2023年苏科版数学七年级下册全方位训练卷第九章 整式乘法与因式分解
一、单选题
1．（2021九上·射阳月考）计算x3y2 x2的结果是（ ）
A．x5y B．x4y2 C．x5y2 D．x2y5
2．（2021七下·苏州月考）计算 正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2020七下·高新期中）某同学在计算 乘一个多项式时错误的计算成了加法，得到的答案是 ，由此可以推断正确的计算结果是（ ）
A． B．
C． D．无法确定
4．（2022七下·吴江期末）若的结果中不含项，则的值为（ ）
A．0 B．2 C． D．-2
5．（2022七下·邗江期末）下列各式不能运用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022七下·江阴期中）若 ， ，则 与 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．由 的取值而定
7．（2022七下·张家港期末）下列各式由左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C．a（x+y）=ax+ay D．
8．（2017七下·邗江期中）如图，边长为a，b的矩形的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为（ ）
A．140 B．70 C．35 D．24
二、填空题
9．（2017七下·兴化期末）一个长方体的长、宽、高分别是3x-4，2x和x，它的体积等于
10．（2020七下·江阴期中）若三角形的一边长为2a+4，这边上的高为2a-3，则此三角形的面积为 .
11．（2022七下·广陵期中）如图，有三种卡片，其中边长为a的正方形卡片1张，边长分别为a、b的矩形卡片6张，边长为b的正方形卡片9张．用这16张卡片拼成一个正方形，则这个正方形的边长为 ．
12．（2022七下·连云港期中）
计算 的结果为 .
13．（2022七下·滨湖期中）有下列运算：①2a2b3ab2=6a3b3；②（-2a）2=-4a2；③（a+2b）（a-2b）=a2-2b2；④（a+2）2=a2+4；⑤（-a3）2-（a2）3=0，其中正确的有 .（填写相应的序号）
14．（2022七下·滨海期中）多项式x3y﹣xy的公因式是 .
15．（2022七下·南京期中）因式分解的结果是 ．
16．（2020七下·兴化期中）若 能用完全平方公式因式分解，则 的值为 .
三、计算题
17．（2021七下·昆山月考）计算：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4）
18．（2019七下·泰兴期中）计算：
（1）
（2）
（3） (用简便方法)
19．（2022七下·东海期末）分解因式：
（1）；
（2）．
四、解答题
20．（2021·射阳模拟）已知 ， ， ，求代数式 的值.
21．（2020七下·吴中期中）已知 的结果中不含关于字母 的一次项.先化简，再求： 的值.
22．实数范围内因式分解：2x2y2﹣3xy﹣1．
23．（2020七下·射阳月考）如图，在长为4x＋3，宽为3x＋5的长方形纸片中剪去两个边长分别为2x－1，x＋2的正方形，求阴影部分的面积.
24．（2019八上·海安月考）小马、小虎两人共同计算一道题：（x+a）（2x+b）.由于小马抄错了a的符号，得到的结果是2x2﹣7x+3，小虎漏抄了第二个多项式中x的系数得到的结果是x2+2x﹣3.
（1）求a，b的值；
（2）细心的你请计算这道题的正确结果；
（3）当x＝﹣1时，计算（2）中的代数式的值.
25．（2022七下·连云港期中）
（1）【知识情境】通常情况下，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式.
如图1，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形 （a＞b） .把余下的部分剪拼成一个长方形（如图2）.通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是 ；
（2）【拓展探究】类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个恒等式.
如图3是边长为 的正方体，被如图所示的分割线分成8块.
用不同的方法计算这个正方体的体积，就可以得到一个恒等式，这个恒等式可以为：
；
（3）已知 ， ，利用上面的恒等式求 的值.
26．（2022七上·盐城期末）已知有下列两个代数式：①； ②.
（1）当，时，代数式①的值是 ；代数式②的值是 .
（2）当，时，代数式①的值是 ；代数式②的值是 .
（3）观察（1）和（2）中代数式的值，你发现代数式和的关系为 .
（4）利用你发现的规律，求.
27．（2020八上·海安期中）下面是某同学对多项式（x2－4x+2）（x2－4x+6）+4进行因式分解的过程.
解：设x2－4x=y
原式=（y+2）（y+6）+4 （第一步）
=
y2+8y+16 （第二步）
=（y+4）2 （第三步）
=（x2－4x+4）2（第四步）
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的_______.
A．提取公因式 B．平方差公式 C．完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？ .（填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 .
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2－2x）（x2－2x+2）+1进行因式分解.
28．（2020七下·玄武期中）把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方式计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积.
例如，由图1，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2.
（1）由图2，可得等式 ；
（2）利用（1）所得等式，解决问题：已知a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值.
（3）如图3，将两个边长为a、b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一直线上，连接BD和BF，若这两个正方形的边长a、b如图标注，且满足a+b＝10，ab＝20.请求出阴影部分的面积.
（4）图4中给出了边长分别为a、b的小正方形纸片和两边长分别为a、b的长方形纸片，现有足量的这三种纸片.
①请在下面的方框中用所给的纸片拼出一个面积为2a2+5ab+2b2的长方形，并仿照图1、图2画出拼法并标注a、b；
②研究①拼图发现，可以分解因式2a2+5ab+2b2的值。
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】单项式乘单项式
【解析】【解答】解：x3y2 x2＝x5y2，
故答案为：C．
【分析】根据单项式乘单项式法则进行计算即可.
2．【答案】C
【知识点】单项式乘多项式；积的乘方
【解析】【解答】解：
=
= ，
故答案为：C.
【分析】首先根据积的乘方法则可得：原式=-x3y3·(7xy2-9x2y)，然后根据单项式与多项式的乘法法则以及同底数幂的乘法法则计算即可.
3．【答案】C
【知识点】整式的加减运算；单项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵
∴
故答案为：C
【分析】根据整式的减法法则求出多项式，根据单项式与多项式相乘的运算法则计算，得到答案.
4．【答案】B
【知识点】多项式乘多项式；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：（x2+ax+2）（2x-4）
=2x3+2ax2+4x-4x2-4ax-8
=2x3+（-4+2a）x2+（-4a+4）x-8，
∵（x2+ax+2）（2x-4）的结果中不含x2项，
∴-4+2a=0，
解得：a=2.
故答案为：B.
【分析】根据多项式乘多项式法则“多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得积相加”去括号，根据合并同类项法则“把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变”合并同类项可得原式=2x3+(-4+2a)x2+(-4a+4)x-8，由题意“结果中不含x2项”可得关于a的方程-4+2a=0，解之可求解.
5．【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：C、两项都是相同的项，不能运用平方差公式；
A、B、D中均存在相同和相反的项，
故答案为：C.
【分析】两个二项式满足有一项完全相同，另一项只有符号不同，那么这两个二项式相乘，即可使用平方差公式进行计算，据此判断.
6．【答案】C
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴
，
∴ ，即 .
故答案为：C.
【分析】根据已知条件结合整式的混合运算法则可得M-N=(x-2)(x-5)-(x-3)(x-4)=-2，据此进行比较.
7．【答案】D
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：A、等式的左边不是多项式，故本选项不符合题意；
B、等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C、等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D、从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】把一个多项式化为几个因式乘积的形式，这种恒等变形叫因式分解. 根据定义分解判断即可.
8．【答案】B
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】根据题意得：a+b= =7，ab=10，
∴a2b+ab2=ab（a+b）=10×7=70；
故答案为：B．
【分析】根据已知矩形的周长求出a+b=7，根据矩形的面积得出ab=10，再将已知代数式分解因式，可得出ab（a+b），然后整体代入求值即可。
9．【答案】6x3-8x2
【知识点】单项式乘多项式
【解析】【解答】解：根据题意得：
（3x-4） 2x x=6x3-8x2；
【分析】根据体积公式长·宽·高，得到单项式乘以多项式，就是用单项式乘以多项式的每一项，再把它们的积相加.
10．【答案】2a2+a-6
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：由题意得，三角形的面积为： （2a+4）（2a-3）=2a2+a-6
故答案为2a2+a-6.
【分析】先根据三角形的面积公式列式，然后再运用多项式乘多项式的法则解答即可.
11．【答案】a＋3b
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：由题可知，16张卡片总面积为a2+6ab+9b2，
∵a2+6ab+9b2=（a+3b）2，
∴新正方形边长为a+3b．
故答案为：a+3b.
【分析】求出16张卡片的总面积，再将所得式子利用完全平方公式分解因式，即可得出这个正方形的边长.
12．【答案】
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：
=
=
=
=
=
=
=
=
故答案为： .
【分析】在待求式子上乘以×(3-1)，然后结合平方差公式进行计算即可.
13．【答案】①⑤
【知识点】单项式乘单项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：①2a2b3ab2=6a3b3，故①符合题意；
②（-2a）2=4a2≠-4a2，故②不符合题意；
③（a+2b）（a-2b）=a2-4b2≠a2-2b2，故③不符合题意；
④（a+2）2=a2+4a+4≠a2+4，故④不符合题意；
⑤（-a3）2-（a2）3=0，故⑤符合题意.
故①⑤符合题意.
故答案为：①⑤.
【分析】单项式乘以单项式，积的系数等于原来两个单项式的系数的积，它的各个变数字母的幂指数，等于在原来两个单项式中相应的变数字母的幂指数的和，据此判断①；积的乘方，先对每一项进行乘方，然后将结果相乘，据此判断②；根据平方差公式可判断③；根据完全平方公式可判断④；幂的乘方，底数不变，指数相乘，据此判断⑤.
14．【答案】xy
【知识点】公因式
【解析】【解答】解：多项式x3y﹣xy的公因式是xy.
故答案为：xy.
【分析】多项式的项分别为x3y=xy·x2，-xy，据此可得公因式.
15．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：
故答案为：.
【分析】观察发现：含有公因式3m2n，然后直接提取公因式即可对原式进行分解.
16．【答案】4
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：∵ = ，
∴要 能用完全平方差公式分解因式，即 能用完全平方差公式分解因式，
∴ ，
解得： ，
故答案为：4.
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断，确定出m的值即可得到答案.
17．【答案】（1）解：原式= ；
（2）解：原式= ；
（3）解：原式= ；
（4）解：原式= .
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】（1）利用积的乘方以及幂的乘方法则可得原式=4a2b4·(3a2b-2ab-1)，然后根据单项式与多项式的乘法法则计算即可；
（2）利用完全平方公式以及平方差公式可得原式=4a2-8ab+4b2-4a2+b2，然后合并同类项即可；
（3）原式可变形为[x-(y-2)]·[x+(y-2)]，然后利用平方差公式计算即可；
（4）根据负整数指数幂的运算性质、非零数的零次幂为1以及有理数的乘方法则可得原式=9+1-125+25，据此计算即可.
18．【答案】（1） 原式=3x2+9x-(x2-x+2x-2)
=2x2+8x+2.
（2） 原式=(4x2-1)(4x2-1),
=16x4-8x2+1.
（3） 原式=1002-(100-2)(100+2),
=1002-(1002-4),
=4.
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【分析】（1）去括号、合并即得.
（2）先利用平方差公式、再用完全平方公式计算即可.
（3）将98×102变为(100-2)(100+2)，然后利用平方差公式计算再合并即得.
19．【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）由于每项都含有因式3xy，直接利用提取公因式法分解因式，即可解答；
（2）先提取公因数4，再利用平方差公式分解因式，即可解答.
20．【答案】解：∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
则原式
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】由已知条件可得a-b=-1，a-c=-2，b-c=-1，将待求式变形为(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2，据此计算.
21．【答案】解：∵（x+a）（x-2）=x2-2x+ax-2a=x2+（a-2）x-2a不含关于x的一次项，
∴a 2=0，即a=2，
∴（a+1）2+（2-a）（2+a）
=a2+2a+1+4-a2
=2a+5
=2×2+5
=9
故答案为：9.
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【分析】根据多项式乘多项式的法则计算展开（x+a）（x-2），让关于x的一次项的系数为0，即可求得a的值，然后即可求出答案.
22．【答案】解：原式=2（x2y2﹣xy﹣）
=2（xy﹣）（x﹣）．
【知识点】实数范围内分解因式
【解析】【分析】先提取公因式2，然后利用公式法进行因式分解．
23．【答案】解：因为长方形的面积为(4x＋3)(3x＋5)，
边长为－2x＋1的正方形的面积为(－2x＋1)2，
边长为x＋2的正方形的面积为(x＋2)2，
所以S阴影＝(4x＋3)(3x＋5)－(－2x＋1)2－(x＋2)2
＝12x2＋20x＋9x＋15－(1－4x＋4x2)－(x2＋4x＋4)
＝12x2＋29x＋15－1＋4x－4x2－x2－4x－4
＝7x2＋29x＋10.
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】分别求出长方形的面积以及两个正方形的面积，再根据阴影部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式进行计算即可.
24．【答案】（1）解：根据题意得：小马抄错得：（x﹣a）（2x+b）＝2x2+bx﹣2ax﹣ab＝2x2+（b﹣2a）x﹣ab＝2x2﹣7x+3，
小虎漏抄了第二个多项式中x的系数得到（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab＝x2+2x﹣3，
所以 ， ，
联立 得： ；
（2）解：由（1）得：正确的算式是（x+3）（2x﹣1）＝2x2﹣x+6x﹣3＝2x2+5x﹣3；
（3）解：当x＝﹣1时，2x2+5x﹣3＝2×1+5×（﹣1）﹣3＝﹣6.
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【分析】（1）根据题意得出算式，再根据多项式乘以多项式法则进行计算，得出方程组，求出方程组的解即可；（2）把a、b的值代入，再根据多项式乘以多项式法则求出即可；（3）把x＝﹣1代入后求出结果即可.
25．【答案】（1）a2-b2=(a+b)(a-b)
（2）（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3
（3）解：由（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3
得：（a＋b）3＝a3＋3ab（a＋b）＋b3，
将a＋b＝4，ab＝2代入a3＋3ab（a＋b）＋b3
得：43＝a3＋3×2×4＋b3，
∴a3＋b3＝64 24＝40.
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）图1的面积为：a2-b2， 图2的面积为(a+b)(a-b)
∴这个等式是a2-b2=(a+b)(a-b)
故答案为：a2-b2=(a+b)(a-b)；
（2）图3的体积为：（a＋b）3或a3＋3a2b＋3ab2＋b3
∴这个等式是（a＋b）3=a3＋3a2b＋3ab2＋b3
故答案为：（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3；
【分析】（1）根据面积间的和差关系结合正方形的面积公式可得图1的面积为a2-b2， 图2阴影部分的长为(a+b)，宽为(a-b)，据此可得图2的面积，进而可得等式；
（2）根据正方体的体积公式可得图3的体积为(a＋b)3，根据正方体的体积为各部分体积之和可得图3的体积为a3＋3a2b＋3ab2＋b3，据此可得等式；
（3）根据（2）中的等式可得(a＋b)3＝a3＋3ab(a＋b)＋b3，然后将已知条件代入计算即可.
26．【答案】（1）9；9
（2）；
（3）
（4）解：
【知识点】代数式求值；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：（1）当，时，
，
，
故答案为：9，9；
（2）当，时，
，
，
故答案为：，；
（3）观察（1）和（2）中代数式的值可知，，
故答案为：；
【分析】（1）分别将a=5，b=4代入a2-b2、(a+b)(a-b)中进行计算即可；
（2）分别将a=，b=代入a2-b2、(a+b)(a-b)中进行计算即可；
（3）观察（1）（2）的结果可得两代数式之间的关系；
（4）根据（3）的结论可得20222-20212=(2022+2021)×(2022-2021)，计算即可.
27．【答案】（1）C
（2）不彻底；（x-2）4
（3）解：设x2－2x=y，则：
原式=y（y+2）+1
=y2+2y+1
=（y+1）2
=（ x2－2x+1）2
=（x﹣1）4.
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的完全平方公式，
故答案为：C；
（2）∵x2－4x+4=（x-2）2 ，
∴该同学因式分解的结果不彻底，最后结果为（x-2）4 ，
故答案为：不彻底，（x-2）4 ；
【分析】（1）根据分解的过程进行判断；
（2）分解结果还可以利用完全平方公式继续分解；
（3）设x2-2x=y，则原式=y(y+2)+1=y2+2y+1，然后利用完全平方公式分解分解.
28．【答案】（1）
（2）解：
∴
（3）解： 四边形ABCD、四边形ECGF为正方形，且边长分别为a、b
， ， ，
∵
∴
（4）解：①根据题意，作出图形如下：
②根据面积的不同求解方法得：
故答案为： .
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式的几何背景；因式分解的应用
【解析】【解答】（1）由题意得：
故答案为： ；
【分析】（1）根据面积的不同求解方法，可得到不同的表示方法.一种可以是3个正方形的面积和6个矩形的面积；另一种是直接利用正方形的面积公式计算，由此即可得出答案；（2）利用（1）中的等式直接代入即可求得答案；（3）根据阴影部分的面积等于两个正方形的面积之和减去两个直角三角形的面积即可得；（4）①依照前面的拼图方法，画出图形即可；②参照题（1）的方法，根据面积的不同求解方法即可得出答案.
1 / 12023年苏科版数学七年级下册全方位训练卷第九章 整式乘法与因式分解
一、单选题
1．（2021九上·射阳月考）计算x3y2 x2的结果是（ ）
A．x5y B．x4y2 C．x5y2 D．x2y5
【答案】C
【知识点】单项式乘单项式
【解析】【解答】解：x3y2 x2＝x5y2，
故答案为：C．
【分析】根据单项式乘单项式法则进行计算即可.
2．（2021七下·苏州月考）计算 正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】单项式乘多项式；积的乘方
【解析】【解答】解：
=
= ，
故答案为：C.
【分析】首先根据积的乘方法则可得：原式=-x3y3·(7xy2-9x2y)，然后根据单项式与多项式的乘法法则以及同底数幂的乘法法则计算即可.
3．（2020七下·高新期中）某同学在计算 乘一个多项式时错误的计算成了加法，得到的答案是 ，由此可以推断正确的计算结果是（ ）
A． B．
C． D．无法确定
【答案】C
【知识点】整式的加减运算；单项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵
∴
故答案为：C
【分析】根据整式的减法法则求出多项式，根据单项式与多项式相乘的运算法则计算，得到答案.
4．（2022七下·吴江期末）若的结果中不含项，则的值为（ ）
A．0 B．2 C． D．-2
【答案】B
【知识点】多项式乘多项式；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：（x2+ax+2）（2x-4）
=2x3+2ax2+4x-4x2-4ax-8
=2x3+（-4+2a）x2+（-4a+4）x-8，
∵（x2+ax+2）（2x-4）的结果中不含x2项，
∴-4+2a=0，
解得：a=2.
故答案为：B.
【分析】根据多项式乘多项式法则“多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得积相加”去括号，根据合并同类项法则“把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变”合并同类项可得原式=2x3+(-4+2a)x2+(-4a+4)x-8，由题意“结果中不含x2项”可得关于a的方程-4+2a=0，解之可求解.
5．（2022七下·邗江期末）下列各式不能运用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：C、两项都是相同的项，不能运用平方差公式；
A、B、D中均存在相同和相反的项，
故答案为：C.
【分析】两个二项式满足有一项完全相同，另一项只有符号不同，那么这两个二项式相乘，即可使用平方差公式进行计算，据此判断.
6．（2022七下·江阴期中）若 ， ，则 与 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．由 的取值而定
【答案】C
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴
，
∴ ，即 .
故答案为：C.
【分析】根据已知条件结合整式的混合运算法则可得M-N=(x-2)(x-5)-(x-3)(x-4)=-2，据此进行比较.
7．（2022七下·张家港期末）下列各式由左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C．a（x+y）=ax+ay D．
【答案】D
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：A、等式的左边不是多项式，故本选项不符合题意；
B、等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C、等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D、从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】把一个多项式化为几个因式乘积的形式，这种恒等变形叫因式分解. 根据定义分解判断即可.
8．（2017七下·邗江期中）如图，边长为a，b的矩形的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为（ ）
A．140 B．70 C．35 D．24
【答案】B
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】根据题意得：a+b= =7，ab=10，
∴a2b+ab2=ab（a+b）=10×7=70；
故答案为：B．
【分析】根据已知矩形的周长求出a+b=7，根据矩形的面积得出ab=10，再将已知代数式分解因式，可得出ab（a+b），然后整体代入求值即可。
二、填空题
9．（2017七下·兴化期末）一个长方体的长、宽、高分别是3x-4，2x和x，它的体积等于
【答案】6x3-8x2
【知识点】单项式乘多项式
【解析】【解答】解：根据题意得：
（3x-4） 2x x=6x3-8x2；
【分析】根据体积公式长·宽·高，得到单项式乘以多项式，就是用单项式乘以多项式的每一项，再把它们的积相加.
10．（2020七下·江阴期中）若三角形的一边长为2a+4，这边上的高为2a-3，则此三角形的面积为 .
【答案】2a2+a-6
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：由题意得，三角形的面积为： （2a+4）（2a-3）=2a2+a-6
故答案为2a2+a-6.
【分析】先根据三角形的面积公式列式，然后再运用多项式乘多项式的法则解答即可.
11．（2022七下·广陵期中）如图，有三种卡片，其中边长为a的正方形卡片1张，边长分别为a、b的矩形卡片6张，边长为b的正方形卡片9张．用这16张卡片拼成一个正方形，则这个正方形的边长为 ．
【答案】a＋3b
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：由题可知，16张卡片总面积为a2+6ab+9b2，
∵a2+6ab+9b2=（a+3b）2，
∴新正方形边长为a+3b．
故答案为：a+3b.
【分析】求出16张卡片的总面积，再将所得式子利用完全平方公式分解因式，即可得出这个正方形的边长.
12．（2022七下·连云港期中）
计算 的结果为 .
【答案】
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：
=
=
=
=
=
=
=
=
故答案为： .
【分析】在待求式子上乘以×(3-1)，然后结合平方差公式进行计算即可.
13．（2022七下·滨湖期中）有下列运算：①2a2b3ab2=6a3b3；②（-2a）2=-4a2；③（a+2b）（a-2b）=a2-2b2；④（a+2）2=a2+4；⑤（-a3）2-（a2）3=0，其中正确的有 .（填写相应的序号）
【答案】①⑤
【知识点】单项式乘单项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：①2a2b3ab2=6a3b3，故①符合题意；
②（-2a）2=4a2≠-4a2，故②不符合题意；
③（a+2b）（a-2b）=a2-4b2≠a2-2b2，故③不符合题意；
④（a+2）2=a2+4a+4≠a2+4，故④不符合题意；
⑤（-a3）2-（a2）3=0，故⑤符合题意.
故①⑤符合题意.
故答案为：①⑤.
【分析】单项式乘以单项式，积的系数等于原来两个单项式的系数的积，它的各个变数字母的幂指数，等于在原来两个单项式中相应的变数字母的幂指数的和，据此判断①；积的乘方，先对每一项进行乘方，然后将结果相乘，据此判断②；根据平方差公式可判断③；根据完全平方公式可判断④；幂的乘方，底数不变，指数相乘，据此判断⑤.
14．（2022七下·滨海期中）多项式x3y﹣xy的公因式是 .
【答案】xy
【知识点】公因式
【解析】【解答】解：多项式x3y﹣xy的公因式是xy.
故答案为：xy.
【分析】多项式的项分别为x3y=xy·x2，-xy，据此可得公因式.
15．（2022七下·南京期中）因式分解的结果是 ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：
故答案为：.
【分析】观察发现：含有公因式3m2n，然后直接提取公因式即可对原式进行分解.
16．（2020七下·兴化期中）若 能用完全平方公式因式分解，则 的值为 .
【答案】4
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：∵ = ，
∴要 能用完全平方差公式分解因式，即 能用完全平方差公式分解因式，
∴ ，
解得： ，
故答案为：4.
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断，确定出m的值即可得到答案.
三、计算题
17．（2021七下·昆山月考）计算：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4）
【答案】（1）解：原式= ；
（2）解：原式= ；
（3）解：原式= ；
（4）解：原式= .
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】（1）利用积的乘方以及幂的乘方法则可得原式=4a2b4·(3a2b-2ab-1)，然后根据单项式与多项式的乘法法则计算即可；
（2）利用完全平方公式以及平方差公式可得原式=4a2-8ab+4b2-4a2+b2，然后合并同类项即可；
（3）原式可变形为[x-(y-2)]·[x+(y-2)]，然后利用平方差公式计算即可；
（4）根据负整数指数幂的运算性质、非零数的零次幂为1以及有理数的乘方法则可得原式=9+1-125+25，据此计算即可.
18．（2019七下·泰兴期中）计算：
（1）
（2）
（3） (用简便方法)
【答案】（1） 原式=3x2+9x-(x2-x+2x-2)
=2x2+8x+2.
（2） 原式=(4x2-1)(4x2-1),
=16x4-8x2+1.
（3） 原式=1002-(100-2)(100+2),
=1002-(1002-4),
=4.
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【分析】（1）去括号、合并即得.
（2）先利用平方差公式、再用完全平方公式计算即可.
（3）将98×102变为(100-2)(100+2)，然后利用平方差公式计算再合并即得.
19．（2022七下·东海期末）分解因式：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）由于每项都含有因式3xy，直接利用提取公因式法分解因式，即可解答；
（2）先提取公因数4，再利用平方差公式分解因式，即可解答.
四、解答题
20．（2021·射阳模拟）已知 ， ， ，求代数式 的值.
【答案】解：∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
则原式
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】由已知条件可得a-b=-1，a-c=-2，b-c=-1，将待求式变形为(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2，据此计算.
21．（2020七下·吴中期中）已知 的结果中不含关于字母 的一次项.先化简，再求： 的值.
【答案】解：∵（x+a）（x-2）=x2-2x+ax-2a=x2+（a-2）x-2a不含关于x的一次项，
∴a 2=0，即a=2，
∴（a+1）2+（2-a）（2+a）
=a2+2a+1+4-a2
=2a+5
=2×2+5
=9
故答案为：9.
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【分析】根据多项式乘多项式的法则计算展开（x+a）（x-2），让关于x的一次项的系数为0，即可求得a的值，然后即可求出答案.
22．实数范围内因式分解：2x2y2﹣3xy﹣1．
【答案】解：原式=2（x2y2﹣xy﹣）
=2（xy﹣）（x﹣）．
【知识点】实数范围内分解因式
【解析】【分析】先提取公因式2，然后利用公式法进行因式分解．
23．（2020七下·射阳月考）如图，在长为4x＋3，宽为3x＋5的长方形纸片中剪去两个边长分别为2x－1，x＋2的正方形，求阴影部分的面积.
【答案】解：因为长方形的面积为(4x＋3)(3x＋5)，
边长为－2x＋1的正方形的面积为(－2x＋1)2，
边长为x＋2的正方形的面积为(x＋2)2，
所以S阴影＝(4x＋3)(3x＋5)－(－2x＋1)2－(x＋2)2
＝12x2＋20x＋9x＋15－(1－4x＋4x2)－(x2＋4x＋4)
＝12x2＋29x＋15－1＋4x－4x2－x2－4x－4
＝7x2＋29x＋10.
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】分别求出长方形的面积以及两个正方形的面积，再根据阴影部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式进行计算即可.
24．（2019八上·海安月考）小马、小虎两人共同计算一道题：（x+a）（2x+b）.由于小马抄错了a的符号，得到的结果是2x2﹣7x+3，小虎漏抄了第二个多项式中x的系数得到的结果是x2+2x﹣3.
（1）求a，b的值；
（2）细心的你请计算这道题的正确结果；
（3）当x＝﹣1时，计算（2）中的代数式的值.
【答案】（1）解：根据题意得：小马抄错得：（x﹣a）（2x+b）＝2x2+bx﹣2ax﹣ab＝2x2+（b﹣2a）x﹣ab＝2x2﹣7x+3，
小虎漏抄了第二个多项式中x的系数得到（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab＝x2+2x﹣3，
所以 ， ，
联立 得： ；
（2）解：由（1）得：正确的算式是（x+3）（2x﹣1）＝2x2﹣x+6x﹣3＝2x2+5x﹣3；
（3）解：当x＝﹣1时，2x2+5x﹣3＝2×1+5×（﹣1）﹣3＝﹣6.
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【分析】（1）根据题意得出算式，再根据多项式乘以多项式法则进行计算，得出方程组，求出方程组的解即可；（2）把a、b的值代入，再根据多项式乘以多项式法则求出即可；（3）把x＝﹣1代入后求出结果即可.
25．（2022七下·连云港期中）
（1）【知识情境】通常情况下，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式.
如图1，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形 （a＞b） .把余下的部分剪拼成一个长方形（如图2）.通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是 ；
（2）【拓展探究】类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个恒等式.
如图3是边长为 的正方体，被如图所示的分割线分成8块.
用不同的方法计算这个正方体的体积，就可以得到一个恒等式，这个恒等式可以为：
；
（3）已知 ， ，利用上面的恒等式求 的值.
【答案】（1）a2-b2=(a+b)(a-b)
（2）（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3
（3）解：由（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3
得：（a＋b）3＝a3＋3ab（a＋b）＋b3，
将a＋b＝4，ab＝2代入a3＋3ab（a＋b）＋b3
得：43＝a3＋3×2×4＋b3，
∴a3＋b3＝64 24＝40.
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）图1的面积为：a2-b2， 图2的面积为(a+b)(a-b)
∴这个等式是a2-b2=(a+b)(a-b)
故答案为：a2-b2=(a+b)(a-b)；
（2）图3的体积为：（a＋b）3或a3＋3a2b＋3ab2＋b3
∴这个等式是（a＋b）3=a3＋3a2b＋3ab2＋b3
故答案为：（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3；
【分析】（1）根据面积间的和差关系结合正方形的面积公式可得图1的面积为a2-b2， 图2阴影部分的长为(a+b)，宽为(a-b)，据此可得图2的面积，进而可得等式；
（2）根据正方体的体积公式可得图3的体积为(a＋b)3，根据正方体的体积为各部分体积之和可得图3的体积为a3＋3a2b＋3ab2＋b3，据此可得等式；
（3）根据（2）中的等式可得(a＋b)3＝a3＋3ab(a＋b)＋b3，然后将已知条件代入计算即可.
26．（2022七上·盐城期末）已知有下列两个代数式：①； ②.
（1）当，时，代数式①的值是 ；代数式②的值是 .
（2）当，时，代数式①的值是 ；代数式②的值是 .
（3）观察（1）和（2）中代数式的值，你发现代数式和的关系为 .
（4）利用你发现的规律，求.
【答案】（1）9；9
（2）；
（3）
（4）解：
【知识点】代数式求值；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：（1）当，时，
，
，
故答案为：9，9；
（2）当，时，
，
，
故答案为：，；
（3）观察（1）和（2）中代数式的值可知，，
故答案为：；
【分析】（1）分别将a=5，b=4代入a2-b2、(a+b)(a-b)中进行计算即可；
（2）分别将a=，b=代入a2-b2、(a+b)(a-b)中进行计算即可；
（3）观察（1）（2）的结果可得两代数式之间的关系；
（4）根据（3）的结论可得20222-20212=(2022+2021)×(2022-2021)，计算即可.
27．（2020八上·海安期中）下面是某同学对多项式（x2－4x+2）（x2－4x+6）+4进行因式分解的过程.
解：设x2－4x=y
原式=（y+2）（y+6）+4 （第一步）
=
y2+8y+16 （第二步）
=（y+4）2 （第三步）
=（x2－4x+4）2（第四步）
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的_______.
A．提取公因式 B．平方差公式 C．完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？ .（填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 .
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2－2x）（x2－2x+2）+1进行因式分解.
【答案】（1）C
（2）不彻底；（x-2）4
（3）解：设x2－2x=y，则：
原式=y（y+2）+1
=y2+2y+1
=（y+1）2
=（ x2－2x+1）2
=（x﹣1）4.
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的完全平方公式，
故答案为：C；
（2）∵x2－4x+4=（x-2）2 ，
∴该同学因式分解的结果不彻底，最后结果为（x-2）4 ，
故答案为：不彻底，（x-2）4 ；
【分析】（1）根据分解的过程进行判断；
（2）分解结果还可以利用完全平方公式继续分解；
（3）设x2-2x=y，则原式=y(y+2)+1=y2+2y+1，然后利用完全平方公式分解分解.
28．（2020七下·玄武期中）把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方式计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积.
例如，由图1，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2.
（1）由图2，可得等式 ；
（2）利用（1）所得等式，解决问题：已知a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值.
（3）如图3，将两个边长为a、b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一直线上，连接BD和BF，若这两个正方形的边长a、b如图标注，且满足a+b＝10，ab＝20.请求出阴影部分的面积.
（4）图4中给出了边长分别为a、b的小正方形纸片和两边长分别为a、b的长方形纸片，现有足量的这三种纸片.
①请在下面的方框中用所给的纸片拼出一个面积为2a2+5ab+2b2的长方形，并仿照图1、图2画出拼法并标注a、b；
②研究①拼图发现，可以分解因式2a2+5ab+2b2的值。
【答案】（1）
（2）解：
∴
（3）解： 四边形ABCD、四边形ECGF为正方形，且边长分别为a、b
， ， ，
∵
∴
（4）解：①根据题意，作出图形如下：
②根据面积的不同求解方法得：
故答案为： .
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式的几何背景；因式分解的应用
【解析】【解答】（1）由题意得：
故答案为： ；
【分析】（1）根据面积的不同求解方法，可得到不同的表示方法.一种可以是3个正方形的面积和6个矩形的面积；另一种是直接利用正方形的面积公式计算，由此即可得出答案；（2）利用（1）中的等式直接代入即可求得答案；（3）根据阴影部分的面积等于两个正方形的面积之和减去两个直角三角形的面积即可得；（4）①依照前面的拼图方法，画出图形即可；②参照题（1）的方法，根据面积的不同求解方法即可得出答案.
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