第 3 章圆锥曲线的方程（单元测试）
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．双曲线＝1的焦点坐标是（ ）
A．（0，±1） B．（±1，0） C． D．
2．椭圆+＝1的离心率是（ ）
A． B． C． D．
3．抛物线y2＝﹣2x的准线方程为（ ）
A．x＝﹣1 B．x＝1 C． D．
4．已知平面α和两条异面直线a，b满足a α，b⊥α，平面α内的动点M到两条直线a，b的距离相等，则点M的轨迹是（ ）
A．两条直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
5．设F是双曲线C：的右焦点，l是双曲线C的一条渐近线，过F作一条直线垂直于l，垂足为P，则sin∠OFP的值为（ ）
A． B． C． D．
6．直线2x+3y＝0是双曲线的一条渐近线，则实数a的值为（ ）
A． B．3 C． D．
7．已知双曲线C与椭圆＝1有共同的焦点，且焦点到该双曲线渐近线的距离等于1，则双曲线C的方程为（ ）
A．＝1 B．y2﹣＝1 C．＝1 D．y2﹣＝1
8．已知F1，F2是椭圆的左，右焦点，点A是椭圆上的一个动点，则△AF1F2的内切圆的半径的最大值是（ ）
A．1 B． C． D．
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.
9．下列有关双曲线2x2﹣y2＝8的性质说法正确的是（ ）
A．离心率为 B．顶点坐标为（0，±2）
C．实轴长为4 D．虚轴长为
10．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝6x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．若直线AF的斜率，则下列结论正确的是（ ）
A．准线方程为x＝﹣3 B．焦点坐标
C．点P的坐标为 D．PF的长为3
11．已知椭圆C：内一点M（1，2），直线l与椭圆C交于A，B两点，且M为线段AB的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．椭圆的焦点坐标为（2，0）、（﹣2，0）
B．椭圆C的长轴长为4
C．直线l的方程为x+y﹣3＝0
D．|AB|＝
12．定义：以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线．以下关于共轭双曲线的结论正确的是（ ）
A．与共轭的双曲线是
B．互为共轭的双曲线渐近线不相同
C．互为共轭的双曲线的离心率为e1，e2，则e1e2≥2
D．互为共轭的双曲线的4个焦点在同一圆上
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．已知O为坐标原点，双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，左顶点为A，过点F向双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为P，且|AF|+|FP|＝|OF|，则该双曲线的离心率为 ．
14．若关于x，y的方程＝1表示的是曲线C，给出下列四个命题：
①若C为椭圆，则1＜t＜3；
②若C为双曲线，则t＞3或t＜1；
③曲线C不可能是圆；
④若C表示椭圆，且长轴在x轴上，则1＜t＜2．
其中正确的命题是 ．（把所有正确命题的序号都填在横线上）
15．已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，点P是双曲
线C上不同于A1，A2的任意一点，若△PF1F2与△PA1A2的面积之比为：1，则双曲线C的离心率为 ．
16．如图所示，等边三角形OAB的边长为8，且其三个顶点均在抛物线 C：x2＝2py（p＞0）上．则抛物线C的方程为 ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．求适合下列条件的椭圆标准方程：
（1）与椭圆+y2＝1有相同的焦点，且经过点（1，）；
（2）经过A（2，﹣），B（﹣，﹣）两点．
18．求适合下列条件的双曲线的标准方程．
（1）焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为；
（2）与双曲线＝1有共同的渐近线，且过点．
19．已知抛物线C的顶点是坐标原点O，而焦点是双曲线4x2﹣y2＝1的右顶点．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线l：y＝x﹣2与抛物线相交于A、B两点．
①求弦长|AB|；
②求证：OA⊥OB．
20．如图，椭圆C：x2+3y2＝a2（a＞0）．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）若a＝，M，N是椭圆C上两点，且|MN|＝2，求△MON面积的最大值．
21．如图，椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率是，短轴长为2，椭圆的左、右顶点为A1、A2.过椭圆与抛物线的公共焦点F的直线l与椭圆相交于A，B两点，与抛物线E相交于P，Q两点，点M为PQ的中点．
（1）求椭圆C和抛物线E的方程；
（2）记△ABA1的面积为S1，△MA2Q的面积为S2，若S1≥3S2，求直线l在y轴上截距的范围．
22．已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0），焦距为2，渐近线方程为y＝x．
（1）求双曲线C的方程；
（2）已知M，N是双曲线C上关于x轴对称的两点，点P是C上异于M，N的任意一点，直线PM、PN分别交x轴于点T、S，试问：|OS| |OT|是否为定值，若不是定值，说明理由，若是定值，请求出定值（其中O是坐标原点）．第3章 圆锥曲线的方程（单元测试）
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．双曲线＝1的焦点坐标是（ ）
A．（0，±1） B．（±1，0） C． D．
【分析】利用双曲线的标准方程，求解c，即可得到选项．
【解答】解：双曲线＝1，可得c＝，
所以双曲线＝1的焦点坐标是（，0）．
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，焦点坐标的求法，是基础题．
2．椭圆+＝1的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据椭圆的标准方程求出a，b的值，根据椭圆中c2＝a2﹣b2就可求出c，再利用离心率e＝得到离心率．
【解答】解：由椭圆方程为+＝1可知，a2＝9，b2＝4，∴c2＝a2﹣b2＝5，∴c＝
∴椭圆的离心率e＝＝
故选：A．
【点评】本题主要考查椭圆的标准方程与离心率的求法，易错点是把椭圆中a，b，c的关系与双曲线中a，b，c的关系记混．
3．抛物线y2＝﹣2x的准线方程为（ ）
A．x＝﹣1 B．x＝1 C． D．
【分析】先根据抛物线方程求得p，进而根据抛物线的性质，求得准线方程．
【解答】解：∵抛物线y2＝﹣2x，
∴抛物线的焦点在x轴上，开口向左，且p＝1，
∴准线方程是x＝
故选：D．
【点评】本题的考点是抛物线的简单性质，主要考查根据抛物线的标准方程求准线方程，属于基础题．
4．已知平面α和两条异面直线a，b满足a α，b⊥α，平面α内的动点M到两条直线a，b的距离相等，则点M的轨迹是（ ）
A．两条直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
【分析】b⊥α，设垂足为B，则M到直线b的距离即为M到定点B的距离，然后根据抛物线的定义进行判定即可．
【解答】解：b⊥α，设垂足为B，则M到直线b的距离即为M到定点B的距离，
即动点M在平面α内到一定直线距离与一定点的距离相等，
符合抛物线性质，则M的轨迹是抛物线，
故选：D．
【点评】本题主要考查了抛物线的定义，解题的关键是熟练掌握抛物线的定义，同时考查了推理能力，属于基础题．
5．设F是双曲线C：的右焦点，l是双曲线C的一条渐近线，过F作一条直线垂直于l，垂足为P，则sin∠OFP的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】双曲线C：的右焦点，F（5，0），双曲线C的一条渐近线l的方程为4x+3y＝0．利用点到直线的距离公式，求出|PF|，由此能求出sin∠OFP．
【解答】解：∵F是双曲线C：的右焦点，
∴F（5，0），
∵l是双曲线C的一条渐近线，
∴l的方程可以为3x+4y＝0．
利用点到直线的距离公式，知|PF|＝＝3，
∵|OF|＝5，
∴sin∠OFP＝＝．
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的简单性质，解题时要认真审题，恰当运用数形结合思想，注意合理地进行等价转化．
6．直线2x+3y＝0是双曲线的一条渐近线，则实数a的值为（ ）
A． B．3 C． D．
【分析】由双曲线方程求得渐近线方程，结合已知得答案．
【解答】解：双曲线的渐近线方程为，化为2x±ay＝0，
又2x+3y＝0是双曲线的一条渐近线，∴a＝3．
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的性质，考查双曲线的渐近线，是基础题．
7．已知双曲线C与椭圆＝1有共同的焦点，且焦点到该双曲线渐近线的距离等于1，则双曲线C的方程为（ ）
A．＝1 B．y2﹣＝1 C．＝1 D．y2﹣＝1
【分析】根据椭圆的方程可得双曲线的焦点在y轴上，且c＝2，然后设双曲线的方程，并求出渐近线方程，最后由焦点到该双曲线渐近线的距离等于b及双曲线中a2+b2＝c2即可求解．
【解答】解：因为椭圆的方程为，所以椭圆的焦点坐标为（0，±2），
由题意，双曲线C的焦点在y轴上，且c＝2，
设双曲线C的方程为，则有a2+b2＝c2＝4，
其渐近线方程为，即ax±by＝0，
又焦点到该双曲线渐近线的距离等于1，则有，所以a2＝c2﹣b2＝3，
所以双曲线C的方程为．
故选：A．
【点评】本题考查了双曲线的性质，属于中档题．
8．已知F1，F2是椭圆的左，右焦点，点A是椭圆上的一个动点，则△AF1F2的内切圆的半径的最大值是（ ）
A．1 B． C． D．
【分析】找出△AF1F2内切圆半径与A点纵坐标的关系，要使△AF1F2内切圆半径最大可得A点的纵坐标最大，由此求得△AF1F2内切圆半径的最大值．
【解答】解：由椭圆，得a2＝4，b2＝3，∴c2＝a2﹣b2＝1，则c＝1，
如图，
∵|F1F2| |yA|＝（|AF1|+|AF2|+|F1F2|） r，
∴2c |yA|＝（2a+2c） r，则r＝|yA|，
要使△PF1F2内切圆半径最大，则需|yA|最大，
∵|yA|≤b＝，
∴△PF1F2内切圆半径的最大值为．
故选：D．
【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了数学转化思想方法，是中档题．
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.
9．下列有关双曲线2x2﹣y2＝8的性质说法正确的是（ ）
A．离心率为 B．顶点坐标为（0，±2）
C．实轴长为4 D．虚轴长为
【分析】化简双曲线方程为标准方程，求出a，b，c求解离心率，顶点坐标，实轴长，虚轴长，即可推出结果．
【解答】解：曲线2x2﹣y2＝8的标准方程为：，
所以a＝2，b＝2，c＝2，
所以离心率为：e＝，顶点坐标（±2，0）实轴长为4，虚轴长为4．
故选：ACD．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．
10．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝6x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．若直线AF的斜率，则下列结论正确的是（ ）
A．准线方程为x＝﹣3 B．焦点坐标
C．点P的坐标为 D．PF的长为3
【分析】根据抛物线的性质，即可判断A、B选项，直线AF的方程为y＝，将A的横坐标代入直线AF方程中，可得A点的纵坐标，再结合条件PA⊥l，即可判断C选项，根据抛物线的性质，即可判断D选项．
【解答】解：由抛物线方程为y2＝6x，
∴焦点坐标，准线方程为，故A选项错误，B选项正确，
∵直线AF的斜率为，
∴直线AF的方程为y＝，
当时，，∴，
∵PA⊥l，A为垂足，
∴点P的纵坐标为，可得点P的坐标为，故C选项正确，
根据抛物线的定义可知，故D选项错误，
故选：BC．
【点评】本题主要考查了抛物线的性质，需要学生熟练掌握公式，属于中档题．
11．已知椭圆C：内一点M（1，2），直线l与椭圆C交于A，B两点，且M为线段AB的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．椭圆的焦点坐标为（2，0）、（﹣2，0）
B．椭圆C的长轴长为4
C．直线l的方程为x+y﹣3＝0
D．|AB|＝
【分析】由题意方程求得a、c判断A与B；利用“点差法”求得直线的斜率，写出直线方程判断C；联立直线方程与椭圆方程，由弦长公式求弦长判断D．
【解答】解：由C：，得椭圆焦点在y轴上，且a2＝8，b2＝4，
则a＝2，b＝2，c＝．
∴椭圆的焦点坐标为（0，2），（0，﹣2），长轴长为2a＝4，故A错误，B正确；
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则，，
两式作差可得：，
∵M（1，2）为线段AB的中点，∴x1+x2＝2，y1+y2＝4，
则，
∴直线l的方程为y﹣2＝﹣1×（x﹣1），即x+y﹣3＝0，故C正确；
联立，得3x2﹣6x+1＝0．
则，
∴|AB|＝＝，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查椭圆的几何性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．
12．定义：以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线．以下关于共轭双曲线的结论正确的是（ ）
A．与共轭的双曲线是
B．互为共轭的双曲线渐近线不相同
C．互为共轭的双曲线的离心率为e1，e2，则e1e2≥2
D．互为共轭的双曲线的4个焦点在同一圆上
【分析】根据所给定义得到两双曲线的方程，进而可得其渐近线方程，离心率，焦点坐标等，即可进行判断．
【解答】解：对A：根据所给定义可得与共轭的双曲线是（a＞0，b＞0），故A错误；
对B：由双曲线方程与（a＞0，b＞0），可得其渐近线方程均为y＝±，故B错误；
对C：由双曲线方程程与（a＞0，b＞0），可得e1 ＝，e2 ＝，
则＝+＝1，即e1 +e2 ＝e1 e2 ，
因为e1，e2均大于1，
所以e1 e2 ＝e1 +e2 ≥2e1e2，则e1e2≥2，当且仅当e1＝e2时取“＝”，故C正确；
对D：的焦点坐标为（±，0），（a＞0，b＞0）的焦点坐标为（0，±），
这四个焦点在以原点为圆心，以为半径的圆上，故D正确．
故选：CD．
【点评】本题考查双曲线的方程及相关性质，涉及命题真假性的判断，综合性较强，属于较难题．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．已知O为坐标原点，双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，左顶点为A，过点F向双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为P，且|AF|+|FP|＝|OF|，则该双曲线的离心率为 ．
【分析】根据已知条件，结合点到直线距离，可得|FP|＝b，由|AF|+|FP|＝|OF|，可推得a＝b，再结合双曲线的离心率公式，即可求解．
【解答】解：设F（﹣c，0）渐近线方程为，
∵c2＝a2+b2，
∴点F（﹣c，0）到渐近线距离|FP|＝，
∵|AF|+|FP|＝|OF|，
∴c﹣a+b＝c，即a＝b，
∴c2＝a2+b2＝2a2，即，
∴双曲线的离心率为 ．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了离心率的求解，熟练掌握双曲线的性质是解本题的关键，属于中档题．
14．若关于x，y的方程＝1表示的是曲线C，给出下列四个命题：
①若C为椭圆，则1＜t＜3；
②若C为双曲线，则t＞3或t＜1；
③曲线C不可能是圆；
④若C表示椭圆，且长轴在x轴上，则1＜t＜2．
其中正确的命题是 ②④ ．（把所有正确命题的序号都填在横线上）
【分析】根据方程表示的曲线特征，列式求解t的取值范围．
【解答】解：①若C为椭圆，则，解得：1＜t＜2或2＜t＜3，故①不正确；
②若C为双曲线，则（3﹣t）（t﹣1）＜0，解得：t＞3或t＜1，故②正确；
③当t＝2时，方程表示x2+y2＝1，表示圆，故③不正确；
④若C为椭圆，且长轴在x轴上，则，解得：1＜t＜2，故④正确．
故答案为：②④．
【点评】本题考查了圆锥曲线的方程，熟记圆锥曲线的方程是解答本解的关键，属于基础题．
15．已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，点P是双曲
线C上不同于A1，A2的任意一点，若△PF1F2与△PA1A2的面积之比为：1，则双曲线C的离心率为 ．
【分析】利用已知条件，把三角形的面积转化为c与a的比，然后求解离心率．
【解答】解：设双曲线的半焦距为c，△PF1F2与△PA1A2的面积之比为：1，
可得|F1F2|＝|A1A2|，即2c＝2，
所以e＝，
故答案为：．
【点评】本题考查双曲线的离心率求法，简单性质的应用，是基础题．
16．如图所示，等边三角形OAB的边长为8，且其三个顶点均在抛物线 C：x2＝2py（p＞0）上．则抛物线C的方程为 x2＝4y ．
【分析】由已知得A（﹣4，12），B（4，12），O（0，0），从而（）2＝24p，由此能求出抛物线C的方程．
【解答】解：如图，∵等边三角形OAB的边长为8，
且其三个顶点均在抛物线 C：x2＝2py（p＞0）上．
∴A（﹣4，12），B（4，12），O（0，0），
∴（）2＝24p，
解得p＝2．
∴抛物线C的方程为x2＝4y．
故答案为：x2＝4y．
【点评】本题考查抛物线方程的求法，是基础题，解题时要注意待定系数法的合理运用．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．求适合下列条件的椭圆标准方程：
（1）与椭圆+y2＝1有相同的焦点，且经过点（1，）；
（2）经过A（2，﹣），B（﹣，﹣）两点．
【分析】（1）先求出已知椭圆的焦点坐标（±1，0），则可设出所求椭圆方程，代入已知点即可求解，（2）待定系数法设出椭圆方程，代入已知点即可求解．
【解答】解：（1）由已知椭圆方程可得焦点坐标为（±1，0），则可设所求的椭圆方程为：，
代入点（1，），解得m＝4或（舍），
所以所求椭圆方程为：，
（2）设所求的椭圆方程为：，
代入已知两点可得：，解得m＝8，n＝1，
故所求的椭圆方程为：．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程以及焦点相同和不确定的问题的椭圆方程的设法，属于基础题．
18．求适合下列条件的双曲线的标准方程．
（1）焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为；
（2）与双曲线＝1有共同的渐近线，且过点．
【分析】（1）由已知结合隐含条件求得a与b的值，则双曲线的标准方程可求；
（2）设与双曲线＝1有共同的渐近线的双曲线方程为，代入已知点的坐标求得λ值，则双曲线方程可求．
【解答】解：（1）由已知可得，2b＝8，b＝4，
∴，解得a2＝9，c2＝25．
又焦点在x轴上，∴双曲线的方程为；
（2）设与双曲线＝1有共同的渐近线的双曲线方程为（λ≠0），
把点代入，可得，即λ＝，
∴所求双曲线方程为．
【点评】本题考查了双曲线的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19．已知抛物线C的顶点是坐标原点O，而焦点是双曲线4x2﹣y2＝1的右顶点．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线l：y＝x﹣2与抛物线相交于A、B两点．
①求弦长|AB|；
②求证：OA⊥OB．
【分析】（1）将双曲线的方程化为标准形式，求得右顶点坐标，根据抛物线的焦点与双曲线的右顶点重合得到抛物线的方程；
（2）①联立方程，利用弦长公式，结合韦达定理求得弦长；
②利用向量的数量积为零求证垂直关系．
【解答】（1）解：4x2﹣y2＝1，化为标准形式：，
，右顶点A，
设抛物线的方程为y2＝2px，焦点坐标为，
由于抛物线的焦点是双曲线的右顶点，所以p＝1，
∴抛物线C的方程y2＝2x；
（2）解：，消去x，得y2﹣2y﹣4＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1y2＝﹣4，y1+y2＝2，
，
，
①．
证明：②，
∴OA⊥OB．
【点评】本题主要考查圆锥曲线方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用等知识，属于中等题．
20．如图，椭圆C：x2+3y2＝a2（a＞0）．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）若a＝，M，N是椭圆C上两点，且|MN|＝2，求△MON面积的最大值．
【分析】（I）化成标准方程，代入离心率公式计算即可；
（II）对直线MN的斜率讨论，设方程为y＝kx+b，联立方程组，根据弦长公式k，b的关系，利用Δ＞0得出k的范围，求出O到直线MN的距离d的范围即可得出结论．
【解答】解：（Ⅰ） 由椭圆的标准方程：，
∴c2＝a2﹣＝，即c＝a，
∴椭圆C的离心率e＝＝．
（Ⅱ）a＝时，椭圆方程为＝1，
显然直线MN的斜率存在．
（1）当k＝0时，把x＝代入椭圆方程得y＝1，
∴O到直线MN的距离为1，
∴S△MON＝＝，
（2）当直线MN斜率不为零时，设直线MN的方程为y＝kx+b，
联立方程组，得（1+3k2）x2+6kbx+3b2﹣6＝0，
∴Δ＝36k2b2﹣4（1+3k2）（3b2﹣6）＞0，解得b2＜6k2+2，
设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2＝﹣，x1x2＝，
∴|MN|＝＝＝2，
∴＝1+3k2，
整理得b2＝，
∴＜6k2+2，解得k2≥0．
∵O到直线MN的距离d＝，
∴d2＝＝＝1﹣．
∴d2＜1，即d＜1，
∴S△MON＝．
综上，△MON面积的最大值为．
【点评】本题考查了椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．
21．如图，椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率是，短轴长为2，椭圆的左、右顶点为A1、A2.过椭圆与抛物线的公共焦点F的直线l与椭圆相交于A，B两点，与抛物线E相交于P，Q两点，点M为PQ的中点．
（1）求椭圆C和抛物线E的方程；
（2）记△ABA1的面积为S1，△MA2Q的面积为S2，若S1≥3S2，求直线l在y轴上截距的范围．
【分析】（1）依题意得到方程组，求出a，b的值，即可求出椭圆方程，再根据抛物线的焦点求出抛物线方程；
（2）设l：x＝ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2），P（x3，y3），Q（x4，y4），联立l与椭圆，利用韦达定理及弦长公式，点到直线的距离，求出三角形的面积S1，S2，再根据S1 3S2得到不等式，解得即可．
【解答】解：（1）根据题意得：，解得，抛物线焦点F（1，0），
因此椭圆，抛物线E：y2＝4x；
（2）设：x＝ty+1（t≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），P（x3，y3），Q（x4，y4），
联立l与椭圆，
整理得：（3t2+4）y2+6ty﹣9＝0，判别式：Δ＝（6t）2﹣4（3t2+4）（﹣9）＝144（t2+1），
弦长公式：，所以，
联立l与抛物线，整理得：y2﹣4ty﹣4＝0，判别式：Δ＝（﹣4t）2﹣4（﹣4）＝16（t2+1），
弦长公式：，
所以，
因为S1 3S2，因此，解得：，
在y轴上截距或，
因此在y轴上截距取值范围是．
【点评】本题考查了直线与圆锥曲线的综合应用，属于中档题．
22．已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0），焦距为2，渐近线方程为y＝x．
（1）求双曲线C的方程；
（2）已知M，N是双曲线C上关于x轴对称的两点，点P是C上异于M，N的任意一点，直线PM、PN分别交x轴于点T、S，试问：|OS| |OT|是否为定值，若不是定值，说明理由，若是定值，请求出定值（其中O是坐标原点）．
【分析】（1）利用已知条件求解c，a，b，得到双曲线方程．
（2）是定值，定值为2，法一：设直线MP的方程为x＝ty+m（t≠0），S（x0，0），T（m，0），代入得（t2﹣2）y2+2tmy+m2﹣2＝0，设点M（x1，y1），P（x2，y2），则N（x1，﹣y1），利用韦达定理，结合三点共线转化求解|OS||OT|为定值．
法二：设点M（x1，y1），P（x2，y2），则N（x1，﹣y1），求出MP的方程，求解S、T的横坐标，通过点M（x1，y1），P（x2，y2），在双曲线上转化求解xT xS＝2．
【解答】解：（1）∵，∴，
又因为渐近线方程为．∴，
∵c2＝a2+b2，∴a2＝2，b2＝1，
∴．
（2）是定值，定值为2．
法一：设直线MP的方程为x＝ty+m（t≠0），S（x0，0），T（m，0），
代入，得（t2﹣2）y2+2tmy+m2﹣2＝0，
因为渐近线方程为，MP与渐近线不平行，∴t2≠2
设点M（x1，y1），P（x2，y2），则N（x1，﹣y1），
由韦达定理可得：，
由N，S，P三点共线得，
，
∴，即|OS||OT|为定值．
法二：是定值，定值为2，
设点M（x1，y1），P（x2，y2），则N（x1，﹣y1），，
令y＝0，∴，
同理：，
因为点M（x1，y1），P（x2，y2），在双曲线上，∴，
，
∴（3），
由（1）（2）可得：，，
代入（3）可得：（定值）．
【点评】本题考查直线与双曲线的位置关系的综合应用，双曲线的简单性质的应用以及方程的求解，考查分析问题解决问题的能力，是难题．
