3.3.1 抛物线及其标准方程（分层作业）（夯实基础+能力提升）
【夯实基础】
一、单选题
1．（2022·全国·高二课时练习）抛物线的准线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先将抛物线方程化成标准式，即可解出．
【详解】可化为，所以抛物线的准线方程为．
故选：B．
2．（2022·全国·高二课时练习）若点的坐标为，是抛物线的焦点，点为抛物线上的动点，则取得最小值的的坐标为：（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据抛物线的定义进行求解即可.
【详解】设抛物线的准线方程为：，，过作，垂足为，
所以，要想取得最小值，只需在一条直线上即可，此时，的坐标为，
故选：B
3．（2022·全国·高二课时练习）设动圆圆心为，该动圆过定点，且与直线相切（），圆心轨迹为曲线.过点的直线与轴垂直，若直线与曲线交于，两点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据抛物线的定义求曲线的轨迹，再由定义可求解.
【详解】由题意，设，因为，
根据抛物线的定义可知，曲线的轨迹为，
再根据直线与轴垂直且直线与曲线交于，两点，
从而可知.
故选：D
4．（2022·全国·高二课时练习）已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标为（1，0），则p=（ ）
A．2 B．3 C．5 D．7
【答案】A
【分析】根据抛物线的焦点坐标求得的值.
【详解】由于抛物线的焦点为，
所以.
故选：A
5．（2022·全国·高二课时练习）已知抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为，则抛物线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由抛物线知识得出准线方程，再由点到焦点的距离等于其到准线的距离求出，从而得出方程.
【详解】由题意知，则准线为，
点到焦点的距离等于其到准线的距离，
即，∴，则
故选：B.
6．（2022·湖南衡阳·高二期末）抛物线的焦点到其准线的距离为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】C
【分析】将抛物线方程化为标准式，即可得到，再根据的几何意义得解；
【详解】解：抛物线，即，则，所以，
所以抛物线的焦点到其准线的距离为.
故选：C
7．（2022·全国·高二课时练习）苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑（如图1所示），“门”的内侧曲线呈抛物线形．图2是“东方之门”的示意图，已知，，点到直线的距离为，则此抛物线顶端到的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】建立直角坐标系，待定系数法求抛物线方程，即可求解到的距离.
【详解】以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为，由题意设，，，则，解得，所以此抛物线顶端到的距离为．
故选:B．
二、多选题
8．（2021·全国·高二课时练习）（多选题）对抛物线，下列描述不正确的是( )
A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为
C．开口向右，焦点为 D．开口向右，焦点为
【答案】BCD
【解析】根据抛物线方程，直接确定开口方向和焦点，即可得出结果.
【详解】因为抛物线的标准方程为，所以，，开口向上，
因此抛物线的焦点为，准线为.故A正确，BCD都错.
故选：BCD.
9．（2022·全国·高二课时练习）（多选）已知抛物线的焦点到准线的距离为，直线过点且与抛物线交于，两点，若是线段的中点，则（ ）
A． B．抛物线的方程为
C．直线的方程为 D．
【答案】ACD
【分析】由焦点到准线的距离可求得，则可判断A正确，B错误；利用斜率坐标计算公式几何中点坐标计算公式可求得直线的斜率，从而求得的方程，可判断C正确；，所以从而判断D正确.
【详解】因为焦点到准线的距离为4，根据抛物线的定义可知，故A正确
故抛物线的方程为，焦点，故B错误
则，．
又是的中点，则，所以，
即，所以直线的方程为．故C正确
由，
得．故D正确
故选：ACD．
10．（2022·全国·高二课时练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：的焦点为，准线为．设与轴的交点为，为抛物线上异于的任意一点，在上的射影为，的外角平分线交轴于点，过作交于，过作交线段的延长线于，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】根据抛物线的定义以及平面几何知识即可判断各选项的真假．
【详解】对A，由抛物线的定义可知，故A正确；
对B，因为是的外角平分线，所以，又，所以，所以，所以，故B正确；
对C，若，则有，从而有，所以，此时为定点，与为抛物线上异于的任意一点矛盾，故C不正确；
对D，因为四边形是矩形，所以，又，所以，故D正确．
故选：ABD．
三、填空题
11．（2022·浙江·高二期末）抛物线的焦点坐标是______.
【答案】##
【分析】根据抛物线的标准方程进行求解即可.
【详解】由，所以该抛物线的焦点在纵轴上，因此焦点的坐标为：，
故答案为：
12．（2022·全国·高二课时练习）已知抛物线：，的焦点为，点在上，且，则点的横坐标是______．
【答案】5
【分析】利用焦半径公式即可求解.
【详解】抛物线：的焦点，准线方程为，设点的横坐标为，则有，所以．
故答案为：5
13．（2022·全国·高二）已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上，为坐标原点，若的面积为2，则 到直线的距离为______.
【答案】##0.8
【分析】根据三角形面积公式，即可求出点，然后抛物线定义，求出长度，根据等面积法即可求出.
【详解】，设，因为，所以，不妨取，则,,则，故 到距离为.
故答案为：
14．（2022·全国·高二单元测试）若抛物线的焦点是，准线方程为，则抛物线的标准方程是______．
【答案】
【分析】根据抛物线的知识求得正确答案.
【详解】由于抛物线的焦点是，准线方程为，
所以抛物线开口向右，，
所以抛物线的标准方程为.
故答案为：
15．（2022·福建泉州·高二期末）已知抛物线上有一点与焦点之间的距离为3，则___________.
【答案】2
【分析】根据抛物线定义可得，运算求解．
【详解】由题意可得：准线为，故，则
故答案为：2．
16．（2021·全国·高二单元测试）已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，抛物线上的点到焦点的距离为4，则实数的值为______．
【答案】
【分析】根据抛物线的定义，设抛物线的标准方程为，根据定义有，求得，可得抛物线方程为，将点代入即可得解.
【详解】由题可设抛物线的标准方程为，
由点到焦点的距离为4，得，
∴，∴．
将点代入，得．
故答案为：.
17．（2022·安徽省皖西中学高二期末）已知抛物线上一点M（位于第一象限）到焦点F的距离等于，则直线的斜率为_______________．
【答案】
【分析】利用抛物线的定义可M点的横坐标，代入抛物线方程求出M的坐标，再利用斜率公式求解即可.
【详解】因为抛物线上一点M与焦点F的距离，
所以，
所以，进而有或（舍去）
所以点M的坐标为，
所以直线MF的斜率为.
故答案为：.
18．（2022·全国·高二课时练习）已知抛物线C：的焦点为F，是C上一点，，则______．
【答案】2
【分析】由抛物线方程求得其准线方程，根据抛物线的定义列出关于的方程求解．
【详解】由抛物线C：可得p＝1，，准线方程．
因为是C上一点，，，所以，解得．
故答案为：2.
19．（2022·全国·高二课时练习）若是抛物线上一点，是抛物线的焦点，以为始边、为终边的角，则______．
【答案】
【分析】首先求出抛物线的焦点坐标与准线方程，设的坐标，利用锐角三角函数求出，再根据抛物线的定义计算可得.
【详解】解：由抛物线的方程，可得准线方程为，焦点坐标为，
设的坐标，且，
又，
，整理得，解得或（舍去），
所以由抛物线的定义可得．
故答案为：
20．（2022·全国·高二课时练习）已知抛物线C：的焦点为F，直线l与抛物线C交于A、B两点，若AB的中点的纵坐标为5，则______．
【答案】13
【分析】根据抛物线方程求出其准线方程，再结合抛物线定义求解作答.
【详解】抛物线C：的准线方程为，设，，
由抛物线定义得：，，因AB的中点的纵坐标为5，则有，
所以．
故答案为：13
21．（2022·全国·高二课时练习）若点满足方程，则点P的轨迹是______．
【答案】抛物线
【分析】根据轨迹方程所代表的意义判断点的轨迹满足曲线的定义.
【详解】由得，
等式左边表示点和点的距离，等式的右边表示点到直线的距离.
整个等式表示的意义是点到点的距离和到直线的距离相等，
其轨迹为抛物线.
故答案为：抛物线
四、解答题
22．（2022·全国·高二课时练习）若M是抛物线上一动点，点，设是点M到准线的距离，要使最小，求点M的坐标．
【答案】
【分析】由抛物线的定义可求解.
【详解】由题意，可知抛物线的焦点，
由抛物线的定义有,
所以最小值为，此时点为直线与抛物线的交点，
而直线的方程求得为：，
所以有，解得或（舍），
所以
23．（2022·全国·高二课时练习）已知圆A：(x＋2)2＋y2＝1与定直线l：x＝1，且动圆P和圆A外切并与直线l相切，求动圆的圆心P的轨迹方程．
【答案】y2＝－8x.
【分析】由题设易知P到圆心A的距离和到定直线x＝2的距离相等，根据抛物线定义写出轨迹方程即可.
【详解】由题意知：点P到圆心A(－2, 0)的距离和到定直线x＝2的距离相等，
所以点P的轨迹为抛物线，且焦点为A，准线为x＝2，
故点P的轨迹方程为y2＝－8x.
24．（2022·全国·高二课时练习）在平面直角坐标系xOy中，A、B分别为直线x＋y＝2与x、y轴的交点，C为AB的中点．若抛物线过点C，求焦点F到直线AB的距离．
【答案】
【分析】求出，代入抛物线方程，求出，进而求出焦点坐标，求出焦点到直线的距离.
【详解】由已知得，，，
将代入抛物线方程，解得：，
抛物线方程为，
于是焦点，
∴点F到直线AB的距离为．
25．（2022·全国·高二课时练习）一条抛物线的焦点是，其准线方程是，求抛物线的顶点坐标．
【答案】
【分析】设过与准线垂直的直线为，再将点的坐标代入求出，然后两直线方程联立求出交点的坐标，由抛物线的定义可知的中点就是抛物线的顶点，从而可求出其坐标.
【详解】设过与准线垂直的直线为，
因为点在直线上，
所以，得，
所以直线方程为，
设直线与准线交点，
由，得，即，
因为顶点为的中点，
所以顶点坐标为，
故答案为：
26．（2022·全国·高二课时练习）分别根据下列条件，求抛物线的标准方程．
(1)准线方程是；
(2)抛物线的焦点是双曲线的左顶点；
(3)抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，.
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）根据准线方程，确定抛物线的开口和值，直接代入求解；
（2）根据双曲线的左顶点，即可求得抛物线的焦点坐标，直接求解；
（3）首先设抛物线方程，再根据焦半径公式，代入求解.
（1）
准线方程为，所以抛物线方程开口向上，且，
得，所以抛物线方程是；
（2）
双曲线方程，左顶点为，
所以抛物线的焦点为，抛物线的开口向左，，，
所以抛物线方程是；
（3）
设抛物线方程，，当时，，
，即，解得：或，
抛物线方程为或；
设抛物线方程，，当时，，
，解得：或，
抛物线方程为或；
综上可知，抛物线方程为或.
27．（2022·全国·高二单元测试）已知抛物线的焦点为 A ，以为圆心，长为半径画圆，在 x 轴上方交抛物线于 M、N 不同的两点，点 P 是 MN 的中点．求：
(1)的取值范围；
(2)的值．
【答案】(1)；
(2)8.
【分析】（1）由题可得圆的方程为，然后联立抛物线与圆的方程，利用判别式，即得；
（2）利用韦达定理及抛物线的定义即得．
（1）
由题意知抛物线的焦点坐标为，又，
则，圆的方程为，
将代入上式，得，
∴，
解得，
即的取值范围为；
（2）
∵为焦点，设，，
根据（1）中的，
得，
∴.
【能力提升】
一、单选题
1．（2022·全国·高二单元测试）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的焦点为F，若A、B为抛物线上两点，且线段AB的垂直平分线交x轴于点M．当，时，抛物线的方程为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据焦半径公式可得，结合点斜式与两直线垂直的关系可得，进而联立求解可得.
【详解】设，，．①
中垂线方程为，令有，解得．②
由①②解得．
故选：D
2．（2022·湖南·高二期末）已知圆C经过点，且与直线相切，则其圆心到直线距离的最小值为（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】D
【分析】利用已知可推出圆心C的轨迹为抛物线，利用抛物线的几何性质求解即可.
【详解】解：依题意，设圆C的圆心，动点C到点P的距离等于到直线的距离，
根据抛物线的定义可得圆心C的轨迹方程为，
设圆心C到直线距离为d，，
当时，，
故选：D．
3．（2022·云南玉溪·高二期末）直线与抛物线交于，两点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】焦点弦长度等于.
【详解】抛物线的焦点为在直线上，故是抛物线的焦点弦，则
由得：，
所以，，
所以，
故选：D.
二、多选题
4．（2022·湖南·周南中学高二开学考试）已知曲线C：，则（ ）
A．当m=n=2时，C为圆 B．当m=n=1时，C为抛物线
C．C不可能为椭圆 D．C可能为双曲线
【答案】ABD
【分析】根据圆的方程和圆锥曲线的方程的结构特征即可判断答案.
【详解】当时，C为圆，A正确；
当时，C为抛物线，B正确；
当，且时，C为椭圆，C错误；
当，时，C为双曲线，D正确.
故选：ABD.
三、填空题
5．（2022·全国·高二期末）一抛物线型的拱桥如图所示：桥的跨度米，拱高米，在建造时每隔4米用一个柱子支撑，则支柱的长度______米．
【答案】3.84.##
【分析】建立直角坐标系.利用待定系数法求出抛物线的标准方程，求出点的坐标，即可求出支柱的长度.
【详解】建立如图所示的直角坐标系,使抛物线的焦点在y轴上.可设抛物线的标准方程为：.
因为桥的跨度米，拱高米，所以,
代入标准方程得：，解得：，所以抛物线的标准方程为
把点的横坐标-2代入,得，解得：，
支柱的长度为(米).即支柱的长度为3.84(米).
故答案为：3.84.
6．（2021·湖南·益阳平高学校高二阶段练习）抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，M是C上在第一象限内的一点，点N在l上，已知MF⊥NF，|MF|＝5，则直线MN与y轴交点P的坐标为_____．
【答案】
【分析】由抛物线的方程可得焦点及准线方程，设的坐标，由和抛物线的性质可得的坐标，由题意设的坐标，由，可得数量积，进而求出的坐标，设的坐标，由，，三点共线，可得向量共线，可得的坐标．
【详解】解：由抛物线的方程可得焦点的坐标，准线方程为，
设，，因为，
由抛物线的性质可得，解得，
代入抛物线的方程及在第一象限可得：，即，
因为在准线上，设，
因为，所以，
即，，，解得：，
所以，
由题意设，由，，三点共线可得：，
而，，
所以，解得：，
故的坐标为．
故答案为：．
7．（2022·全国·高二课时练习）若过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，且直线l的倾斜角，点A在x轴上方，则的取值范围是______．
【答案】
【分析】根据给定条件，利用点A的横坐标及表示，再利用抛物线定义结合的范围求解作答.
【详解】抛物线的焦点，准线方程为，，如图，
设点A的横坐标是，则有，由抛物线定义知，
于是得，而函数在上单调递减，即，
因此，即有，
所以的取值范围是.
故答案为：
四、解答题
8．（2022·全国·高二课时练习）已知抛物线的焦点为F，且焦点F到其准线的距离为，A、B、C为抛物线上相异三点．
(1)求p的值；
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题，结合抛物线性质即可求；
（2）由，在x轴方向上有，又由椭圆定义得，综上即可求
（1）
由抛物线焦点F到其准线的距离为得
（2）
设点、、，
由（1）知．因为，在x轴方向上有，即，
所以．
9．（2022·河北·临城中学高二开学考试）已知抛物线的焦点F到准线的距离为2．
(1)求C的方程．
(2)已知O为坐标原点，直线l与抛物线C交于A，B两点，且，D为直线l上一点，且，证明：存在定点Q，使得为定值．
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】(1)根据抛物线的定义即可求；
(2)由题可知，直线l不与y轴垂直，设直线l的方程为，联立直线方程和抛物线方程，根据韦达定理和求出m与b的关系，即可求出l经过的定点P，根据题意OP中点Q即为所求点﹒
(1)由题意知，p＝2，
∴该抛物线的方程为；
(2)由题可知，直线l不与y轴垂直，设直线l的方程为，，，
由得，，
∴，．
∵，∴，
又∵，，∴，解得，
∴，得，
∴直线l的方程为，∴直线l过定点．
又，则D在以为直径的圆上，的中点即圆心Q，
故存在，使得．
10．（2022·安徽省皖西中学高二期末）已知抛物线的焦点F到其准线的距离为4．
(1)求p的值；
(2)过焦点F且斜率为1的直线与抛物线交于A，B两点，求．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）利用抛物线方程得到焦点坐标和准线方程，即可得到答案；
（2）通过题意得到焦点坐标，然后得到直线的方程，与抛物线进行联立可得，利用韦达定理可得，即可得到答案
（1）
由抛物线可得焦点，准线方程为，
又因为抛物线的焦点到其准线的距离为，
所以；
（2）
由（1）可得抛物线的方程为，所以焦点，
则直线的方程为设，
联立，整理可得，所以，
由抛物线的性质可得．
11．（2022·全国·高二课时练习）已知动圆过定点，且在y轴上截得的弦长为8．
(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；
(2)已知P为轨迹C上的一动点，求点P到直线和y轴的距离之和的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设圆心的坐标为，求出半径，再根据弦长结合勾股定理列出等式，化简即可；
（2）画出图形，由图可知的最小值为F到直线的距离，再根据点到直线的距离公式即可得解.
（1）
解：设圆心的坐标为，
则半径，
又因动圆在y轴上截得的弦长为8，
所以，
化简得，
即动圆圆心的轨迹C的方程为；
（2）
解：如图，设轨迹C的焦点为F，点P到直线的距离为，到y轴的距离为，F到直线的距离为，
由抛物线的定义，可知，
所以，
由图可知的最小值为F到直线的距离，
所以，
所以的最小值为．
12．（2022·全国·高二课时练习）已知一个半径为的圆的圆心在抛物线上，该圆经过坐标原点且与C的准线l相切.过抛物线C的焦点F的直线AB交C于A，B两点，过弦AB的中点M作平行于x轴的直线，与直线OA，OB，l分别相交于P，Q，N三点.
(1)求抛物线C的方程；
(2)当时，求直线AB的方程.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）设圆的圆心坐标为，由题意可得，，从而可求出，进而可得抛物线方程，
（2）设直线AB的方程为，代入抛物线方程化简利用根与系数的关系，表示出AB的中点M的坐标，的长度，直线OA和OB的方程，表示出，由列方程求出，从而可求出直线AB的方程.
（1）
设圆的圆心坐标为，可得.
易知抛物线的焦点为，准线方程为，
由题意得，
解得（负值舍去），则抛物线C的方程为.
（2）
由（1）知，设直线AB的方程为，
与抛物线的方程联立，可得，
，，则，，，
则AB的中点M的坐标为，易知，故，
直线OA的方程为，即，直线OB的方程为，即，
令，可得，，
则，
即，解得，
所以直线AB的方程为，
即或.
13．（2022·全国·高二期中）已知点，直线，圆．
(1)若动点M到点F的距离比它到直线l的距离小1，试求点M的轨迹E的方程；
(2)过轨迹E上一点P作圆C的切线，切点为A，B，要使四边形PACB的面积S最小，求P点坐标及S的最小值．
【答案】(1)
(2)，点P
【分析】（1）设，根据动点M到点F的距离比它到直线l的距离小1，由求解；
（2）设，由，，得到，再结合求解.
(1)
解：设，
因为动点M到点F的距离比它到直线l的距离小1，
所以，
当时，，
当时，，则与矛盾，
故点M的轨迹E的方程是；
(2)
设，则，
又，所以，
又，
要使四边形PACB的面积S最小，则最小，
，
，
，
当时，取得最小值8，此时，
所以，点P.
14．（2022·云南昆明·高二期中）已知一个边长为的等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上.
(1)求抛物线的方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线和，交抛物线于、两点，交抛物线于，两点，若线段的中点为，线段的中点为，证明：直线过定点．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求出等边三角形的顶点坐标，代入抛物线方程，求出，进而求出抛物线方程；
（2）设出直线方程为，联立抛物线方程，求出两根之和，两根之积，进而求出线段的中点的坐标，同理得到线段的中点的坐标，从而求出直线的方程，求出直线过的定点坐标.
(1)
由对称性可知等边三角形的顶点在上，
代入得：，解得：，
所以抛物线方程为：；
(2)
由题意知和斜率均存在，，设直线方程为，
则直线方程为，
由联立得：，
设，则，
故，同理得
故直线MN方程为
整理得：，故直线MN过定点3.3.1 抛物线及其标准方程（分层作业）（夯实基础+能力提升）
【夯实基础】
一、单选题
1．（2022·全国·高二课时练习）抛物线的准线方程是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高二课时练习）若点的坐标为，是抛物线的焦点，点为抛物线上的动点，则取得最小值的的坐标为：（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高二课时练习）设动圆圆心为，该动圆过定点，且与直线相切（），圆心轨迹为曲线.过点的直线与轴垂直，若直线与曲线交于，两点，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·高二课时练习）已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标为（1，0），则p=（ ）
A．2 B．3 C．5 D．7
5．（2022·全国·高二课时练习）已知抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为，则抛物线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·湖南衡阳·高二期末）抛物线的焦点到其准线的距离为（ ）
A． B． C．2 D．4
7．（2022·全国·高二课时练习）苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑（如图1所示），“门”的内侧曲线呈抛物线形．图2是“东方之门”的示意图，已知，，点到直线的距离为，则此抛物线顶端到的距离为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
8．（2021·全国·高二课时练习）（多选题）对抛物线，下列描述不正确的是( )
A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为
C．开口向右，焦点为 D．开口向右，焦点为
9．（2022·全国·高二课时练习）（多选）已知抛物线的焦点到准线的距离为，直线过点且与抛物线交于，两点，若是线段的中点，则（ ）
A． B．抛物线的方程为
C．直线的方程为 D．
10．（2022·全国·高二课时练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：的焦点为，准线为．设与轴的交点为，为抛物线上异于的任意一点，在上的射影为，的外角平分线交轴于点，过作交于，过作交线段的延长线于，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
11．（2022·浙江·高二期末）抛物线的焦点坐标是______.
12．（2022·全国·高二课时练习）已知抛物线：，的焦点为，点在上，且，则点的横坐标是______．
13．（2022·全国·高二）已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上，为坐标原点，若的面积为2，则 到直线的距离为______.
14．（2022·全国·高二单元测试）若抛物线的焦点是，准线方程为，则抛物线的标准方程是______．
15．（2022·福建泉州·高二期末）已知抛物线上有一点与焦点之间的距离为3，则___________.
16．（2021·全国·高二单元测试）已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，抛物线上的点到焦点的距离为4，则实数的值为______．
17．（2022·安徽省皖西中学高二期末）已知抛物线上一点M（位于第一象限）到焦点F的距离等于，则直线的斜率为_______________．
18．（2022·全国·高二课时练习）已知抛物线C：的焦点为F，是C上一点，，则______．
19．（2022·全国·高二课时练习）若是抛物线上一点，是抛物线的焦点，以为始边、为终边的角，则______．
20．（2022·全国·高二课时练习）已知抛物线C：的焦点为F，直线l与抛物线C交于A、B两点，若AB的中点的纵坐标为5，则______．
21．（2022·全国·高二课时练习）若点满足方程，则点P的轨迹是______．
四、解答题
22．（2022·全国·高二课时练习）若M是抛物线上一动点，点，设是点M到准线的距离，要使最小，求点M的坐标．
23．（2022·全国·高二课时练习）已知圆A：(x＋2)2＋y2＝1与定直线l：x＝1，且动圆P和圆A外切并与直线l相切，求动圆的圆心P的轨迹方程．
24．（2022·全国·高二课时练习）在平面直角坐标系xOy中，A、B分别为直线x＋y＝2与x、y轴的交点，C为AB的中点．若抛物线过点C，求焦点F到直线AB的距离．
25．（2022·全国·高二课时练习）一条抛物线的焦点是，其准线方程是，求抛物线的顶点坐标．
26．（2022·全国·高二课时练习）分别根据下列条件，求抛物线的标准方程．
(1)准线方程是；
(2)抛物线的焦点是双曲线的左顶点；
(3)抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，.
27．（2022·全国·高二单元测试）已知抛物线的焦点为 A ，以为圆心，长为半径画圆，在 x 轴上方交抛物线于 M、N 不同的两点，点 P 是 MN 的中点．求：
(1)的取值范围；
(2)的值．
【能力提升】
一、单选题
1．（2022·全国·高二单元测试）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的焦点为F，若A、B为抛物线上两点，且线段AB的垂直平分线交x轴于点M．当，时，抛物线的方程为（ ）．
A． B． C． D．
2．（2022·湖南·高二期末）已知圆C经过点，且与直线相切，则其圆心到直线距离的最小值为（ ）
A．3 B．2 C． D．
3．（2022·云南玉溪·高二期末）直线与抛物线交于，两点，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
4．（2022·湖南·周南中学高二开学考试）已知曲线C：，则（ ）
A．当m=n=2时，C为圆 B．当m=n=1时，C为抛物线
C．C不可能为椭圆 D．C可能为双曲线
三、填空题
5．（2022·全国·高二期末）一抛物线型的拱桥如图所示：桥的跨度米，拱高米，在建造时每隔4米用一个柱子支撑，则支柱的长度______米．
6．（2021·湖南·益阳平高学校高二阶段练习）抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，M是C上在第一象限内的一点，点N在l上，已知MF⊥NF，|MF|＝5，则直线MN与y轴交点P的坐标为_____．
7．（2022·全国·高二课时练习）若过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，且直线l的倾斜角，点A在x轴上方，则的取值范围是______．
四、解答题
8．（2022·全国·高二课时练习）已知抛物线的焦点为F，且焦点F到其准线的距离为，A、B、C为抛物线上相异三点．
(1)求p的值；
(2)若，求的值．
9．（2022·河北·临城中学高二开学考试）已知抛物线的焦点F到准线的距离为2．
(1)求C的方程．
(2)已知O为坐标原点，直线l与抛物线C交于A，B两点，且，D为直线l上一点，且，证明：存在定点Q，使得为定值．
10．（2022·安徽省皖西中学高二期末）已知抛物线的焦点F到其准线的距离为4．
(1)求p的值；
(2)过焦点F且斜率为1的直线与抛物线交于A，B两点，求．
11．（2022·全国·高二课时练习）已知动圆过定点，且在y轴上截得的弦长为8．
(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；
(2)已知P为轨迹C上的一动点，求点P到直线和y轴的距离之和的最小值．
12．（2022·全国·高二课时练习）已知一个半径为的圆的圆心在抛物线上，该圆经过坐标原点且与C的准线l相切.过抛物线C的焦点F的直线AB交C于A，B两点，过弦AB的中点M作平行于x轴的直线，与直线OA，OB，l分别相交于P，Q，N三点.
(1)求抛物线C的方程；
(2)当时，求直线AB的方程.
13．（2022·全国·高二期中）已知点，直线，圆．
(1)若动点M到点F的距离比它到直线l的距离小1，试求点M的轨迹E的方程；
(2)过轨迹E上一点P作圆C的切线，切点为A，B，要使四边形PACB的面积S最小，求P点坐标及S的最小值．
14．（2022·云南昆明·高二期中）已知一个边长为的等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上.
(1)求抛物线的方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线和，交抛物线于、两点，交抛物线于，两点，若线段的中点为，线段的中点为，证明：直线过定点．
