3.2.1双曲线及其标准方程（分层作业）（夯实基础+能力提升）
【夯实基础】
一、单选题
1．（2022·全国·高二单元测试）在一个平面上，设、是两个定点，P是一个动点，且满足P到的距离与P到的距离差为，即，则动点P的轨迹是（ ）．
A．一条线段 B．一条射线 C．一个椭圆 D．双曲线的一支
【答案】B
【分析】由判断出正确答案.
【详解】依题意，、是两个定点，P是一个动点，
且满足，所以动点P的轨迹是一条射线.
如图所示，在线段的延长线上.
故选：B
2．（2022·全国·高二课时练习）已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点与，的距离差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意求出a,b即可求得答案.
【详解】由题意，，则，结合条件可知，双曲线的标准方程为.
故选：C.
3．（2022·全国·高二课时练习）设，是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的面积等于（ ）
A．24 B． C． D．30
【答案】A
【分析】先利用题给条件及双曲线定义求得的三边长，进而求得的面积
【详解】由，可得
又是是双曲线上的一点，则，
则，，又
则，则
则的面积等于
故选：A
4．（2021·浙江·诸暨中学高二期中）是双曲线右支上一点, 直线是双曲线的一条渐近线.在上的射影为,是双曲线的左焦点, 则的最小值为
A．1 B． C． D．
【答案】D
【详解】设双曲线的右焦点为，连接，则
（为点到渐近线的距离），即的最小值为；故选D.
点睛：本题考查双曲线的定义和渐近线方程；在处理涉及椭圆或双曲线的点到两焦点的距离问题时，往往利用椭圆或双曲线的定义，将曲线上的点到一焦点的距离合理转化到另一个焦点间的距离.
5．（2022·全国·高二课时练习）若方程表示双曲线，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据双曲线的定义可知与同号，从而可求出m的取值范围
【详解】因为方程表示双曲线，
所以，解得，
故选：A
6．（2022·全国·高二课时练习）若圆与轴的两个交点都在双曲线上，且A、B两点恰好将此双曲线的焦距三等分，则此双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用圆的方程解出两点坐标，利用双曲线的图像和性质计算即可.
【详解】将代入解得点坐标分别为，
因为两点都在双曲线上，且将此双曲线的焦距三等分，
所以双曲线焦点在轴上且，解得，
所以双曲线方程为：.
故选：B.
7．（2022·全国·高二课时练习）若动圆与圆和圆都外切，则动圆圆心的轨迹为（ ）
A．双曲线的一支 B．圆
C．抛物线 D．双曲线
【答案】A
【分析】由圆与圆的位置关系以及双曲线的定义求解即可
【详解】设动圆的圆心为M，半径为r，
圆与圆的圆心分别为和圆，
易得圆和圆的半径分别为1和2，
由两圆外切的充要条件，得，．
∴，又，
∴动点M的轨迹是双曲线的一支．
故选：A
8．（2022·全国·高二课时练习）经过点和的双曲线的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设双曲线的方程为，将两点代入，即可求出答案.
【详解】设双曲线的方程为，
则解得
故双曲线的标准方程为．
故选：B．
二、多选题
9．（2022·重庆·巫山县官渡中学高二期末）若方程所表示的曲线为，则下面四个命题中正确的是（ ）
A．若为椭圆，则 B．若为双曲线，则或
C．曲线可能是圆 D．若为椭圆，且长轴在轴上，则
【答案】BC
【分析】分别根据选项曲线的类型列出对应的不等式，解不等式判断即可
【详解】若为椭圆，则 ，且 ，故A错误
若为双曲线，则 ， ，故B正确
若为圆，则 ， ，故C正确
若为椭圆，且长轴在轴上，则 ， ，故D错误
故选：BC
10．（2022·全国·高二单元测试）对任意的，方程所表示的曲线可能为（ ）
A．双曲线 B．抛物线 C．椭圆 D．圆
【答案】ACD
【分析】分情况讨论不同取值时所表示的曲线.
【详解】因为，
所以当时，方程可化为，表示两条直线；
当时，方程化为，表示焦点在轴上的椭圆；
当时，方程化为，表示圆；
当时，方程化为，表示焦点在轴上的椭圆；
当时，方程化为，表示焦点在轴上的双曲线；
故选：ACD.
11．（2022·河北保定·高二期末）已知椭圆的右焦点是双曲线的右顶点，点是双曲线第一象限上一点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．双曲线的渐近线方程为
C．椭圆的左顶点是双曲线的左焦点
D．若椭圆的左、右焦点分别为、，则直线，的斜率之积为定值
【答案】BCD
【分析】利用椭圆与双曲线的定义逐一判断即可.
【详解】A：由椭圆，得a2=25，b2=9，c2=a2-b2=16，∴椭圆的右焦点即双曲线的右顶点为（4，0），
∴a2=16，a=4．A不正确；
B：双曲线的渐近线为．B正确；
C：由上述得椭圆的左顶点是（-5，0），双曲线的左焦点是（-5，0），C正确；
D：椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，恰为双曲线的左、右顶点，设点,
∴为定值，D正确．
故选：BCD．
三、填空题
12．（2022·全国·高二课时练习）若是双曲线上一点，则到两个焦点的距离之差为______.
【答案】
【分析】由双曲线方程可得，根据双曲线定义可求得结果.
【详解】由题意得：双曲线标准方程为，则，
由双曲线定义知：，则.
故答案为：.
13．（2022·全国·高二课时练习）已知平面内两定点，，动点M满足，则点M的轨迹方程是___________.
【答案】
【分析】直接由定义判断出M的轨迹是双曲线，再由待定系数法求方程即可.
【详解】由题意知：，，故M的轨迹是以为焦点，实轴长的双曲线，
设双曲线方程为，由可得，故点M的轨迹方程是.
故答案为：.
14．（2022·全国·高二单元测试）如果双曲线上的一点P到焦点的距离等于16，那么点P到另一个焦点的距离是______．
【答案】32
【分析】利用双曲线的定义求得正确答案.
【详解】双曲线的焦点在轴上，对应，
由于，所以，
所以.
故答案为：
15．（2022·全国·高二课时练习）双曲线的左、右焦点分别为、，点P在双曲线上，若，则______．
【答案】6
【分析】根据双曲线的定义求解．
【详解】由双曲线方程得，
由双曲线定义得，
故答案为：6．
16．（2021·全国·高二课时练习）已知双曲线的中心在原点，两个焦点F1，F2的坐标分别为(，0)和(－，0)，点P在双曲线上，且PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为1，则双曲线的方程为__________．
【答案】－y2＝1
【分析】由已知可得从而可求出(|PF1|－|PF2|)2＝16，由双曲线的定义可求出，而c＝，，可求出，进而可求得双曲线的方程
【详解】由题意得
(|PF1|－|PF2|)2＝16，即2a＝4，解得a＝2，
又c＝，所以b＝1，
故双曲线的方程为－y2＝1.
故答案为：－y2＝1.
17．（2021·全国·高二单元测试）设P是双曲线上一点，M，N分别是两圆：和上的点，则的最大值为_____．
【答案】9
【解析】由题意及已知圆的方程，利用几何的知识可知当点P与M，B三点共线时使得取最大值．
【详解】解：设两圆和圆心分别为A，B，
则A，B正好为双曲线两焦点，
，
即最大值为9，
故答案为：9．
18．（2022·全国·高二课时练习）若方程表示双曲线，则实数m的取值范围是___________.
【答案】
【分析】直接由双曲线标准方程的形式得到不等式，解不等式即可.
【详解】由题意知：，解得.
故答案为：.
19．（2022·全国·高二课时练习）若三个点，，中恰有两个点在双曲线上，则___________.
【答案】
【分析】根据题意和双曲线的对称性，得到点和在双曲线上，代入即可求解.
【详解】由题意，三个点，，中恰有两个点在双曲线上，
因为双曲线的图象关于原点对称，所以点和在双曲线上，
可得，解得.
故答案为：.
20．（2022·全国·高二课时练习）设双曲线的两个焦点分别为、，P为双曲线上一点，若，则______．
【答案】0
【分析】先由双曲线的定义结合已知求得，进而可求出.
【详解】由题意得，，联立
，
因此，则．
故答案为：0.
21．（2022·全国·高二课时练习）已知曲线C：，则下列命题中正确的是______.
①若，则曲线C表示双曲线；②曲线C可能表示一个圆；③若曲线C是椭圆，则其长轴长为.
【答案】①
【分析】根据双曲线，圆以及椭圆方程的特征即可逐一求解.
【详解】由题意，若，而,根据双曲线的定义可知曲线C表示双曲线，故①正确；
若表示圆，则，但无实数根，所以曲线C不可能表示一个圆，故②错误；
若曲线C是椭圆，则，由②的分析可知，椭圆C：的焦点在x轴上，所以其长轴长为，故③错误.
故答案为：①
22．（2022·全国·高二课时练习）若双曲线的一个焦点坐标为，且经过点（－5，2），则双曲线的标准方程为______.
【答案】
【分析】根据焦点位置可设双曲线的标准方程，根据待定系数法即可列方程求解.
【详解】设双曲线的标准方程为，
因为双曲线的一个焦点坐标为，且经过点，
所以得，b＝1，
所以双曲线的标准方程为.
故答案为：
23．（2022·全国·高二课时练习）方程的图像是双曲线，则k的取值范围是______．
【答案】或
【分析】依题意可得，解得即可.
【详解】解：因为方程的图像是双曲线，所以，
即，解得或；
故答案为：或
24．（2022·全国·高二课时练习）如图，为双曲线的左焦点，双曲线上的点与关于轴对称，则______．
【答案】
【分析】设双曲线的右焦点为，根据对称性得到，，利用双曲线的定义，可得.
【详解】设双曲线的右焦点为，因为双曲线上的点与，关于轴对称，
所以，，
又双曲线的实轴长为，根据双曲线的定义可得
.
故答案为：.
四、解答题
25．（2022·全国·高二课时练习）已知1，当k为何值时：
(1)方程表示双曲线；
(2)表示焦点在x轴上的双曲线；
(3)表示焦点在y轴上的双曲线．
【答案】(1)k＜－3或1＜k＜3；
(2)1＜k＜3；
(3)k＜－3.
【分析】利用双曲线标准方程中的分母的正负，即可得出结论．
（1）
∵1，即，方程表示双曲线，
∴(k－1)(|k|－3)＜0，
可得k＜－3或1＜k＜3；
（2）
∵1，即，焦点在x轴上的双曲线，
则，
∴1＜k＜3；
（3）
∵1，即，焦点在y轴上的双曲线，
则，
∴k＜－3．
26．（2022·全国·高二课时练习）求焦点在x轴上，且经过点与的双曲线的标准方程．
【答案】
【分析】设出双曲线方程，代入点的坐标，待定系数法求出标准方程.
【详解】设双曲线方程为：，将点与代入得：，解得：，故双曲线的标准方程为：.
27．（2022·全国·高二课时练习）在△ABC中，B(－3，0)，C(3，0)，直线AB，AC的斜率之积为求顶点A的轨迹方程．
【答案】．
【分析】设出点坐标，利用直线的斜率乘积列方程，化简求得的轨迹方程.
【详解】设A(x，y)，则，
根据题意有，
化简得
∴顶点A的轨迹方程为．
28．（2022·江苏·高二课时练习）在△ABC中，B(－6，0)，C(6，0)，直线AB，AC的斜率乘积为，求顶点A的轨迹．
【答案】顶点A的轨迹是双曲线(除去与x轴的交点)．
【分析】设出点坐标，利用直线的斜率乘积列方程，化简求得的轨迹方程，从而判断出的轨迹.
【详解】设，则，化简得.
所以，顶点A的轨迹是双曲线(除去与x轴的交点)．
【能力提升】
一、单选题
1．（2022·全国·高二课时练习）如图，、是双曲线：与椭圆的公共焦点，点A是、在第一象限的公共点，设的方程为，则下列命题中错误的是（ ）．
A．
B．的内切圆与x轴相切于点（1，0）
C．若，则的离心率为
D．若，则椭圆方程为
【答案】A
【分析】对于A：先利用双曲线的标准方程得到，再利用椭圆中的进行判定；对于B：利用切线长性质和双曲线的定义得到，再结合进行求解；对于C：先利用双曲线和椭圆的定义得到、的关系式，再利用和离心率公式进行求解；对于D：利用勾股定理得到，进而求出椭圆的方程.
【详解】对于A：由可得，
所以，即选项A错误；
对于B：设的内切圆的圆心为I，
且圆与边、、相切于N、M、K，
可得，，，
又因为，
所以，
又，解得，．
可得M的横坐标为1，即I的横坐标为1，即选项B正确；
对于C：在椭圆中，，，
则．
由，得 ，解得a＝3．
则的离心率，即选项C正确；
对于D：因为，，
则，．
若，则．
又c＝2，，解得，．
则椭圆的方程为，即选项D正确．
故选：A.
2．（2022·全国·高二课时练习）双曲线的两焦点为、，点P在双曲线上，直线、倾斜角之差为，则面积为（ ）
A． B． C．32 D．42
【答案】A
【分析】根据已知条件求出焦距及，根据双曲线定义及余弦定理求出乘积，代入三角形面积公式即可求解.
【详解】根据、为双曲线的两焦点可得，
又直线、倾斜角之差为，所以，
根据余弦定理可得，
整理得①，
根据点P在双曲线上可得，
则②，
①-②得，，
则面积为.
故选：A.
3．（2021·天津·耀华中学高二期中）已知曲线，关于曲线的四个结论：
①若曲线表示双曲线，则；②曲线的焦点可以在x轴上，也可以在y轴上；
③若曲线表示椭圆，则；④曲线可能表示圆.
其中所有正确的编号为（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．③④
【答案】B
【分析】根据双曲线、椭圆和圆的标准方程的特征讨论k的范围，进而得到答案.
【详解】对①，若曲线表示双曲线，则，正确；
对②，因为，若曲线C表示椭圆，则，则焦点在x轴上，若曲线C表示双曲线，由①，，此时，焦点在x轴上，所以曲线的焦点不可能在y轴上，错误；
由②可知，③正确；
由②可知，，④错误.
故选：B.
4．（2022·全国·高二课时练习）在矩形中，，，把边AB分成n等份，在的延长线上，以的n分之一为单位长度连续取点.过边AB上各分点和点作直线，过延长线上的对应分点和点A作直线，这两条直线的交点为P，如图建立平面直角坐标系，则点P满足的方程可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设，结合题意找出与的关系式，即可求解.
【详解】设，则，，根据题意，易得直线，直线.
由，令，得，因此边AB上各分点坐标为，
由，令，得，因此延长线上的对应分点坐标为，
结合题意，可知 ，化简得.
因此点P满足的方程为：.
故选：C.
二、多选题
5．（2022·福建泉州·高二期末）已知曲线，分别为C的左、右焦点，点P在C上，且是直角三角形，下列判断正确的是（ ）
A．曲线C的焦距为
B．若满足条件的点P有且只有4个，则m的取值范围是且
C．若满足条件的点P有且只有6个，则
D．若满足条件的点P有且只有8个，则m的取值范围是
【答案】AC
【分析】依次对所给选项利用数形结合的思想进行判断即可.
【详解】A.当C表示椭圆时，因为，所以C的焦点在x轴上，且，
所以，即，所以焦距为；
当C表示双曲线时，因为，即，所以C的焦点在x轴上，
所以，即，所以焦距为；故A正确；
B.若满足条件的点P有且只有4个，则C表示椭圆，如图1，以为直径的圆O与C没有公共点，
所以，即，所以m的取值范围是，故B错误；
C.若满足条件的点P有且只有6个，则C表示椭圆，如图2，以为直径的圆O与C有2个公共点，
所以，即，所以m的取值范围是，故C正确；
D.若满足条件的点P有且只有8个，则当C表示椭圆时，如图3，以为直径的圆O与C有4个公共点，
所以，即，所以m的取值范围是；
当C表示双曲线时，如图4，以为直径的圆O与C恒有8个公共点，
所以，综上m的取值范围是或；故D错误.
故选：AC
6．（2021·江苏·高二单元测试）双曲线C：的左、右焦点分别为、以为直径的圆O与C在第一象限交于P点过作轴与C在第四象限交于Q，下列说法正确的是（ ）
A．的面积为8
B．的内切圆圆心I的横坐标为4
C．直线PQ过原点O
D．过Q直线交圆O于M、N两点，则为定值
【答案】ABD
【分析】A. 利用和双曲线的定义，联立求得判断；B.利用内切圆的性质和双曲线的定义求解判断；C.分别求得点P，Q的坐标，利用斜率判断P，Q，O是否共线；D.由，结合韦达定理求解判断.
【详解】解：由题可知，
即以为直径的圆O的方程为：．
由题可知，又，
，
，
式平方可得：．
，故A正确；
的内切圆圆心I，过I作于C，
于A，于B，
即A，B，C是内切圆于三角形三边的切点，
即，．
设C的横坐标为又．
，
，
故B正确；
由条件可得过作轴与C在第四象限的交点．
由和联立可得．
则可得，
，
则可知，即Q，O，P三点不共线，也就是直线QP不过原点，故C错误；
设过Q直线方程为：，k存在且不为0．
设．
．
．
联立消去y化简整理可得：
．
．
．
即是定值，故D正确．
故选：ABD．
7．（2021·江苏·高二单元测试）在中，，为的中点，且，则下列说法中正确的是（ ）
A．动点的轨迹是双曲线 B．动点的轨迹关于点对称
C．是钝角三角形 D．面积的最大值为
【答案】BD
【分析】由联想到双曲线的定义，可以考虑以两点作为焦点，为原点作图，设=，此时点在以为圆心，为半径的圆上，由，知点在双曲线上，由图逐项判断即可．
【详解】以为原点，为轴建立直角坐标系．
设=，此时点在以为圆心，为半径的动圆上．
由，知点在以为焦点，的双曲线上且．
对点有，，从而，当时，最大，故，，故正确；
时，得到另一个点，此时为直角三角形，故错误；
∵非定值，∴不以双曲线为轨迹，故错误；
∵，∴一定有关于的对称点关于原点对称，故正确．
故选：BD．
【点睛】本题考查双曲线的定义以及画图作图，关键点在得到点在以为焦点，的双曲线上且．
三、填空题
8．（2022·全国·高二课时练习）已知定圆，点A是圆M所在平面内一定点，点P是圆M上的动点，若线段PA的中垂线交直线PM于点Q，则点Q的轨迹：①椭圆；②双曲线；③抛物线；④圆；⑤直线；⑥一个点．其中所有可能的结果有______个．
【答案】4
【分析】根据给定条件，按点A在圆外、圆内、圆心、圆上并结合圆锥曲线的定义及圆的性质进行分析，判断作答.
【详解】当点A在圆M外时，连接QA，因点Q在线段PA的中垂线上，如图，
则，有，
因此点Q的轨迹是以点M，A为两焦点，实轴长为4的双曲线；
当点A在圆M内（除圆心M外）时，连接QA，因点Q在线段PA的中垂线上，如图，
则，有，
因此点Q的轨迹是以点M，A为两焦点，长轴长为4的椭圆；
当点A与圆心M重合时，有PM与PA重合，则线段PA的中垂线与PM交点Q是线段PM中点，即，
因此点Q的轨迹是以点M为圆心，2为半径的圆；
当点A在圆M上时，圆M上点P与A不重合，弦PA的中垂线过圆心M，即线段PA的中垂线与PM交点Q是点M，
因此点Q的轨迹是点M，
所以所有可能的结果有4个.
故答案为：4
9．（2022·全国·高二课时练习）已知点P在双曲线C：上，、是双曲线C的左右焦点，若的面积为20，则下列说法中正确的是______.（填序号）
①点P到x轴的距离为；②；③为钝角三角形；④.
【答案】②③
【分析】根据双曲线的方程、定义与性质，结合三角形的面积求出P的坐标，结合两点的距离公式、斜率公式以及余弦定理，对选项逐一判断即可.
【详解】由已知
因为点P在双曲线上，、是双曲线C的左、右焦点，的面积为20，
所以，所以，.
对于①，点P到x轴的距离为4，故①错误.
对于②，由对称性，不妨设.因为，，
所以，即②正确.
对于③，由对称性，不妨设，由双曲线的定义有，
结合，解得，.
所以在中，由余弦定理得，
所以为钝角，所以③正确.
对于④，由对称性，不妨设，由③的判断过程知，，，
则，
所以，所以，所以④错误.
故答案为：②③
10．（2022·全国·高二课时练习）已知双曲线的左、右焦点为，过的直线交双曲线右支于，若，且，则______.
【答案】
【分析】由向量数量积可知，设，结合双曲线定义可表示出，由可求得，由此可得，利用勾股定理，结合双曲线的关系可构造方程求得结果.
【详解】，，
设，由得：，，
由双曲线定义知：，，
由得：，解得：，
，，又，
由得：，，.
故答案为：.
四、解答题
11．（2022·全国·高二课时练习）已知圆锥曲线C的方程为．
(1)分别求出方程表示椭圆和双曲线的条件；
(2)若双曲线与直线有公共点且实轴长最长，求此双曲线的方程．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）根据椭圆与双曲线的性质即可求解；
（2）根据直线与双曲线的交点个数分两类讨论，可求出的范围，从而得出实轴取最大值时的值.
（1）
当且仅当时，方程表示椭圆；
当且仅当时，方程表示双曲线．
（2）
联立得：
①当即时，公共点的坐标为，符合题意；
②当 解得或．
由①②得k的取值范围为:．实轴长，
所以，当且仅当k＝6时，等号成立．
因此当k＝6时，双曲线实轴长最长，
此时双曲线的方程为．
12．（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆和双曲线有共同的焦点、，P是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为、，求的最大值．
【答案】．
【分析】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，根据椭圆及双曲线的定义得，，可解出，结合，，根据余弦定理列式，可得方程，即，最后根据均值不等式即可讨论最大值的成立情况
【详解】不妨设、分别为左、右焦点，P为第一象限的点．
如图，设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，
则根据椭圆及双曲线的定义知，，所以，．
设，在中，，
由余弦定理得，，
化简得，即，所以，
所以，当且仅当时，等号成立．可解得，，
所以的最大值为．
13．（2021·福建省龙岩第一中学高二阶段练习）已知点，，，且.
(1)求点P的轨迹方程C；
(2)若点，过点且斜率为的直线交C于A，B（异于点Q）两点，记直线AQ，BQ的斜率分别为，，证明：存在，满足.
【答案】(1)
(2)存在，证明见详解
【分析】（1）利用双曲线的定义即可求解.
（2）设出直线：，将直线方程与曲线方程联立，利用韦达定理代入求解即可证明.
(1)
由题意可得点P的轨迹为双曲线的右支，
且，所以，
所以点P的轨迹方程C为.
(2)
存在，满足，
设直线：，
则，消去可得
，
，解得，
设，
则，
因为点，则
，
所以存在，满足.
14．（2021·全国·高二专题练习）已知动圆与圆和圆都外切．
（1）证明动圆圆心M的轨迹C是双曲线的一支，并求其方程；
（2）若直线AB与轨迹C交于A，B两点．，记直线AQ和BQ的斜率分别为，，且，于点P．证明：存在点N，使得为定值．
【答案】（1）证明见解析，()；（2）证明见解析.
【分析】（1）设，易得且，利用两点距离的坐标公式列方程，化简整理即可得M的轨迹为双曲线C的一支，写出方程即可.
（2）令直线为且，，联立直线与双曲线并应用韦达定理得、、、，结合求出参数，则可知直线过定点，根据易知在以为直径的圆上，即可证结论.
【详解】（1）设动圆圆心，则由题意知：且，
∴，则，
两边平方并整理得：，
两边平方并整理得：，即，.
∴动圆圆心M的轨迹C是双曲线的一支，且方程为，.
（2）若令直线为且，，
联立直线与曲线得：，
，则
由，即，
∴，可得.
∴为，过定点，又于点P，故在以为直径的圆上，
∴存在使，为定值.
【点睛】关键点点睛：第二问，设直线及，联立双曲线应用韦达定理求、、、，结合求参数，进而确定的轨迹为圆.
15．（2022·上海·华师大二附中高二期末）曲线与曲线在第一象限的交点为.曲线是()和()组成的封闭图形.曲线与轴的左交点为 右交点为.
（1）设曲线与曲线具有相同的一个焦点，求线段的方程；
（2）在（1）的条件下，曲线上存在多少个点，使得，请说明理由.
（3）设过原点的直线与以为圆心的圆相切，其中圆的半径小于1，切点为.直线与曲线在第一象限的两个交点为..当对任意直线恒成立，求的值.
【答案】（1）或；（2）一共2个，理由见解析；（3）答案见解析.
【分析】（1）先求曲线的焦点，再求点的坐标，分焦点为左焦点或右焦点，求线段的方程；（2）分点在双曲线或是椭圆的曲线上，结合条件，说明点的个数；（3）首先设出直线和圆的方程，利用直线与圆相切，以及直线与曲线相交，分别表示，并计算得到的值.
【详解】（1）两个曲线相同的焦点，，解得：，
即双曲线方程是，椭圆方程是，焦点坐标是,
联立两个曲线，得，，即，
当焦点是右焦点时，
线段的方程
当焦点时左焦点时，
，，线段的方程
（2），
假设点在曲线上
单调递增
∴
所以点不可能在曲线上
所以点只可能在曲线上，根据得
可以得到
当左焦点，，同样这样的使得不存在
所以这样的点一共2个
（3）设直线方程，圆方程为
直线与圆相切，所以
，
，
根据得到
补充说明：由于直线的曲线有两个交点，受参数的影响，蕴含着如下关系，
∵，
当，存在，否则不存在
这里可以不需讨论，因为题目前假定直线与曲线有两个交点的大前提，当共焦点时
存在不存在.
【点睛】关键点点睛：本题考查直线与椭圆和双曲线相交的综合应用，本题的关键是曲线由椭圆和双曲线构成，所以研究曲线上的点时，需分两种情况研究问题.3.2.1双曲线及其标准方程（分层作业）（夯实基础+能力提升）
【夯实基础】
一、单选题
1．（2022·全国·高二单元测试）在一个平面上，设、是两个定点，P是一个动点，且满足P到的距离与P到的距离差为，即，则动点P的轨迹是（ ）．
A．一条线段 B．一条射线 C．一个椭圆 D．双曲线的一支
2．（2022·全国·高二课时练习）已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点与，的距离差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高二课时练习）设，是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的面积等于（ ）
A．24 B． C． D．30
4．（2021·浙江·诸暨中学高二期中）是双曲线右支上一点, 直线是双曲线的一条渐近线.在上的射影为,是双曲线的左焦点, 则的最小值为
A．1 B． C． D．
5．（2022·全国·高二课时练习）若方程表示双曲线，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·全国·高二课时练习）若圆与轴的两个交点都在双曲线上，且A、B两点恰好将此双曲线的焦距三等分，则此双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·全国·高二课时练习）若动圆与圆和圆都外切，则动圆圆心的轨迹为（ ）
A．双曲线的一支 B．圆
C．抛物线 D．双曲线
8．（2022·全国·高二课时练习）经过点和的双曲线的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．（2022·重庆·巫山县官渡中学高二期末）若方程所表示的曲线为，则下面四个命题中正确的是（ ）
A．若为椭圆，则 B．若为双曲线，则或
C．曲线可能是圆 D．若为椭圆，且长轴在轴上，则
10．（2022·全国·高二单元测试）对任意的，方程所表示的曲线可能为（ ）
A．双曲线 B．抛物线 C．椭圆 D．圆
11．（2022·河北保定·高二期末）已知椭圆的右焦点是双曲线的右顶点，点是双曲线第一象限上一点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．双曲线的渐近线方程为
C．椭圆的左顶点是双曲线的左焦点
D．若椭圆的左、右焦点分别为、，则直线，的斜率之积为定值
三、填空题
12．（2022·全国·高二课时练习）若是双曲线上一点，则到两个焦点的距离之差为______.
13．（2022·全国·高二课时练习）已知平面内两定点，，动点M满足，则点M的轨迹方程是___________.
14．（2022·全国·高二单元测试）如果双曲线上的一点P到焦点的距离等于16，那么点P到另一个焦点的距离是______．
15．（2022·全国·高二课时练习）双曲线的左、右焦点分别为、，点P在双曲线上，若，则______．
16．（2021·全国·高二课时练习）已知双曲线的中心在原点，两个焦点F1，F2的坐标分别为(，0)和(－，0)，点P在双曲线上，且PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为1，则双曲线的方程为__________．
17．（2021·全国·高二单元测试）设P是双曲线上一点，M，N分别是两圆：和上的点，则的最大值为_____．
18．（2022·全国·高二课时练习）若方程表示双曲线，则实数m的取值范围是___________.
19．（2022·全国·高二课时练习）若三个点，，中恰有两个点在双曲线上，则___________.
20．（2022·全国·高二课时练习）设双曲线的两个焦点分别为、，P为双曲线上一点，若，则______．
21．（2022·全国·高二课时练习）已知曲线C：，则下列命题中正确的是______.
①若，则曲线C表示双曲线；②曲线C可能表示一个圆；③若曲线C是椭圆，则其长轴长为.
22．（2022·全国·高二课时练习）若双曲线的一个焦点坐标为，且经过点（－5，2），则双曲线的标准方程为______.
23．（2022·全国·高二课时练习）方程的图像是双曲线，则k的取值范围是______．
24．（2022·全国·高二课时练习）如图，为双曲线的左焦点，双曲线上的点与关于轴对称，则______．
四、解答题
25．（2022·全国·高二课时练习）已知1，当k为何值时：
(1)方程表示双曲线；
(2)表示焦点在x轴上的双曲线；
(3)表示焦点在y轴上的双曲线．
26．（2022·全国·高二课时练习）求焦点在x轴上，且经过点与的双曲线的标准方程．
27．（2022·全国·高二课时练习）在△ABC中，B(－3，0)，C(3，0)，直线AB，AC的斜率之积为求顶点A的轨迹方程．
28．（2022·江苏·高二课时练习）在△ABC中，B(－6，0)，C(6，0)，直线AB，AC的斜率乘积为，求顶点A的轨迹．
【能力提升】
一、单选题
1．（2022·全国·高二课时练习）如图，、是双曲线：与椭圆的公共焦点，点A是、在第一象限的公共点，设的方程为，则下列命题中错误的是（ ）．
A．
B．的内切圆与x轴相切于点（1，0）
C．若，则的离心率为
D．若，则椭圆方程为
2．（2022·全国·高二课时练习）双曲线的两焦点为、，点P在双曲线上，直线、倾斜角之差为，则面积为（ ）
A． B． C．32 D．42
3．（2021·天津·耀华中学高二期中）已知曲线，关于曲线的四个结论：
①若曲线表示双曲线，则；②曲线的焦点可以在x轴上，也可以在y轴上；
③若曲线表示椭圆，则；④曲线可能表示圆.
其中所有正确的编号为（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．③④
4．（2022·全国·高二课时练习）在矩形中，，，把边AB分成n等份，在的延长线上，以的n分之一为单位长度连续取点.过边AB上各分点和点作直线，过延长线上的对应分点和点A作直线，这两条直线的交点为P，如图建立平面直角坐标系，则点P满足的方程可能是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
5．（2022·福建泉州·高二期末）已知曲线，分别为C的左、右焦点，点P在C上，且是直角三角形，下列判断正确的是（ ）
A．曲线C的焦距为
B．若满足条件的点P有且只有4个，则m的取值范围是且
C．若满足条件的点P有且只有6个，则
D．若满足条件的点P有且只有8个，则m的取值范围是
6．（2021·江苏·高二单元测试）双曲线C：的左、右焦点分别为、以为直径的圆O与C在第一象限交于P点过作轴与C在第四象限交于Q，下列说法正确的是（ ）
A．的面积为8
B．的内切圆圆心I的横坐标为4
C．直线PQ过原点O
D．过Q直线交圆O于M、N两点，则为定值
7．（2021·江苏·高二单元测试）在中，，为的中点，且，则下列说法中正确的是（ ）
A．动点的轨迹是双曲线 B．动点的轨迹关于点对称
C．是钝角三角形 D．面积的最大值为
三、填空题
8．（2022·全国·高二课时练习）已知定圆，点A是圆M所在平面内一定点，点P是圆M上的动点，若线段PA的中垂线交直线PM于点Q，则点Q的轨迹：①椭圆；②双曲线；③抛物线；④圆；⑤直线；⑥一个点．其中所有可能的结果有______个．
9．（2022·全国·高二课时练习）已知点P在双曲线C：上，、是双曲线C的左右焦点，若的面积为20，则下列说法中正确的是______.（填序号）
①点P到x轴的距离为；②；③为钝角三角形；④.
10．（2022·全国·高二课时练习）已知双曲线的左、右焦点为，过的直线交双曲线右支于，若，且，则______.
四、解答题
11．（2022·全国·高二课时练习）已知圆锥曲线C的方程为．
(1)分别求出方程表示椭圆和双曲线的条件；
(2)若双曲线与直线有公共点且实轴长最长，求此双曲线的方程．
12．（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆和双曲线有共同的焦点、，P是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为、，求的最大值．
13．（2021·福建省龙岩第一中学高二阶段练习）已知点，，，且.
(1)求点P的轨迹方程C；
(2)若点，过点且斜率为的直线交C于A，B（异于点Q）两点，记直线AQ，BQ的斜率分别为，，证明：存在，满足.
14．（2021·全国·高二专题练习）已知动圆与圆和圆都外切．
（1）证明动圆圆心M的轨迹C是双曲线的一支，并求其方程；
（2）若直线AB与轨迹C交于A，B两点．，记直线AQ和BQ的斜率分别为，，且，于点P．证明：存在点N，使得为定值．
15．（2022·上海·华师大二附中高二期末）曲线与曲线在第一象限的交点为.曲线是()和()组成的封闭图形.曲线与轴的左交点为 右交点为.
（1）设曲线与曲线具有相同的一个焦点，求线段的方程；
（2）在（1）的条件下，曲线上存在多少个点，使得，请说明理由.
（3）设过原点的直线与以为圆心的圆相切，其中圆的半径小于1，切点为.直线与曲线在第一象限的两个交点为..当对任意直线恒成立，求的值.
