.
【定点变式训练】
11.已知i是虚数单位，为实数，且，则( )
A.2 B.1 C. D.
12.在复平面内，复数，其中i是虚数单位，则复数z对应的点Z在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
13.已知复数z满足，则( )
A.1 B. C. D.2
14.已知复数，是z的共轭复数，则的虚部为( )
A.2 B. C.-2 D.
15.已知，若复数为纯虚数，则______.
16.若复数z满足（i是虚数单位），则__________.
17.设z的共轭复数是.若，，则复数_______________.
18.复数z满足，则____________.
19.已知虚数z满足，求z.
20.已知复数z满足的虚部是2.
(1)求复数z.
(2)设在复平面上的对应点分别为A，B，C，求的面积.
答案以及解析
1.答案：（1）A
（2）B
（3）D
（4）D
解析：（1）由题意得是实数，所以.
（2）因为，所以其共轭复数为.
（3）.因为，
所以，，即对应的点在第四象限.
（4），故辐角主值是310°.
2.答案：（1）或
（2）
（3）
（4）
解析：（1）设，，，或.
（2），，故.
（3）
（4），
所求复数为.
3.答案：见解析
解析：证明：设，则，
，，
，.
4.答案：
解析：因为z是纯虚数，可设（且），
所以.
因为是纯虚数，所以解得，所以.
5.答案：（1）
（2）
解析：（1），
方程的根为.
（2）原方程可转化为，
，方程的根为.
即原方程的根为.
6.答案：
解析：因为，，
所以
，所以.
7.答案：，
解析：设，则.
，，
即，
则必有.
.
8.答案：（1），，，，，，，.
（2）当时推测：，，，.
解析：
9.答案：
解析：由得，
由复数相等的定义知，必有
得.
.
，
，.故.
10.答案：B，C所对应的复数分别为，
解析：如答图，由题意可知，和均为等边三角形.
又，其中为的辐角.
将绕原点O按逆时针方向旋转60°，120°可得，，则
，
.
又，，，，
，，
，，
B，C所对应的复数分别为，.
11.答案：A
解析：由题意，得解得.故选A.
12.答案：A
解析：，
复数z在复平面内所对应的点Z的坐标为，
所以点Z在第一象限.
故选：A.
13.答案：B
解析：解法一：由已知得，，即，.
解法二：由已知得，，.
14.答案：C
解析：由题意得，，的虚部为-2.故选C.
15.答案：2
解析：因为为纯虚数，
所以，解得.
故答案为：2.
16.答案：
解析：因为，
所以.
故答案为：.
17.答案：
解析：设，因为，所以.
又因为，所以，所以.所以，即，故.
18.答案：1
解析：，，即，.
19.答案：
解析：设且，所以，
则
.
因为且，
所以
又，
解得
故.
20.答案：(1)或
(2)
解析：(1)设，则，
由题意得且，
解得或，
所以或.
(2)当时，，
所以，所以.
当时，，
所以，所以.
2