3.3.2 抛物线的简单几何性质（第1课时）（分层作业）
（夯实基础+能力提升）
【夯实基础】
一、单选题
1．（2021·江苏·高二专题练习）对抛物线，下列描述正确的是 ( )
A．开口向上，焦点为(0，2) B．开口向上，焦点为
C．开口向右，焦点为(2，0) D．开口向上，焦点为
【答案】A
【分析】先将抛物线化成标准形式，然后给找到开口方向和焦点.
【详解】抛物线方程，化成标准方程形式，可得其开口向上，焦点坐标为.
故选A项.
【点睛】本题考查由抛物线方程求其图像的开口和焦点坐标.属于简单题.
2．（2022·贵州遵义·高二期末（理））已知，则方程与在同一坐标系内对应的图形编号可能是（ ）
A．①④ B．②③ C．①② D．③④
【答案】B
【分析】结合椭圆、双曲线、抛物线的图像，分别对①②③④分析m、n的正负，即可得到答案.
【详解】对于①：由双曲线的图像可知：；由抛物线的图像可知：同号，矛盾.故①错误；
对于②：由双曲线的图像可知：；由抛物线的图像可知：异号，符合要求.故②成立；
对于③：由椭圆的图像可知：；由抛物线的图像可知：同号，且抛物线的焦点在x轴上，符合要求.故③成立；
对于④：由椭圆的图像可知：；由抛物线的图像可知：同号，且抛物线的焦点在x轴上，矛盾.故④错误；
故选：B
3．（2022·全国·高二课时练习）已知点（x，y）在抛物线y2=4x上，则的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．0
【答案】B
【分析】将抛物线方程代入，利用二次函数的性质配方即可求最值.
【详解】因为点(x，y)在抛物线y2=4x上，所以x≥0，
因为z=x2+y2+3=x2+2x+3=(x+1)2+2，
所以当x=0时，z最小，最小值为3.
故选：B.
4．（2022·全国·高二课时练习）若抛物线y2＝2px（p＞0）上任意一点到焦点的距离恒大于1，则p的取值范围是（ ）
A．p＜1 B．p＞1 C．p＜2 D．p＞2
【答案】D
【解析】根据抛物线的几何性质当P为抛物线的顶点时，P到准线的距离取得最小值，列不等式求解.
【详解】∵设P为抛物线的任意一点，
则P到焦点的距离等于到准线：x的距离，
显然当P为抛物线的顶点时，P到准线的距离取得最小值．
∴，即p＞2．
故选：D．
【点睛】此题考查抛物线的几何性质，根据几何性质解决抛物线上的点到焦点距离的取值范围问题.
5．（2022·全国·高二课时练习）抛物线的对称轴是直线
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据抛物线的简单几何性质即可求出．
【详解】因为抛物线：，所以其关于轴对称，即对称轴为直线．
故选：D．
【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质的应用，属于基础题．
二、多选题
6．（2021·全国·高二专题练习）（多选）对于抛物线上，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为
C．焦点到准线的距离为4 D．准线方程为
【答案】AC
【分析】写出标准形式即，即可得到相关结论
【详解】由抛物线，即，可知抛物线的开口向上，焦点坐标为，焦点到准线的距离为4，准线方程为．
故选：AC
7．（2021·全国·高二课时练习）（多选）平面内到定点和到定直线的距离相等的动点的轨迹为曲线．则（ ）
A．曲线的方程为
B．曲线关于轴对称
C．当点在曲线上时，
D．当点在曲线上时，点到直线的距离
【答案】AB
【分析】由抛物线定义，可知曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，其方程为，依次判断，即得解
【详解】由抛物线定义，知曲线是以为焦点，
直线为准线的抛物线，其方程为，故A正确；
若点在曲线上，则点也在曲线上，故曲线关于轴对称，故B正确；
由知，故C错误；
点到直线的距离，所以D错误
故选：AB
8．（2021·江苏镇江·高二期中）下列四个方程所表示的曲线中既关于轴对称，又关于轴对称的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】根据题意，结合抛物线，椭圆，圆的性质，依次讨论求解即可.
【详解】解：对于A选项，对于曲线上的任意点，其关于轴对称的点满足方程，关于轴对称的点也满足方程，故满足条件；
对于B选项，即为，表示焦点在轴正半轴的抛物线，关于轴对称，但不关于轴对称，故不满足；
对于C选项，即为，表示焦点在轴上的椭圆，满足既关于轴对称，又关于轴对称，故满足条件；
对于D选项，即为，表示圆心为，半径为的圆，其关于轴对称，不关于轴对称，故不满足条件.
故选：AC
三、填空题
9．（2021·广西玉林·高二期末（文））已知，，是抛物线：上一点，则的最小值是______．
【答案】5
【解析】设，用向量的数量积的坐标表示得到，根据消去，得到关于的一元二次函数，即可求出．
【详解】设，则，，
从而．
因为点在抛物线上，所以，
所以，当且仅当时取等号．
故答案为：5
【点睛】本题主要考查向量的数量积的坐标表示，以及抛物线的简单几何性质的应用，属于较易题．
10．（2022·全国·高二课时练习）已知抛物线上距离点最近的点恰好是其顶点，则的取值范围是_____________.
【答案】
【分析】将抛物线上的点离点A的距离用两点距离的平方表示出来，再研究二次函数的最值．
【详解】设点P（x，y）为抛物线上的任意一点，则点P离点A（0，a）的距离的平方为
|AP|2=x2+（y﹣a）2
=x2+y2﹣2ay+a2，
∵x2=2y，
∴|AP|2=2y+y2﹣2ay+a2（y≥0）
=y2+2（1﹣a）y+a2（y≥0），
∴对称轴为a﹣1，
∵离点A（0，a）最近的点恰好是顶点，
∴a﹣1≤0解得a≤1，
又a＞0，
∴0＜a≤1，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数在给定区间的最值的求法：弄清对称轴与区间的关系，在y=0时取到最小值，函数在定义域内递增，对称轴在区间左边．
四、解答题
11．（2021·全国·高二课时练习）在同一坐标系中画出下列抛物线，观察它们开口的大小，并说明抛物线开口大小与方程中x的系数的关系：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【答案】图象如图，x的系数的绝对值越大,抛物线的开口越大.
【分析】作出抛物线图象，得x的系数的绝对值越大,抛物线的开口越大.
【详解】解:抛物线如图,x的系数的绝对值越大,抛物线的开口越大.
12．（2022·全国·高二课时练习）根据下列条件，求抛物线的标准方程，并画图：
(1)准线方程为；
(2)焦点在x轴上且其到准线的距离为6；
(3)对称轴是x轴，顶点到焦点的距离等于2；
(4)对称轴是y轴，经过点．
【分析】（1）根据抛物线的准线方程为，得到且焦点在y轴上求解；
（2）根据焦点在x轴上且其到准线的距离为6，得到求解；
（3）根据对称轴是x轴，顶点到焦点的距离等于2，得到求解；
（4）根据对称轴是y轴，设抛物线方程为，将点代入求解.
(1)
解：因为抛物线的准线方程为，
所以，p=3，
所以抛物线的方程是；其图象如下：
(2)
因为焦点在x轴上且其到准线的距离为6，
所以，
所以抛物线的方程是或；其图象如下：
(3)
因为对称轴是x轴，顶点到焦点的距离等于2
所以，p=4，
所以抛物线的方程是或；其图象如下：
(4)
因为对称轴是y轴，
设抛物线方程为，
因为抛物线经过点，
所以，解得，
所以抛物线的方程是，其图象如下：
13．（2021·全国·高二课时练习）在平面直角坐标系中，点到直线：的距离比到点的距离大2.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）请指出曲线的对称性，顶点和范围，并运用其方程说明理由.
【答案】（1）；（2）对称性：曲线关于轴对称；顶点：；范围：曲线在直线右侧，且右上方和右下方无限延伸.理由见解析
【分析】（1）设，根据题意列出等量关系，化简整理，即可得出结果；
（2）根据由抛物线向右平移一个单位得到，结合抛物线的性质，即可得出结果.
【详解】（1）由题意可得：动点到直线的距离与到的距离相等，
设，则，
化简整理，可得，
所以点的轨迹的方程为；
（2）由（1）得的方程为；
即由抛物线向右平移一个单位得到；
所以曲线也关于轴对称，顶点为，范围为，.
【点睛】本题主要考查求轨迹方程，以及轨迹的性质，熟记轨迹方程的求法，以及抛物线的性质即可，属于常考题型.
14．（2022·江苏·高二课时练习）判断下列方程所表示的曲线是否关于x轴、y轴或原点对称：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)关于原点、x轴、y轴对称．
(2)关于原点、x轴、y轴对称．
(3)关于y轴对称．
(4)不关于x轴、y轴，原点对称.
【分析】（1）（2）（3）直接利用曲线方程的对称性写出结果即可，（4）利用曲线上任一点关于x轴、y轴、原点对称的点是否还在曲线上进行判断．
(1)
，是椭圆方程，所以关于原点、x轴、y轴对称．
(2)
，曲线是双曲线方程，所以关于原点、x轴、y轴对称．
(3)
，曲线是抛物线方程，开口向下，对称轴为轴，不关于原点、x轴对称．
(4)
在曲线上任取一点，则关于x轴、y轴、原点的对称点分别为：、、，
将代入曲线方程，得到，与方程不同，将代入曲线方程，得到，与方程不同，
将代入曲线方程，得到，与方程不同，
所以曲线不关于x轴、y轴，原点对称.
【能力提升】
一、单选题
1．已知抛物线：，点为抛物线上任意一点，过点向圆作切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由圆 圆心 ，半径，设
，故选B.
【点睛】解答本题的关键步骤是：
1.确定圆的标准方程；
2.根据两点距离公式求出 ；
3.根据直角三角形三边关系求出；
4..根据四边形面积公式求出.
2．（2021·全国·高二课时练习）在抛物线型内壁光滑的容器内放一个球，其通过中心轴的纵剖面图如图所示，圆心在轴上，抛物线顶点在坐标原点，已知抛物线方程是，圆的半径为，若圆的大小变化时，圆上的点无法触及抛物线的顶点，则圆的半径的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设圆心为，（），半径为，是抛物线上任一点，求出，当的最小值在原点处取得时，圆过原点，可得此时圆半径的范围，半径不在这个范围内的圆不过原点．
【详解】设圆心为，（），半径为，是抛物线上任一点，
，
若的最小值不在处取得，则圆不过原点，
所以，即，此时圆半径为．
因此当时，圆无法触及抛物线的顶点．
故选：A．
【点睛】关键点点睛：本题考查圆与抛物线的位置关系，题中圆不过原点，说明抛物线上的点到圆心距离的最小值不是在原点处取得，由此得到解法，即设圆心为，抛物线上点的坐标为，求出，然后确定其最小值，由最小值点不是原点可得结论．
3．（2021·江苏·高二专题练习）抛物线与圆交于、两点，圆心，点为劣弧上不同于、的一个动点，平行于轴的直线交抛物线于点，则的周长的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】求出圆心坐标，可得抛物线的焦点，过作准线的垂线，垂足为，根据抛物线的定义，可得，故的周长为，联立圆与抛物线可得B点坐标，可得的取值范围，可得答案.
【详解】解：如图，
可得圆心也是抛物线的焦点，
过作准线的垂线，垂足为，根据抛物线的定义，可得
故的周长，
由可得，.
的取值范围为
的周长的取值范围为
故选：.
【点睛】本题主要考查圆与抛物线的综合、抛物线的基本量的计算与性质，综合性大，属于中档题.
二、填空题
4．（2021·江苏·高二单元测试）已知点,动点的轨迹为,动点满足,则的最小值为_____.
【答案】
【分析】根据题意画出图象, 动点满足,设,可得的轨迹为圆,设,且,可得,结合已知,即可求得答案.
【详解】根据题意画出图象:
动点满足
设,
可得的轨迹为圆,
设,且,
可得,
化简可得,
的方程又为
可得,即,
可得的最小值为的最小值,
当三点共线,且为抛物线的法线时,取得最小值.
设,
由的导数为
可得,
解得:,
即,即有
【点睛】本题主要考查了抛物线上动点最值问题,解题关键是掌握抛物线最值的求法和根据导数求最值的解法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.
5．（2022·安徽蚌埠·高二期末）抛物线的准线方程是，则实数___________.
【答案】##
【分析】将抛物线方程化为标准方程，根据其准线方程即可求得实数.
【详解】抛物线化为标准方程：，
其准线方程是，而
所以 ，即 ，
故答案为：
6．（2021·河北·张家口市第一中学高二期中）已知圆C: ，点在抛物线T：上运动，过点引直线，与圆C相切，切点分别为，，则的取值范围为__________.
【答案】
【分析】设出点的坐标，探讨出的取值范围，借助四边形MPCQ的面积计算，把表示为的函数即可作答.
【详解】如图，连接CP，CQ，CM，依题意，，而，
而，则CM垂直平分线段PQ，于是得四边形MPCQ的面积为面积的2倍，
从而得，即，
设点，而，，则，
当且仅当t=1时取“=”，，
因此得，即，得，
所以的取值范围为.
故答案为：
三、解答题
7．（2021·江苏·高二专题练习）已知曲线下面给出的三个问题，从中任选出一个问题，然后对选择的问题进行求解.
①若写出曲线的方程，指出曲线的名称，并求出该曲线的对称轴方程 顶点坐标 焦点坐标 及的取值范围；
②若写出曲线的方程，并求经过点(-1，0)且与曲线只有一个公共点的直线方程；
③若请在直角坐标平面内找出纵坐标不同的两个点，此两点满足条件：无论如何变化，这两点都不在曲线上.
【解析】选择①得到抛物线方程为：，根据抛物线的几何性质可得答案；
选择②得到抛物线方程为：，讨论直线斜率不存在和存在两种情况分别求.
选择③得到曲线的方程为：，即讨论和时的情况可得答案.
【详解】选择①；
因为所以该曲线方程为：，
该曲线是抛物线，其对称轴方程是 顶点坐标为 焦点坐标为 的取值范围是 的取值范围是；
选择②；
因为所以该曲线的方程为：.该曲线是抛物线，
当过点(-1，0)的直线斜率不存在时，此时直线与曲线没有交点，不符合题意；
当过点(-1，0)的直线斜率存在时，设为，因此直线方程可设为：，
两个方程联立得：消去x可得：.
当时，此时，此时符合经过点(-1，0)且与曲线只有一个公共点；
当时，只需，解得，此时方程为：.
综上所述：符合题意的直线方程为：.
选择③；
因为所以曲线的方程为：，即.
当时，；
当时，
当时，，
因此符合题意这两个点可为.
【点睛】劣构问题的主要特点是:
（1）问题的构成部分存在未知或某种程度的不可知、可操控的参数、变量很少，目标界定含糊不清或缺少限定；（2）有多种解决方法、途径和多种评价解决方法的标准，甚至无解；（3）因为不同的情境使然，没有原型的案例可供参考；（4）不能确定哪些概念、规则和原理对形成瞭解决方案来说是必须的，并将它们组织起来；（5）没有一般性的规则或原理可套用，在确定恰当的行动方面没有明确的方法；（6）需要学习者对问题作出判断，并说明理由.
8．（2021·安徽·高二阶段练习）已知抛物线与直线相交于A，B两点，O为坐标原点，.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若点F是抛物线C的焦点，点P是抛物线C上任意一点，点Q是线段PF的中点，求直线OQ斜率的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）令，，利用向量数量积的坐标表示列方程求参数m，再将点代入抛物线求p，即可得抛物线方程.
（2）令，应用中点坐标公式及斜率的两点式求直线OQ的斜率，讨论分别求出对应k的范围，最后取并.
(1)
由题意，设，，则，解得.
将点A或点B坐标代入抛物线方程得：，所以.
所以抛物线C的方程为.
(2)
由抛物线C的方程可知：，不妨设.
因为Q是线段PF的中点，则.
所以直线OQ的斜率.
当时，；
当时，（当且仅当时等号成立），又，
所以.
当时，（当且仅当时等号成立），又，
所以.
综上，直线OQ斜率的取值范围是.
9．（2021·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系中，圆与抛物线恰有一个公共点，且圆与轴相切于的焦点.求圆的半径.
【答案】
【分析】设圆的半径为，可表示出圆的方程，与抛物线的方程联立消去，利用“恰有一个公共点”等价于“方程只有一个根”可求解.
【详解】易知的焦点的坐标为.设圆的半径为.
由对称性，不妨设在轴上方与轴相切于点，
故的方程为.①
将代入①并化简，得.
显然，故.②
根据条件，②恰有一个正数解，该值对应与的唯一公共点.
考虑的最小值.
由平均值不等式知，
从而.
当且仅当，即时，取到最小值.
由②有解可知.
又假如，因随连续变化，且及时，均可任意大，
故②在及上均有解，与解的唯一性矛盾.
综上，仅有满足条件(此时是与的唯一公共点).
【点睛】本题考查解析几何中圆与抛物线的综合问题，解题的关键是把“恰有一个公共点”转化为“方程只有一个根”.解题过程中涉及图形的对称性、平均值不等式(或导数)求最值等变形技巧.3.3.2 抛物线的简单几何性质（第1课时）（分层作业）
（夯实基础+能力提升）
【夯实基础】
一、单选题
1．（2021·江苏·高二专题练习）对抛物线，下列描述正确的是 ( )
A．开口向上，焦点为(0，2) B．开口向上，焦点为
C．开口向右，焦点为(2，0) D．开口向上，焦点为
2．（2022·贵州遵义·高二期末（理））已知，则方程与在同一坐标系内对应的图形编号可能是（ ）
A．①④ B．②③ C．①② D．③④
3．（2022·全国·高二课时练习）已知点（x，y）在抛物线y2=4x上，则的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．0
4．（2022·全国·高二课时练习）若抛物线y2＝2px（p＞0）上任意一点到焦点的距离恒大于1，则p的取值范围是（ ）
A．p＜1 B．p＞1 C．p＜2 D．p＞2
5．（2022·全国·高二课时练习）抛物线的对称轴是直线
A． B．
C． D．
二、多选题
6．（2021·全国·高二专题练习）（多选）对于抛物线上，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为
C．焦点到准线的距离为4 D．准线方程为
7．（2021·全国·高二课时练习）（多选）平面内到定点和到定直线的距离相等的动点的轨迹为曲线．则（ ）
A．曲线的方程为
B．曲线关于轴对称
C．当点在曲线上时，
D．当点在曲线上时，点到直线的距离
8．（2021·江苏镇江·高二期中）下列四个方程所表示的曲线中既关于轴对称，又关于轴对称的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
9．（2021·广西玉林·高二期末（文））已知，，是抛物线：上一点，则的最小值是______．
10．（2022·全国·高二课时练习）已知抛物线上距离点最近的点恰好是其顶点，则的取值范围是_____________.
四、解答题
11．（2021·全国·高二课时练习）在同一坐标系中画出下列抛物线，观察它们开口的大小，并说明抛物线开口大小与方程中x的系数的关系：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
12．（2022·全国·高二课时练习）根据下列条件，求抛物线的标准方程，并画图：
(1)准线方程为；
(2)焦点在x轴上且其到准线的距离为6；
(3)对称轴是x轴，顶点到焦点的距离等于2；
(4)对称轴是y轴，经过点．
13．（2021·全国·高二课时练习）在平面直角坐标系中，点到直线：的距离比到点的距离大2.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）请指出曲线的对称性，顶点和范围，并运用其方程说明理由.
14．（2022·江苏·高二课时练习）判断下列方程所表示的曲线是否关于x轴、y轴或原点对称：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【能力提升】
一、单选题
1．已知抛物线：，点为抛物线上任意一点，过点向圆作切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为
A． B． C． D．
2．（2021·全国·高二课时练习）在抛物线型内壁光滑的容器内放一个球，其通过中心轴的纵剖面图如图所示，圆心在轴上，抛物线顶点在坐标原点，已知抛物线方程是，圆的半径为，若圆的大小变化时，圆上的点无法触及抛物线的顶点，则圆的半径的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·江苏·高二专题练习）抛物线与圆交于、两点，圆心，点为劣弧上不同于、的一个动点，平行于轴的直线交抛物线于点，则的周长的取值范围是
A． B． C． D．
二、填空题
4．（2021·江苏·高二单元测试）已知点,动点的轨迹为,动点满足,则的最小值为_____.
5．（2022·安徽蚌埠·高二期末）抛物线的准线方程是，则实数___________.
6．（2021·河北·张家口市第一中学高二期中）已知圆C: ，点在抛物线T：上运动，过点引直线，与圆C相切，切点分别为，，则的取值范围为__________.
三、解答题
7．（2021·江苏·高二专题练习）已知曲线下面给出的三个问题，从中任选出一个问题，然后对选择的问题进行求解.
①若写出曲线的方程，指出曲线的名称，并求出该曲线的对称轴方程 顶点坐标 焦点坐标 及的取值范围；
②若写出曲线的方程，并求经过点(-1，0)且与曲线只有一个公共点的直线方程；
③若请在直角坐标平面内找出纵坐标不同的两个点，此两点满足条件：无论如何变化，这两点都不在曲线上.
8．（2021·安徽·高二阶段练习）已知抛物线与直线相交于A，B两点，O为坐标原点，.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若点F是抛物线C的焦点，点P是抛物线C上任意一点，点Q是线段PF的中点，求直线OQ斜率的取值范围.
9．（2021·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系中，圆与抛物线恰有一个公共点，且圆与轴相切于的焦点.求圆的半径.
