3.1.1 椭圆及其标准方程（分层作业）（夯实基础+能力提升）
【夯实基础】
一、单选题
1．（2022·全国·高二课时练习）已知是椭圆上的一个点，、是椭圆的两个焦点，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高二专题练习）以，为焦点，且经过点的椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆的两个焦点为，，过的直线交椭圆于，两点，若的周长为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·高二专题练习）椭圆的左右焦点分别为，为椭圆上一点，若，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·江苏·高二）已知椭圆C：的一个焦点为（0，-2），则k的值为（ ）
A．5 B．3 C．9 D．25
6．（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆的两个焦点的坐标分别是和，且椭圆经过点，则该椭圆的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆C：的右焦点为，右顶点为A，O为坐标原点，过OA的中点且与坐标轴垂直的直线交椭圆C于M，N两点，若四边形OMAN是正方形，则C的方程为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·安徽·六安外国语高级中学有限公司高二期末）已知点分别是椭圆的左 右焦点,点P在此椭圆上,,则的面积等于
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2022·全国·高二课时练习）已知为3与5的等差中项，为4与16的等比中项，则下列对曲线描述正确的是（ ）
A．曲线可表示为焦点在轴的椭圆
B．曲线可表示为焦距是4的双曲线
C．曲线可表示为离心率是的椭圆
D．曲线可表示为渐近线方程是的双曲线
10．（2022·全国·高二）平面上，动点M满足以下条件，其中M的轨迹为椭圆的是（ ）
A．M到两定点，的距离之和为4
B．M到两定点，的距离之和为6
C．M到两定点，的距离之和为6
D．M到两定点，的距离之和为8
11．（2022·全国·高二课时练习）在曲线中，（ ）
A．当时，则曲线C表示焦点在y轴的椭圆
B．当时，则曲线C为椭圆
C．曲线C关于直线对称
D．当时，则曲线C的焦距为
三、填空题
12．（2022·全国·高二课时练习）若椭圆上一点到焦点的距离为，则点到另一焦点的距离为______．
13．（2022·四川·射洪中学高二阶段练习（文））过椭圆的一个焦点的弦与另一个焦点围成的的周长是______．
14．（2022·全国·高二课时练习）椭圆的焦距为4，则m＝______．
15．（2022·上海市宝山中学高二期中）已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是_______；
16．（2022·全国·高二单元测试）椭圆的短轴长为______．
17．（2022·全国·高二课时练习）椭圆=1的一个焦点为F1，点P在椭圆上，若线段PF1的中点M在y轴上，则点M的纵坐标为_____.
18．（2022·全国·高二课时练习）中心在原点，长轴长和短轴长分别为8和6，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为______．
四、解答题
19．（2022·江苏·高二课时练习）已知椭圆上一点P到左焦点的距离为7，求点P到右焦点的距离．
20．（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆的两个焦点分别为和，再添加什么条件，可使得这个椭圆的方程为？
21．（2022·全国·高二课时练习）求下列椭圆的焦点坐标：
(1)； (2)； (3)．
22．（2022·全国·高二课时练习）已知△ABC底边两端点、，若这个三角形另外两边所在直线的斜率之积为，求点A的轨迹方程．
23．（2022·全国·高二课时练习）用圆规画一个圆O，然后在圆内标记点A，并把圆周上的点折叠到点A，连接，标记出与折痕的交点（如图），若不断在圆周上取新的点，，…进行折叠并得到标记点，，…，则点，，，…形成的轨迹是什么？并说明理由．
24．（2022·全国·高二课时练习）已知定点、和动点．
(1)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：动点M的轨迹及其方程．
条件①：
条件②：
(2)，求：动点M的轨迹及其方程．
【能力提升】
一、单选题
1．（2022·全国·高二课时练习）椭圆的焦点为，，椭圆上的点满足，则点到轴的距离为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高二课时练习）已知是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，则（ ）
A．有最大值，为16 B．有最小值，为16
C．有最大值，为4 D．有最小值，为4
二、多选题
3．（2022·福建福州·高二期末）已知椭圆：，，分别为它的左右焦点，，分别为它的左右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ）
A．存在P使得 B．的最小值为
C．，则的面积为9 D．直线与直线斜率乘积为定值
三、填空题
4．（2022·全国·高二单元测试）舒腾尺是荷兰数学家舒腾设计的一种作图工具，如图，O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处的铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动．当点D在滑槽AB内做往复移动时，带动点N绕O转动，点M也随之而运动．记点N的运动轨迹为，点M的运动轨迹为．若，，过上的点P向作切线，则切线长的最大值为______．
5．（2022·全国·高二课时练习）如图，，分别是椭圆的左、右焦点，点P是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点Q，若，则直线的斜率为_______．
6．（2022·全国·高二课时练习）与椭圆有相同的焦点，且过点的椭圆方程为______．
四、解答题
7．（2022·河南·南阳市创新高级中学高二阶段练习）已知直线与椭圆在第一象限内交于M点，又MF2⊥x轴，F2是椭圆的右焦点，另一个焦点为F1，若，求椭圆的标准方程．
8．（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆长轴长10，短轴长6，矩形ABCD的顶点都在椭圆上，且边平行于椭圆的轴，求矩形的最大面积．
9．（2022·全国·高二课时练习）已知P是椭圆上的一点，、为椭圆的两个焦点．
(1)若，求的面积；
(2)求的最大值．
10．（2022·全国·高二课时练习）已知两点、，曲线C上的动点P满足．
(1)求曲线C的方程；
(2)曲线C上是否存在点M使 若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
11．（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆与椭圆具有共同的焦点，，点P在椭圆上，，______．在下面三个条件中选择一个，补充在上面的横线上，并作答．
①椭圆过点；②椭圆的短轴长为10；③椭圆的离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求的面积．
12．（2022·全国·高二单元测试）已知椭圆的长轴长为，右焦点到直线的距离为.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线与椭圆交于，两点，椭圆上存在点，使得，求实数的值.
13．（2022·四川省绵阳南山中学高二开学考试）已知点坐标为，点分别为椭圆的左 右顶点，是等腰直角三角形，长轴长是短轴长的2倍.
(1)求椭圆的方程；
(2)设过点的动直线与相交于两点，当坐标原点位于以为直径的圆外时，求直线斜率的取值范围.3.1.1 椭圆及其标准方程（分层作业）（夯实基础+能力提升）
【夯实基础】
一、单选题
1．（2022·全国·高二课时练习）已知是椭圆上的一个点，、是椭圆的两个焦点，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出的值，利用椭圆的定义可求得结果.
【详解】在椭圆中，，则.
故选：B.
2．（2022·全国·高二专题练习）以，为焦点，且经过点的椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据焦点在x轴上，c=1，且过点，用排除法可得.也可待定系数法求解，或根据椭圆定义求2a可得.
【详解】因为焦点在x轴上，所以C不正确；又因为c=1，故排除D；将代入得，故A错误，所以选B.
故选：B
3．（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆的两个焦点为，，过的直线交椭圆于，两点，若的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】运用椭圆的定义进行求解即可.
【详解】由.
因为，是椭圆的上的点，、是椭圆的焦点，
所以，
因此的周长为，
故选：D
4．（2022·全国·高二专题练习）椭圆的左右焦点分别为，为椭圆上一点，若，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】结合椭圆的知识确定正确选项.
【详解】的周长为.
故选：A
5．（2022·江苏·高二）已知椭圆C：的一个焦点为（0，-2），则k的值为（ ）
A．5 B．3 C．9 D．25
【答案】A
【分析】由题意可得焦点在轴上，由，可得k的值.
【详解】∵椭圆的一个焦点是，
∴，
∴，
故选：A
6．（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆的两个焦点的坐标分别是和，且椭圆经过点，则该椭圆的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据椭圆的焦点可求，根据经过点，可得，进而可求解，即可得椭圆方程.
【详解】因为焦点坐标为和，所以.椭圆经过点，且焦点在x轴上，所以，所以，则椭圆的标准方程为.
故选:A.
7．（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆C：的右焦点为，右顶点为A，O为坐标原点，过OA的中点且与坐标轴垂直的直线交椭圆C于M，N两点，若四边形OMAN是正方形，则C的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】待定系数法去求椭圆C的方程
【详解】由椭圆方程可知，由四边形OMAN是正方形可知，
又点M在椭圆C上，则有，解得，
又椭圆C的右焦点为，则，
结合椭圆中，解得，，则椭圆C的方程为.
故选：A
8．（2022·安徽·六安外国语高级中学有限公司高二期末）已知点分别是椭圆的左 右焦点,点P在此椭圆上,,则的面积等于
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据椭圆标准方程，可得，结合定义及余弦定理可求得值，由及三角形面积公式即可求解.
【详解】椭圆
则，所以，
则
由余弦定理可知
代入化简可得，
则，
故选：B.
【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及几何性质的简单应用，正弦定理与余弦定理的简单应用，三角形面积公式的用法，属于基础题.
二、多选题
9．（2022·全国·高二课时练习）已知为3与5的等差中项，为4与16的等比中项，则下列对曲线描述正确的是（ ）
A．曲线可表示为焦点在轴的椭圆
B．曲线可表示为焦距是4的双曲线
C．曲线可表示为离心率是的椭圆
D．曲线可表示为渐近线方程是的双曲线
【答案】ACD
【分析】由已知条件先求出的值，从而可得曲线C的方程，然后根据曲线方程分析判断即可
【详解】由为3与5的等差中项，得，即，
由为4与16的等比中项，得，即，
则曲线的方程为或．
其中表示焦点在轴的椭圆，此时它的离心率，故A正确，C正确；
其中表示焦点在轴的双曲线，焦距为，渐近线方程为，故B不正确，D正确．
故选:ACD．
10．（2022·全国·高二）平面上，动点M满足以下条件，其中M的轨迹为椭圆的是（ ）
A．M到两定点，的距离之和为4
B．M到两定点，的距离之和为6
C．M到两定点，的距离之和为6
D．M到两定点，的距离之和为8
【答案】BD
【分析】根据椭圆的定义进行逐一判断即可.
【详解】因为两定点，的距离为，所以选项A不符合椭圆定义，选项B符合椭圆定义；
因为两定点，的距离为，所以选项C不符合椭圆定义，选项D符合，
故选：BD
11．（2022·全国·高二课时练习）在曲线中，（ ）
A．当时，则曲线C表示焦点在y轴的椭圆
B．当时，则曲线C为椭圆
C．曲线C关于直线对称
D．当时，则曲线C的焦距为
【答案】ABD
【分析】将曲线C化为，再根据此方程表示椭圆得出的关系即可判断AB，求出椭圆的焦距即可判断D，根据椭圆的对称性即可判断C.
【详解】解：将曲线化为，
对于A，当时，则，
所以曲线C表示焦点在y轴的椭圆，故A正确；
对于B，当时，曲线C为椭圆，故B正确；
对于C，当时，曲线C为椭圆，
椭圆的对称轴为坐标轴，不关于直线对称，故C错误；
对于D，当时，则曲线C为椭圆，
则曲线C的焦距为，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题
12．（2022·全国·高二课时练习）若椭圆上一点到焦点的距离为，则点到另一焦点的距离为______．
【答案】
【分析】根据椭圆的方程算出椭圆的长轴，再由点到椭圆一个焦点的距离为，利用椭圆的定义即可算出点到另一焦点的距离.
【详解】 椭圆方程为：
椭圆的焦点在轴上，
且
可得，
即
又
由椭圆的定义：
解得：
点到另一个焦点的距离为
故答案为：.
13．（2022·四川·射洪中学高二阶段练习（文））过椭圆的一个焦点的弦与另一个焦点围成的的周长是______．
【答案】
【分析】求得，利用椭圆的定义可得出的周长.
【详解】在椭圆中，，
由题意可知，的周长为.
故答案为：.
14．（2022·全国·高二课时练习）椭圆的焦距为4，则m＝______．
【答案】9或17
【分析】对椭圆的焦点在轴上或在轴上分情况讨论，然后根据椭圆中即可求解.
【详解】解：因为表示椭圆，所以且，
又椭圆的焦距为4，所以，即，
当椭圆的焦点在轴上时，，所以，即；
当椭圆的焦点在轴上时，，所以，即；
故答案为：9或17.
15．（2022·上海市宝山中学高二期中）已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是_______；
【答案】
【分析】根据椭圆的焦点在轴上列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】由于方程表示焦点在y轴上的椭圆，
所以，解得.
故答案为：
16．（2022·全国·高二单元测试）椭圆的短轴长为______．
【答案】4
【分析】由椭圆的方程可得，则，进而可得椭圆的短轴长．
【详解】解：因为椭圆，
所以，
所以，
所以椭圆的短轴长为，
故答案为：4.
17．（2022·全国·高二课时练习）椭圆=1的一个焦点为F1，点P在椭圆上，若线段PF1的中点M在y轴上，则点M的纵坐标为_____.
【答案】±
【解析】根据线段PF1的中点M在y轴上且O是线段F1F2的中点，所以OM为△PF1F2的中位线，求出点P坐标，进而代入即可得解.
【详解】∵线段PF1的中点M在y轴上且O是线段F1F2的中点，
∴OM为△PF1F2的中位线，
∴PF2⊥x轴，∴点P的横坐标是3或-3，
∵点P在椭圆上，∴=1，即y2=，
∴y=±.∴点M的纵坐标为±.
故答案为：±.
【点睛】本题考查了椭圆的基本量的运算，考查了椭圆和几何关系的结合，解题关键是几何关系的数量表达，本题计算量不大，属于基础题.
18．（2022·全国·高二课时练习）中心在原点，长轴长和短轴长分别为8和6，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为______．
【答案】
【分析】由长短轴长得，由焦点所在轴得标准方程．
【详解】由已知，，即，
又焦点在x轴上，椭圆标准方程为．
故答案为：．
四、解答题
19．（2022·江苏·高二课时练习）已知椭圆上一点P到左焦点的距离为7，求点P到右焦点的距离．
【答案】
【分析】根据椭圆的定义即可求出.
【详解】设椭圆的左右焦点为，由题可得，,
由椭圆的定义，
即.
所以点P到右焦点的距离为.
20．（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆的两个焦点分别为和，再添加什么条件，可使得这个椭圆的方程为？
【分析】答案不唯一，可添加椭圆过点，由椭圆定义可得值．
【详解】添加的条件：椭圆过点
则
所以，得，
故椭圆的方程为．
21．（2022·全国·高二课时练习）求下列椭圆的焦点坐标：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】根据给定的各椭圆方程确定焦点位置，求出半焦距即可作答.
(1)椭圆中，，即焦点在x轴上，长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，
于是有，，解得，
所以椭圆的焦点坐标是.
(2)椭圆中，，即焦点在y轴上，长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，
于是有，，解得，
所以椭圆的焦点坐标是.
(3)椭圆，即中，，即焦点在y轴上，长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，
于是有，，解得，
所以椭圆的焦点坐标是.
22．（2022·全国·高二课时练习）已知△ABC底边两端点、，若这个三角形另外两边所在直线的斜率之积为，求点A的轨迹方程．
【答案】
【分析】设，利用斜率的两点式列方程并整理可得轨迹方程，注意.
【详解】设且，则，
整理得：A的轨迹方程.
23．（2022·全国·高二课时练习）用圆规画一个圆O，然后在圆内标记点A，并把圆周上的点折叠到点A，连接，标记出与折痕的交点（如图），若不断在圆周上取新的点，，…进行折叠并得到标记点，，…，则点，，，…形成的轨迹是什么？并说明理由．
【答案】椭圆，理由见解析.
【分析】根据圆的性质，结合椭圆的定义进行求解即可.
【详解】点，，，…形成的轨迹是椭圆，证明如下：
设是圆O上任意一点，设与折痕的交点，
所以有，而，
所以有，
因为O和A是定点，且点A在圆O内，
所以，为圆O的半径，为定值，
因此点的轨迹是以O和A为焦点的椭圆，
所以点，，，…形成的轨迹是椭圆.
24．（2022·全国·高二课时练习）已知定点、和动点．
(1)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：动点M的轨迹及其方程．
条件①：
条件②：
(2)，求：动点M的轨迹及其方程．
【分析】（1）根据不同的选择，结合椭圆的定义，即可求得动点的轨迹及其方程；
（2）对的取值范围进行分类讨论，结合不同情况求得对应的轨迹及方程即可.
（1）选择条件①：，因为，
故点的轨迹是以为焦点的椭圆，设其方程为，
则，，故其方程为：.
即选择条件①，点的轨迹是椭圆，其方程为；
选择条件②：，因为，
故点的轨迹是线段，其方程为.
（2）因为，
当时，此时动点不存在，没有轨迹和方程；
当时，此时，
由（1）可知，此时动点的轨迹是线段，其方程为；
当时，此时，
此时点的轨迹是以为焦点的椭圆，其方程为.
综上所述：当时，动点没有轨迹和方程；
当时，动点的轨迹是线段，其方程为；
当时，动点的轨迹是以为焦点的椭圆，其方程为.
【能力提升】
一、单选题
1．（2022·全国·高二课时练习）椭圆的焦点为，，椭圆上的点满足，则点到轴的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用椭圆的定义以及余弦定理，可以解得，一方面，另一方面设点到轴的距离为，则，所以，即可求解
【详解】易得．设，，则．
在中，由余弦定理得，
即，则，
所以．
设点到轴的距离为，则，故，解得．
故选：C．
2．（2022·全国·高二课时练习）已知是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，则（ ）
A．有最大值，为16 B．有最小值，为16
C．有最大值，为4 D．有最小值，为4
【答案】A
【分析】依据椭圆定义，再利用均值定理即可求得有最大值，为16．
【详解】由题意知，，则．
由基本不等式，知，
（当且仅当时等号成立），所以有最大值，为16．
故选：A．
二、多选题
3．（2022·福建福州·高二期末）已知椭圆：，，分别为它的左右焦点，，分别为它的左右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ）
A．存在P使得 B．的最小值为
C．，则的面积为9 D．直线与直线斜率乘积为定值
【答案】ABC
【分析】设椭圆短轴顶点为根据得的最大角为钝角即可判断A；记，则，结合余弦定理与基本不等式求解判断B；结合题意得，进而计算面积判断C；设，直接求解即可判断D.
【详解】解：设椭圆短轴顶点为，由题知椭圆：中，，
所以，，，，，
对于A选项，由于，，所以的最大角为钝角，故存在P使得，正确；
对于B选项，记，则，
由余弦定理：
，当且仅当时取“=”，B正确；
对于C选项，由于，故 ，所以，C正确；
对于D选项，设，则，，于是,故错误.
故选：ABC
三、填空题
4．（2022·全国·高二单元测试）舒腾尺是荷兰数学家舒腾设计的一种作图工具，如图，O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处的铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动．当点D在滑槽AB内做往复移动时，带动点N绕O转动，点M也随之而运动．记点N的运动轨迹为，点M的运动轨迹为．若，，过上的点P向作切线，则切线长的最大值为______．
【答案】
【分析】先建立平面直角坐标系，分别求得、的方程，再利用切线长定理求得切线长的表达式，进而求得该切线长的最大值.
【详解】以滑槽AB所在的直线为x轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示．
因为，所以点N的运动轨迹是以O为圆心，半径为1的圆，
其方程为．
设点，，，
依题意，，且，
所以，且，
即，且．
由于t不恒等于0，于是，故，，
代入，可得，
故曲线的方程为．设上的点，
则，
则切线长为，故切线长的最大值为．
故答案为：
5．（2022·全国·高二课时练习）如图，，分别是椭圆的左、右焦点，点P是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点Q，若，则直线的斜率为_______．
【答案】
【分析】连接，设（），则.利用椭圆的定义表示出，由勾股定理求出，即可得到，进而求出直线的斜率.
【详解】如图，连接.
设（），则.
因为，，所以，.
在中，，所以，即，整理得，所以，所以直线的斜率为．
故答案为：-2.
6．（2022·全国·高二课时练习）与椭圆有相同的焦点，且过点的椭圆方程为______．
【答案】
【分析】结合已知条件求出，然后利用得到一个与的关系式，并将代入所求椭圆方程得到第二个与的关系式，联立两个关系式即可求解.
【详解】不妨设所求椭圆方程为：，，且焦距为，
由已知条件可知， ①，
将代入可得， ②，
联立①②可得，，，
故所求椭圆方程为：.
故答案为：.
四、解答题
7．（2022·河南·南阳市创新高级中学高二阶段练习）已知直线与椭圆在第一象限内交于M点，又MF2⊥x轴，F2是椭圆的右焦点，另一个焦点为F1，若，求椭圆的标准方程．
【答案】
【分析】结合图像，得到，进而由求得，再利用椭圆的定义求得，由此得到，故椭圆方程可得.
【详解】设椭圆方程，点M在直线上，且MF2⊥x轴，由于，则点，
又因为，
所以，即，故，
所以，，，
由椭圆的定义得，，故，
所以，故椭圆C的方程为.
8．（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆长轴长10，短轴长6，矩形ABCD的顶点都在椭圆上，且边平行于椭圆的轴，求矩形的最大面积．
【答案】30
【分析】结合已知条件求出椭圆方程，然后设出点坐标，进而表示出矩形的面积，再利用基本不等式即可求解.
【详解】不妨设椭圆的方程为：()
由题意可知，，，即，，
从而椭圆方程为：，
设点坐标为，且，，则，
结合已知条件可知，，，
从而矩形的面积，
由基本不等式可知，，即，
当且仅当时，有最大值.
故矩形的最大面积为.
9．（2022·全国·高二课时练习）已知P是椭圆上的一点，、为椭圆的两个焦点．
(1)若，求的面积；
(2)求的最大值．
【答案】(1)9
(2)25
【分析】（1）根据椭圆的定义以及的关系，结合余弦定理和面积公式即可求得；
（2）由椭圆的定义结合基本不等式即可求得答案.
（1）
在椭圆中，a＝5，b＝3，则．
则，2c＝8，
在中，，即有，
即，所以，
则的面积为．
（2）
设，，则m＋n＝10，
所以，即，当且仅当m＝n＝5时取等号．
所以的最大值为25．
10．（2022·全国·高二课时练习）已知两点、，曲线C上的动点P满足．
(1)求曲线C的方程；
(2)曲线C上是否存在点M使 若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，坐标为或
【分析】(1)结合已知条件，利用椭圆定义求解即可；(2)首先假设存在这样的点，代入椭圆方程得到一个关系式，然后利用向量的垂直的数量积为0得到另外一个关系式，联立关系式求解即可.
（1）
由题意可知，，从而，
由椭圆的定义可知，曲线C的轨迹为椭圆，
设曲线C的轨迹方程为：，()，且焦距，即，
因为，即，
所以，
故曲线C的方程为：.
（2）
假设曲线C上存在这样的点，即 ①，
因为，所以，
即 ②，
联立①②得，，，
从而坐标为或.
故曲线C上存在点M使，且坐标为或.
11．（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆与椭圆具有共同的焦点，，点P在椭圆上，，______．在下面三个条件中选择一个，补充在上面的横线上，并作答．
①椭圆过点；②椭圆的短轴长为10；③椭圆的离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设椭圆C的方程为（），，由题意可得.
选①：可得即可求解椭圆方程；选②：可得即可求解椭圆方程；选③：可得即可求解椭圆方程；
（2）根据椭圆的定义，结合勾股定理可得，再求解面积即可.
（1）
设椭圆C的方程为（），，则椭圆与椭圆具有共同的焦点，则．
选①，由已知可得，则，所以椭圆的方程为．
选②，由已知可得，则，所以椭圆的方程为．
选②，由已知可得，则，所以，椭圆的方程为．
（2）
由椭圆的定义知，①
又因为，所以，②
由①②可得，解得，因此．
12．（2022·全国·高二单元测试）已知椭圆的长轴长为，右焦点到直线的距离为.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线与椭圆交于，两点，椭圆上存在点，使得，求实数的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据椭圆的长轴与焦点情况可得椭圆方程；
（2）联立直线与椭圆方程，可得点，的坐标，进而可得点，结合点在椭圆上，解方程可得的值.
（1）
由已知得，解得，
所以椭圆方程为；
（2）
设点，，
由，得，解得，，
则，，
所以，，
又，
即，
又点在椭圆上，所以，
解得.
13．（2022·四川省绵阳南山中学高二开学考试）已知点坐标为，点分别为椭圆的左 右顶点，是等腰直角三角形，长轴长是短轴长的2倍.
(1)求椭圆的方程；
(2)设过点的动直线与相交于两点，当坐标原点位于以为直径的圆外时，求直线斜率的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由对称性得值，再由已知关系得，从而得椭圆标准方程；
（2）设直线l方程设为，代入椭圆方程，由判别式大于0，得，设，，由韦达定理得，利用原点位于以为直径的圆外，即，代入，又可得，从而得的范围．
（1）
由△ABP是等腰直角三角形，得，又因为，,
所以椭圆E的方程为.
（2）
依题意得，直线l的斜率存在，方程设为.
联立，消去y并整理得.（*）
因直线l与E有两个交点，即方程（*）有不等的两实根，
故，解得.
设，，
由根与系数的关系得，
因坐标原点O位于以MN为直径的圆外，
所以，即，
又由
，
解得，综上可得，
则或.
则满足条件的斜率k的取值范围为.
【点睛】方法点睛：本题考查求椭圆标准方程，考查直线与椭圆相交中的范围问题，解题方法是设出直线方程，设出交点坐标为，，直线方程代入椭圆方程，由判别式大于0得一不等关系或范围，再利用韦达定理得，代入已知条件得另一不等关系，从而求得参数范围．
