3.3.2 抛物线的简单几何性质（第2课时）（分层作业）
（夯实基础+能力提升）
【夯实基础】
一、单选题
1．（2021·全国·高二课时练习）若点在抛物线上，则下列点中一定在该抛物线上的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高二课时练习）是抛物线上的两点，为坐标原点.若，且的面积为，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·四川·成都七中高二期末（文））如图，我市某地一拱桥垂直轴截面是抛物线，已知水利人员在某个时刻测得水面宽，则此时刻拱桥的最高点到水面的距离为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·高二课时练习）已知抛物线上一点到其准线及对称轴的距离分别为3和，则（ ）
A．2 B．2或4 C．1或2 D．1
5．（2021·全国·高二专题练习）已知双曲线与抛物线（其中）交于A，B两点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
6．（2021·黑龙江·哈尔滨德强学校高二期中）若正三角形的顶点都在抛物线上，其中一个顶点恰为坐标原点，则这个三角形的面积是（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·江苏·南京田家炳高级中学高二开学考试）一种卫星接收天线如图所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线．在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到信号装置（信号装置安装在抛物线的焦点处）．已知接收天线的口径（直径）为，深度为，则信号装置与卫星接收天线中心的距离为（ ）．
A． B． C． D．
二、多选题
8．（2022·全国·高二课时练习）（多选）已知平面内到定点比它到定直线：的距离小1的动点的轨迹为曲线，则下列说法正确的是（ ）
A．曲线的方程为 B．曲线关于轴对称
C．当点在曲线上时， D．当点在曲线上时，点到直线的距离
9．（2021·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系xoy中，凸四边形ABCD的4个顶点均在抛物线E：y2=2x上，则（ ）
A．四边形ABCD不可能为平行四边形
B．存在四边形ABCD，满足∠A=∠C
C．若AB过抛物线E的焦点F，则直线OA，OB斜率之积恒为─2
D．若为正三角形，则该三角形的面积为
10．（2022·全国·高二课时练习）关于抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．开口向左 B．焦点坐标为 C．准线为 D．对称轴为轴
三、填空题
11．（2021·黑龙江·鸡西市第一中学校高二期中）根据抛物线的光学性质可知，从抛物线的焦点发出的光线经该抛物线反射后与对称轴平行.沿直线发出的光线经抛物线反射后，与轴相交于点，则___________.
12．（2022·全国·高二课时练习）正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个三角形的边长是______．
13．（2022·全国·高二课时练习）已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为轴，且与圆相交的公共弦长为，则抛物线的方程为______．
四、解答题
14．（2022·江苏·高二）已知抛物线的焦点为，为坐标原点．
(1)过作垂直于轴的直线与抛物线交于两点，的面积为．求抛物线的标准方程；
(2)抛物线上有两点，若为正三角形，求的边长．
15．（2022·江苏·高二课时练习）求适合下列条件的抛物线的标准方程：
(1)焦点为；
(2)准线方程是；
(3)对称轴为x轴，焦点到准线的距离是4．
16．（2022·全国·高二课时练习）正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线()上，求这个正三角形的边长.
【能力提升】
一、单选题
1．（2022·河南·驻马店市基础教学研究室高二期末（理））已知抛物线C：，则过抛物线C的焦点，弦长为整数且不超过2022的直线的条数是（ ）
A．4037 B．4044 C．2019 D．2022
2．（2022·安徽·合肥一中高二阶段练习）已知拋物线的焦点为椭圆的右焦点，且与的公共弦经过，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·黑龙江·大庆实验中学高二期中）已知椭圆的焦距为，左焦点为，右顶点为，若抛物线与椭圆交于，两点，且四边形是菱形，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·全国·高二专题练习）已知直线垂直于抛物线的对称轴，与E交于点A，B（点A在第一象限），过点A且斜率为的直线与E交于另一点C，若，则p=（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·北京市第五十七中学高二期末）已知点F为抛物线的焦点，点K为点F关于原点的对称点，点M在抛物线C上，则下列说法错误的是（ ）
A．使得为等腰三角形的点M有且仅有4个
B．使得为直角三角形的点M有且仅有4个
C．使得的点M有且仅有4个
D．使得的点M有且仅有4个
6．（2022·全国·高二课时练习）抛物线与椭圆交于A，B两点，若的面积为(其中O为坐标原点)，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
7．（2021·全国·高二课时练习）有一个正三角形的两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上，另一个顶点在原点，则该三角形的边长是( )
A． B．
C． D．
二、多选题
8．（2022·湖南永州·高二期末）已知抛物线的焦点为F，点P为C上任意一点，若点，下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为2
B．抛物线C关于x轴对称
C．过点M与抛物线C有一个公共点的直线有且只有一条
D．点P到点M的距离与到焦点F距离之和的最小值为4
9．（2021·江苏南京·高二期中）在平面直角坐标系中，方程对应的曲线为，则（ ）
A．曲线是封闭图形，其围成的面积大于
B．曲线关于原点中心对称
C．曲线上的点到原点距离的最小值为
D．曲线上的点到直线距离的最小值为
10．（2021·山西省长治市第二中学校高二期中）已知点F为抛物线的焦点，点K为点F关于原点的对称点，点M在抛物线C上，则下列说法正确的是（ ）
A．使得为等腰三角形的点M有且仅有4个
B．使得为直角三角形的点M有且仅有4个
C．使得的点M有且仅有4个
D．使得的点M有且仅有4个
11．（2021·江苏·高二专题练习）已知抛物线E：的焦点为F，准线l交x轴于点C，直线m过C且交E于不同的A，B两点，B在线段上，点P为A在l上的射影．下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若P，B，F三点共线，则
C．若，则 D．对于任意直线m，都有
三、填空题
12．（2021·全国·高二单元测试）抛物线E：与圆M：交于A，B两点，圆心，点P为劣弧上不同于A，B的一个动点，平行于y轴的直线PN交抛物线于点N，则的周长的取值范围是______.
13．（2021·全国·高二专题练习）已知A，B是抛物线两点，O为坐标原点．若，且的垂心恰是此抛物线的焦点，则直线AB的方程为________．
14．（2021·全国·高二课时练习）设抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于不同的两点，，为抛物线的准线与轴的交点，若，则______.
15．（2022·湖北黄冈·高二期末）已知抛物线的焦点为，过焦点的直线交抛物线与两点，且，则拋物线的准线方程为________.
四、解答题
16．（2022·全国·高二单元测试）抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l：交C于P，Q两点，且．已知点，且与l相切．
（1）求C，的方程；
（2）设是C上的三个点，直线，均与相切．判断直线与的位置关系，并说明理由．3.3.2 抛物线的简单几何性质（第2课时）（分层作业）
（夯实基础+能力提升）
【夯实基础】
一、单选题
1．（2021·全国·高二课时练习）若点在抛物线上，则下列点中一定在该抛物线上的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用抛物线关于x轴对称求解即可
【详解】由抛物线关于x轴对称易知，点一定在该抛物线上.
故选：B
【点睛】本题考查抛物线的对称性，是基础题
2．（2022·全国·高二课时练习）是抛物线上的两点，为坐标原点.若，且的面积为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题可设，，利用的面积算出，再结合图形求出.
【详解】如图，
∵，知两点关于轴对称，
设，
∴，解得，
∴，∴，
∴，∴.
故选：C
3．（2022·四川·成都七中高二期末（文））如图，我市某地一拱桥垂直轴截面是抛物线，已知水利人员在某个时刻测得水面宽，则此时刻拱桥的最高点到水面的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】代入计算即可.
【详解】设B点的坐标为 ，由抛物线方程 得 ，则此时刻拱桥的最高点到水面的距离为2米.
故选：D
4．（2022·全国·高二课时练习）已知抛物线上一点到其准线及对称轴的距离分别为3和，则（ ）
A．2 B．2或4 C．1或2 D．1
【答案】B
【解析】由题意，得到，结合抛物线方程，即可求出结果.
【详解】因为抛物线上一点到其准线及对称轴的距离分别为3和，
所以，即，代入抛物线方程可得，
整理得，解得或.
故选：B.
5．（2021·全国·高二专题练习）已知双曲线与抛物线（其中）交于A，B两点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】由，求得，代入抛物线方程求得，然后把点的坐标代入双曲线方程，即可解得离心率.
【详解】根据对称性，设A在第一象限，B在第四象限，由，知，
代入到抛物线方程中，即，解得，
则将代入双曲线方程得，化简得，
解得离心率为或（舍）
故选：D
6．（2021·黑龙江·哈尔滨德强学校高二期中）若正三角形的顶点都在抛物线上，其中一个顶点恰为坐标原点，则这个三角形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设三角形其中一个顶点为，根据三角形为正三角形，由求得x即可.
【详解】设三角形其中一个顶点为，
因为三角形是正三角形，
所以，即，
解得，
所以三角形的两个顶点为，
所以三角形的面积为，
故选：A
7．（2021·江苏·南京田家炳高级中学高二开学考试）一种卫星接收天线如图所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线．在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到信号装置（信号装置安装在抛物线的焦点处）．已知接收天线的口径（直径）为，深度为，则信号装置与卫星接收天线中心的距离为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】先设出抛物线的方程，将点代入抛物线方程求得，即可得出结果.
【详解】如图建立直角坐标系：
设抛物线的方程为，
利用已知条件可得：
点在抛物线上，
所以，
则，
所以信号装置与卫星接收天线中心的距离为.
故选：A.
二、多选题
8．（2022·全国·高二课时练习）（多选）已知平面内到定点比它到定直线：的距离小1的动点的轨迹为曲线，则下列说法正确的是（ ）
A．曲线的方程为 B．曲线关于轴对称
C．当点在曲线上时， D．当点在曲线上时，点到直线的距离
【答案】AB
【分析】由抛物线的定义可知曲线的轨迹是抛物线，进而可判断A,根据抛物线的性质可判断B,C,D.
【详解】由题意可知：动点到定点与它到定直线：的距离相等，
由抛物线定义，知曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，其方程为，所以A，B正确；由知，点到直线的距离，所以C，D错误．
故选：AB．
9．（2021·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系xoy中，凸四边形ABCD的4个顶点均在抛物线E：y2=2x上，则（ ）
A．四边形ABCD不可能为平行四边形
B．存在四边形ABCD，满足∠A=∠C
C．若AB过抛物线E的焦点F，则直线OA，OB斜率之积恒为─2
D．若为正三角形，则该三角形的面积为
【答案】ABD
【分析】根据平行四边形的性质可判断A；利用对应边成比例，三角形相似可判断B；由两点求斜率可判断C；利用三角形的面积公式可判断D.
【详解】A，构成平行四边形的条件是对边平行且相等，而水平直线与y2=2x至多只有一个交点，
因此，四边形ABCD不可能为平行四边形，故A正确；
B，如图所示，连接，
则当，，
则，则∠A=∠C，故B正确；
C，设，，，
，解得，所以，故C错误；
D，设若为正三角形，如图：
由抛物线的对称性可知，，
则直线：，
则 ，解得，，
，
，故D正确.
故选：ABD
10．（2022·全国·高二课时练习）关于抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．开口向左 B．焦点坐标为 C．准线为 D．对称轴为轴
【答案】AD
【分析】根据抛物线标准方程依次判断选项即可得到答案.
【详解】对选项A，，开口向左，故A正确；
对选项B，，焦点为，故B错误；
对选项C，，准线方程为，故C错误；
对选项D，，对称轴为轴，故D正确.
故选：AD
三、填空题
11．（2021·黑龙江·鸡西市第一中学校高二期中）根据抛物线的光学性质可知，从抛物线的焦点发出的光线经该抛物线反射后与对称轴平行.沿直线发出的光线经抛物线反射后，与轴相交于点，则___________.
【答案】6
【分析】由于直线与抛物线的对称轴平行，所以由抛物线的光学性质可知点就是抛物线的焦点，从而可求出的值
【详解】因为直线与抛物线的对称轴平行，
所以由抛物线的光学性质可知沿直线发出的光线经抛物线反射后，与轴相交于点就是抛物线的焦点，
所以，，
故答案为：6
12．（2022·全国·高二课时练习）正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个三角形的边长是______．
【答案】
【分析】根据正三角形和抛物线的对称性求得正三角形的边长.
【详解】设正三角形的顶点，边长为，
由于正三角形的两个顶点在抛物线上，
根据正三角形和抛物线的对称性可设，
将点坐标代入抛物线得.
所以正三角形的边长为.
故答案为：
13．（2022·全国·高二课时练习）已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为轴，且与圆相交的公共弦长为，则抛物线的方程为______．
【答案】或
【分析】根据抛物线的概念及其对称性，结合已知条件即可求解.
【详解】设所求抛物线的方程为或，与圆的交点为，（，），由对称性，知，，则，即，所以，把代入，得，所以点在抛物线上，点在抛物线上，可得．
于是所求抛物线的方程为或．
故答案为：或.
四、解答题
14．（2022·江苏·高二）已知抛物线的焦点为，为坐标原点．
(1)过作垂直于轴的直线与抛物线交于两点，的面积为．求抛物线的标准方程；
(2)抛物线上有两点，若为正三角形，求的边长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由，利用可构造方程求得，由此可得抛物线方程；
（2）根据对称性可知轴，设，代入抛物线方程可得，利用可构造方程求得，由此可得，即为所求边长.
（1）由抛物线方程知：，为抛物线的通径，则，，解得：，抛物线的标准方程为：.
（2）为正三角形，，由抛物线对称性可知：轴，设，则，解得：，，，，解得：，，即的边长为.
15．（2022·江苏·高二课时练习）求适合下列条件的抛物线的标准方程：
(1)焦点为；
(2)准线方程是；
(3)对称轴为x轴，焦点到准线的距离是4．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】(1)由题意设出抛物线的方程，再根据焦点坐标求出即可得出答案.
(2) 由题意设出抛物线的方程，再根据准线方程求出即可得出答案.
(3) 由题意设出抛物线的方程，再根据的几何意义即可得出答案.
(1)
由题意设抛物线的方程为
由焦点为，则，则
所以抛物线的方程为：
(2)
由题意设抛物线的方程为
由抛物线的准线方程是，即，则
所以抛物线的方程为：
(3)
由题意设抛物线的方程为或
由焦点到准线的距离是4，则
所以抛物线的方程为：或
16．（2022·全国·高二课时练习）正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线()上，求这个正三角形的边长.
【答案】
【解析】设另外两个顶点的坐标分别为、，由图形的对称性可以得到，解此方程得到的值，从而可得结果.
【详解】设正三角形的顶点、在抛物线上，且设点、，
则，，
又，∴，即，
∴，又∵，，，
∴，由此可得，即线段关于轴对称，
∵轴垂直于，且，
∴，
∵，
∴，
∴.
【能力提升】
一、单选题
1．（2022·河南·驻马店市基础教学研究室高二期末（理））已知抛物线C：，则过抛物线C的焦点，弦长为整数且不超过2022的直线的条数是（ ）
A．4037 B．4044 C．2019 D．2022
【答案】A
【分析】根据已知条件，结合抛物线的性质，先求出过焦点的最短弦长，再结合抛物线的对称性，即可求解．
【详解】∵抛物线C：，即 ，
由抛物线的性质可得，过抛物线焦点中，长度最短的为垂直于y轴的那条弦，
则过抛物线C的焦点，长度最短的弦的长为，
由抛物线的对称性可得，弦长在5到2022之间的有共有条，
故弦长为整数且不超过2022的直线的条数是 ．
故选：A．
2．（2022·安徽·合肥一中高二阶段练习）已知拋物线的焦点为椭圆的右焦点，且与的公共弦经过，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件求出椭圆两焦点坐标，再求出与的公共点的坐标，借助椭圆定义计算椭圆长轴长即可作答.
【详解】依题意，椭圆的右焦点，则其左焦点，
设过的与的公共弦在第一象限的端点为点P，由抛物线与椭圆对称性知，轴，如图，
直线PF方程为：，由得点，于是得，
在中，，，则，因此，椭圆的长轴长，
所以椭圆的离心率.
故选：A
3．（2021·黑龙江·大庆实验中学高二期中）已知椭圆的焦距为，左焦点为，右顶点为，若抛物线与椭圆交于，两点，且四边形是菱形，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由椭圆方程求出作和的坐标，由对称性设出的坐标，根据菱形的性质求出横坐标，代入抛物线方程求出的纵坐标，将点的坐标代入椭圆方程，化简整理得到关于椭圆离心率的方程，即可得到该椭圆的离心率.
【详解】解：由题意得，椭圆，为半焦距），
的左焦点为，右顶点为，则，
抛物线与椭圆交于两点，
两点关于轴对称，可设，
四边形是菱形，
，则，
将代入抛物线方程得，，
，则不妨设，
再代入椭圆方程，化简得，
由，即有，
解得或（舍去），
故选：D
4．（2021·全国·高二专题练习）已知直线垂直于抛物线的对称轴，与E交于点A，B（点A在第一象限），过点A且斜率为的直线与E交于另一点C，若，则p=（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，设，作于，进而根据几何关系得，再结合点在上列方程求解即可.
【详解】如图，因为过点A且斜率为的直线与E交于另一点C，若，
所以可设，作于．
因为，则．由，易得，
所以，，即知，
因为点在上．
所以，解得．
故选：A
5．（2022·北京市第五十七中学高二期末）已知点F为抛物线的焦点，点K为点F关于原点的对称点，点M在抛物线C上，则下列说法错误的是（ ）
A．使得为等腰三角形的点M有且仅有4个
B．使得为直角三角形的点M有且仅有4个
C．使得的点M有且仅有4个
D．使得的点M有且仅有4个
【答案】C
【分析】为等腰三角形，考虑两边相等，结合图形，可得有4个点；为直角三角形，考虑直角顶点，结合图形，可得有4个点；考虑直线，与抛物线的方程联立，解方程可得交点个数；由对称性可得有2个；考虑直线，代入抛物线的方程，解方程可得交点个数，由对称性可得点有4个．
【详解】由为等腰三角形，若，则有两个点；
若，则不存在，若，则有两个点，
则使得为等腰三角形的点有且仅有4个；
由中为直角的点有两个；
为直角的点不存在；为直角的点有两个，
则使得为直角三角形的点有且仅有4个；
若的在第一象限，可得直线，
代入抛物线的方程可得，解得，
由对称性可得在第四象限只有一个，
则满足的有且只有2个；
使得的点在第一象限，可得直线，
代入抛物线的方程，可得，，
可得点有2个；
若在第四象限，由对称性可得也有2个，
则使得的点有且只有4个．
故选：C
6．（2022·全国·高二课时练习）抛物线与椭圆交于A，B两点，若的面积为(其中O为坐标原点)，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】B
【分析】由抛物线与椭圆交点的对称性，设，结合已知有，，即可求，进而求p值.
【详解】由抛物线与椭圆的对称性知：关于y轴对称，可设，
∵的面积为，
∴，而，
∴由上整理得：，解得，则.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：根据抛物线、椭圆的对称性设交点坐标，结合三角形的面积及点在椭圆上列方程求参数值.
7．（2021·全国·高二课时练习）有一个正三角形的两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上，另一个顶点在原点，则该三角形的边长是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设出等边三角形的边长，根据等边三角形和抛物线的对称性，可得到对称两个顶点的坐标，将坐标代入抛物线方程可求得边长.
【详解】设等边三角形的边长为，根据等边三角形和抛物线的对称性，可得等边三角形一个顶点的坐标为，代入抛物线方程得，解得.
【点睛】本小题主要考查等边三角形和抛物线图像的对称性，考查利用抛物线上点的坐标求参数等知识，属于基础题.
二、多选题
8．（2022·湖南永州·高二期末）已知抛物线的焦点为F，点P为C上任意一点，若点，下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为2
B．抛物线C关于x轴对称
C．过点M与抛物线C有一个公共点的直线有且只有一条
D．点P到点M的距离与到焦点F距离之和的最小值为4
【答案】CD
【分析】设，求出的长，由二次函数性质得最小值判断A，由抛物线的对称性判断B，由直线与抛物线的位置关系判断C，结合抛物线的定义，把转化为到准线的距离后可求得题中距离和的最小值判断D．
【详解】设，则，，又抛物线的焦点为，
所以，时，等号成立．所以的最小值是1，A错；
抛物线的焦点在轴上，抛物线关于轴对称，B错；
易知点在抛物线的内部（含有焦点的部分），因此过与对称轴平行的直线与抛物线只有一个公共点，其他直线与抛物线都有两个公共点，C正确；
记抛物线的准线为，准线方程为，
过作于，过作于，则，
，所以当三点共线，即与重合时，最小，最小值为．D正确．
故选：CD．
9．（2021·江苏南京·高二期中）在平面直角坐标系中，方程对应的曲线为，则（ ）
A．曲线是封闭图形，其围成的面积大于
B．曲线关于原点中心对称
C．曲线上的点到原点距离的最小值为
D．曲线上的点到直线距离的最小值为
【答案】ABD
【分析】对于选项A，作出曲线的图象与曲线的图象即可判断；对于选项B结合中心对称的概念即可判断；对于选项C，设曲线E上任意一点为，结合两点间的距离公式化简整理即可判断；对于选项D，结合点到直线的距离公式即可判断.
【详解】对于选项A，作出曲线的图象，即可判断为封闭图形，再作出的图象，
由图可知曲线围成的面积大于曲线围成的面积，且曲线与轴正半轴的交点坐标为，与轴正半轴的交点坐标为，所以围成的面积为，所以选项A正确；
对于选项B，因为点，点均满足方程，则可得到曲线关于原点中心对称，所以选项B正确；
对于选项C，设曲线E上任意一点为，则其到原点的距离的平方为，且，即曲线上的点到原点距离的最小值为，故选项C错误；
对于选项D，曲线上任意一点为，则其到直线距离为，故选项D正确；
故选：ABD
10．（2021·山西省长治市第二中学校高二期中）已知点F为抛物线的焦点，点K为点F关于原点的对称点，点M在抛物线C上，则下列说法正确的是（ ）
A．使得为等腰三角形的点M有且仅有4个
B．使得为直角三角形的点M有且仅有4个
C．使得的点M有且仅有4个
D．使得的点M有且仅有4个
【答案】ABD
【分析】为等腰三角形，考虑两边相等，结合图形，可得有4个点；为直角三角形，考虑直角顶点，结合图形，可得有4个点；考虑直线，与抛物线的方程联立，解方程可得交点个数；由对称性可得有2个；考虑直线，代入抛物线的方程，解方程可得交点个数，由对称性可得点有4个．
【详解】如图，
由为等腰三角形，若，则有两个点；若，则不存在，若，则有两个点，则使得为等腰三角形的点有且仅有4个,故A正确；
由中为直角的点有两个；为直角的点不存在；为直角的点有两个，则使得为直角三角形的点有且仅有4个，故B正确；
若的在第一象限，可得直线，代入抛物线的方程可得，解得，由对称性可得在第四象限只有一个，则满足的有且只有2个，故C错误；
使得的点在第一象限，可得直线，
代入抛物线的方程，可得，，
可得点有2个；若在第四象限，由对称性可得也有2个，则使得的点有且只有4个，故D正确．
故选：ABD
11．（2021·江苏·高二专题练习）已知抛物线E：的焦点为F，准线l交x轴于点C，直线m过C且交E于不同的A，B两点，B在线段上，点P为A在l上的射影．下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若P，B，F三点共线，则
C．若，则 D．对于任意直线m，都有
【答案】BCD
【分析】解法一：设出直线方程，然后与抛物线方程联立，结合韦达定理与抛物线的定义进而逐项分析即可，其中D选项需要结合均值不等式；解法二：对A选项首先假设，然后推出矛盾即可判断，B，C，D选项则同解法一一样.
【详解】解法一：由已知条件可得
由抛物线的对称性，不妨设直线的方程为
依题意，由整理，得
当，即时，由韦达定理，
得.
对于选项，因为直线的斜率为，
所以，即
又，所以，解得，所以
所以，
故，故错误；
对于选项，易得，所以
当三点共线时，，
所以
由和，解得，
所以故正确
对于选项，过作，垂足为由已知可得，
所以.
又，所以.
由抛物线的定义，得
因此故正确；
对于选项，因为，
所以，又，
故成立.故正确.
故选：BCD.
解法二：对于选项，假设成立，则为等腰直角三角形，
，所以为等腰直角三角形，则点在轴上，这与已知条件显然矛盾，故
故错误，其他选项同解法一进行判断.
故选：BCD.
【点睛】（1）直线与抛物线的位置关系一般需要设出直线方程，然后与抛物线联立，进而利用根与系数的关系；
（2）有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
三、填空题
12．（2021·全国·高二单元测试）抛物线E：与圆M：交于A，B两点，圆心，点P为劣弧上不同于A，B的一个动点，平行于y轴的直线PN交抛物线于点N，则的周长的取值范围是______.
【答案】
【分析】根据题意，联立方程组求出点坐标，再结合抛物线的定义，即可求解.
【详解】如图，可得圆心也是抛物线的焦点，PN交抛物线的准线于H，
根据抛物线的定义，可得，故的周长，
由，解得，
∵，且 ∴PH的取值范围为，∴，
∴的周长的取值范围为.
故答案为：.
13．（2021·全国·高二专题练习）已知A，B是抛物线两点，O为坐标原点．若，且的垂心恰是此抛物线的焦点，则直线AB的方程为________．
【答案】
【分析】由抛物线的性质知关于轴对称,设出坐标，利用三角形垂心的性质，结合斜率之积为，求出坐标即可求解.
【详解】由抛物线的性质知关于轴对称,
设，则，焦点为.
由题意知，，
所以，即.
因为，所以，即，所以直线AB的方程为.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题考查抛物线的性质，三角形垂心的性质，解题的关键是利用三角形垂心的性质得到，再利用斜率的关系求得坐标，考查学生的运算求解能力，属于中档题.
14．（2021·全国·高二课时练习）设抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于不同的两点，，为抛物线的准线与轴的交点，若，则______.
【答案】6
【分析】抛物线的焦点为，设直线方程为，与抛物线方程联立，消去，得到关于的一元二次方程，设，不妨设，根据韦达定理得出关系，可证，可得，设的倾斜角为，求出，进而求出直线的方程，根据对称性，直线与抛物线的另一个交点与关于轴对称，将直线方程与抛物线方程联立，消去，根据韦达定理，求出，即可得出结论.
【详解】抛物线的焦点为，
设直线方程为，
联立，消去，得，
，，
不妨设，，
，
设直线的倾斜角为，
整理得，
解得或（舍去）
直线方程为，
根据对称性，直线与抛物线的另一个交点与关于轴对称，
联立消去得，，
，由抛物线的定义得.
故答案为:6.
【点睛】本题考查抛物线的性质，利用抛物线的对称性是解题的关键，本题考查直线与抛物线的位置关系，要熟练掌握相交弦长公式，考查计算能力，属于较难题.
15．（2022·湖北黄冈·高二期末）已知抛物线的焦点为，过焦点的直线交抛物线与两点，且，则拋物线的准线方程为________.
【答案】
【分析】根据题意作出图形，设直线与轴的夹角为，不妨设，设抛物线的准线与轴的交点为，过点作准线与轴的垂线，垂足分别为，过点分别作准线和轴的垂线，垂足分别为，进一步可以得到，进而求出，同理求出，最后解得答案.
【详解】设直线与轴的夹角为，根据抛物线的对称性，不妨设，如图所示.设抛物线的准线与轴的交点为，过点作准线与轴的垂线，垂足分别为，
过点分别作准线和轴的垂线，垂足分别为.
由抛物线的定义可知，，
同理：,
于是，，则抛物线的准线方程为：.
故答案为：.
四、解答题
16．（2022·全国·高二单元测试）抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l：交C于P，Q两点，且．已知点，且与l相切．
（1）求C，的方程；
（2）设是C上的三个点，直线，均与相切．判断直线与的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）抛物线，方程为；（2）相切，理由见解析
【分析】（1）根据已知抛物线与相交，可得出抛物线开口向右，设出标准方程，再利用对称性设出坐标，由，即可求出；由圆与直线相切，求出半径，即可得出结论；
（2）方法一：先考虑斜率不存在，根据对称性，即可得出结论；若斜率存在，由三点在抛物线上，将直线斜率分别用纵坐标表示，再由与圆相切，得出与的关系，最后求出点到直线的距离，即可得出结论.
【详解】（1）依题意设抛物线，
，
所以抛物线的方程为，
与相切，所以半径为，
所以的方程为；
（2）[方法一]：设
若斜率不存在，则方程为或，
若方程为，根据对称性不妨设，
则过与圆相切的另一条直线方程为，
此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在，不合题意；
若方程为，根据对称性不妨设
则过与圆相切的直线为，
又，
，此时直线关于轴对称，
所以直线与圆相切；
若直线斜率均存在，
则，
所以直线方程为，
整理得，
同理直线的方程为，
直线的方程为，
与圆相切，
整理得，
与圆相切，同理
所以为方程的两根，
，
到直线的距离为：
，
所以直线与圆相切；
综上若直线与圆相切，则直线与圆相切.
[方法二]【最优解】：设．
当时，同解法1．
当时，直线的方程为，即．
由直线与相切得，化简得，
同理，由直线与相切得．
因为方程同时经过点，所以的直线方程为，点M到直线距离为．
所以直线与相切．
综上所述，若直线与相切，则直线与相切．
【整体点评】第二问关键点：过抛物线上的两点直线斜率只需用其纵坐标（或横坐标）表示，将问题转化为只与纵坐标（或横坐标）有关；法一是要充分利用的对称性，抽象出与关系，把的关系转化为用表示，法二是利用相切等条件得到的直线方程为，利用点到直线距离进行证明，方法二更为简单，开拓学生思路
