6.3 平面向量基本定理及坐标表示——2022-2023学年高一数学人教A版（2019）必修第二册课时同步练习（含解析）

6.3 平面向量基本定理及坐标表示
【教材课后习题】
1.如图，在中，，点E是CD的中点.设，，用a，b表示，.
2.已知作用在坐标原点的三个力分别为，，，求作用在原点的合力的坐标.
3.在下列各小题中，已知向量a的坐标，以及表示a的有向线段的起，点A的坐标，求终点B的坐标.
（1），；
（2），；
（3），.
4.已知的顶点，，，求顶点D的坐标.
5.已知点，，，且，，求点，及向量的坐标.
6.已知点，，且，，，求点C，D，E的坐标.
7.你认为下列各组点具有什么样的位置关系 证明你的猜想.
（1），，；
（2），，；
（3），，.
8.分别在平面直角坐标系中作出下列各组点，猜想以A，B，C为定点的三角形的形状，然后给出证明：
（1），，；
（2），，；
（3），，.
9.已知，，且，求a的坐标.
10.已知，求与a垂直的单位向量的坐标.
11.如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，点F，G分别是AD，BC的三等分点.设，.
（1）用a，b表示，.
（2）如果，EF，EG有什么位置关系 用向量方法证明你的结论.
12.已知点，，，.当，，-2，2时，分别求点P的坐标.
13.已知，，点P在线段AB的延长线上，且，求点P的坐标.
14.求证：以，，，为顶点的四边形是一个矩形.
15.如图，设Ox，Oy是平面内相交成60°角的两条数轴，，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量.若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系xOy中的坐标.设.
（1）计算的大小；
（2）根据平面向量基本定理判断，本题中对向量坐标的规定是否合理.
16.用向量方法证明：对于任意的a，b，c，，恒有不等式.
【定点变式训练】
17.已知D是所在平面内的一点，且，设，则( ).
A. B. C.3 D.-3
18.如图，在中，BE是AC边上的中线，O是BE边的中点.若，则( )
A. B.
C. D.
19.在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线.若，则( )
A. B. C. D.
20.已知向量.若向量与向量平行，则x的值为( )
A.-3 B.0 C. D.
21.已知向量，，若，则t的值为( )
A. B.1 C.2 D.1或2
22.在四边形ABCD中，，，，，E，F分别为边AB，CD的中点，则( )
A. B. C. D.
23.设D为所在平面内一点，.若，则______.
24.已知向量.若，则的值为________.
25.已知非零向量满足，则的夹角为_____________.
26.已知向量.若为直角三角形，且为直角，则实数m的值为__________.
27.平面给定三个向量.
(1)若，求的值；
(2)若向量与向量共线，求实数k的值.
28.已知在中，点D在线段OB上，且，延长BA到C，使.
设.
(1)用表示向量；
(2)若向量与共线，求k的值.
29.在平面内给定三个向量.
(1)求满足的实数m，n的值；
(2)若向量满足，且，求向量的坐标.
30.已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中.
(1)若，且，求c的坐标;
(2)若，且与垂直，求a与b的夹角.
答案以及解析
1.答案：；
解析：，
.
2.答案：
解析：.
3.答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1），
，.
（2），，
.
（3），，
.
4.答案：
解析：解法1：设O为坐标原点，则，.而，，所以顶点D的坐标为.
解法2：设顶点D的坐标为，则，，.
由，得解得所以顶点D的坐标为.
5.答案：；；
解析：因为，所以点的坐标为.
因为，所以点的坐标为.
所以向量.
6.答案：；；
解析：设O为坐标原点，则，.
，，.
，所以点C的坐标为；
，所以点D的坐标为；
，所以点E的坐标为.
7.答案：（1）三点共线，证明见解析
（2）三点共线，证明见解析
（3）三点共线，证明见解析
解析：（1）A，B，C三点共线.因为，，所以.因为直线AB与AC有公共点A，所以A，B，C三点共线.
（2）P，Q，R三点共线.因为，，所以.因为直线PR与PQ有公共点P，所以P，Q，R三点共线.
（3）E，F，G点共线.因为，，所以.因为直线EF与EG有公共点E，所以E，F，G三点共线.
8.答案：（1）为直角三角形，证明见解析
（2）为直角三角形，证明见解析
（3）为直角三角形，证明见解析
解析：（1）如图，为直角三角形，证明如下：
，，，
，.
为直角三角形.
（2）如图，为直角三角形，证明如下：
，，
，
，，
为直角三角形.
（3）如图，为直角三角形，证明如下：
，，
，
，，
为直角三角形.
9.答案：或
解析：设，则解得或
于是或.
10.答案：或
解析：设与a垂直的单位向量，则
解得或
于是或.
11.答案：（1）；
（2），证明见解析
解析：（1）；
.
（2）.证明如下：
由（1）知，，，
.
，.
12.答案：见解析
解析：，.
当时，，所以；
当时，，所以；
当时，，
所以；
当时，，所以.
13.答案：
解析：如图所示，
设，则，.
，.
即，
，，.
14.答案：见解析
解析：证明：因为，，，所以，所以以A，B，C，D为顶点的四边形是矩形.
15.答案：（1）
（2）合理
解析：（1）建立如图所示的直角坐标系，将分解到轴和轴可求得，，所以.
（2）对于任意向量都是唯一确定的，所以本题中对向量坐标的规定合理.
16.答案：见解析
解析：证明：构造向量，.
（其中为向量u，v的夹角）.
所以，
所以.
17.答案：D
解析：由题意作图，如图所示，因为，所以C为BD的中点，
所以，因为，
所以由平面向量基本定理可得，，所以，故选D.
18.答案：D
解析：在中，BE是AC边上的中线，.
是BE边的中点，，故选D.
19.答案：B
解析：，，故选B.
20.答案：A
解析：向量.
又与向量平行，，解得.故选A.
21.答案：A
解析：因为向量，，所以，因为，所以，解得，故选A.
22.答案：A
解析：因为，，，，E，F分别为边AB，CD的中点，
所以，，所以.故B，C，D错误.
故选：A.
23.答案：-3
解析：为所在平面内一点，，三点共线.
又，即，则，解得.
24.答案：-3
解析：由向量，得，
则解得故.
25.答案：
解析：，，
.，.设向量的夹角为θ，则.
26.答案：
解析：由题意知.又，所以.
由，得，解得.
所以实数m的值为.
27.答案：(1)
(2)
解析：(1)由题知，
.
又，
解得.
(2)由题知，
与共线，
，解得.
28.答案：(1)；
(2)
解析：(1)为BC的中点，，
可得，
.
(2)由(1)得.
与共线，
设，
即，
根据平面向量基本定理，得解得.
29.答案：(1)
(2)或
解析：(1)由已知条件以及，可得.
解得.
(2)设向量.
，
解得或
向量的坐标为或.
30.答案：（1）或
（2）
解析：（1）设.
由和，可得，解得或，
故或.
（2），
，即，
，整理得，
.
又，.
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