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2023年苏科版数学七年级下册全方位训练卷10.4三元一次方程组
一、单选题（每题3分，共24分）
1．（2020七下·越秀期中）下列方程组中，是三元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解： A.4个未知数，不符合题意；
B.2个未知数，不符合题意；
C.有三个未知数，每个方程的次数是1，是三元一次方程组，符合题意；
D.方程的次数为2，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用三元一次方程组的定义判断即可．
2．（2020八上·光明期末）解三元一次方程组 要使解法较为简便，首先应进行的变形为（ ）
A．①+② B．①-② C．①+③ D．②-③
【答案】A
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：①+②得：2x+y=-2 ④，
④和③组成二元一次方程组.
故A符合题意.
故答案为：A.
【分析】解三元一次方程组的方法就是消元，由①+②消去z，与③组成二元一次方程组，即可得出答案.
3．（2020八上·郑州开学考）三元一次方程组 ，的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】 ，
得 ……④，
得 ，解得 .把 代入①，
得 ，解得 ，把 代入③，
得 ，解得 ，
所以原方程组的解为 .
故答案为：D.
【分析】根据接三元一次方程组的步骤“先将原方程组中的三元化为二元，解二元一次方程组，再求第三个未知数，然后写出结论”计算即可求解.
4．（2022七上·芷江月考）若：，，，则：代数式的值等于（ ）
A． B． C．-15 D．-13
【答案】D
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
由，可得：，
把代入，可得：，
又∵，
∴
.
故答案为：D.
【分析】根据题干给出的两个方程，利用加减消元法，用含z的式子分别表示出x、y，再代入所求的式子，先计算乘方，再计算乘法，进而进而合并，最后约分即可得出答案.
5．（2021七上·浦口月考）设“●■▲”分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也平衡，那么“？”处应放“■”的个数为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】A
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设●、■、▲分别为x，y，z，由（1）（2）可知，
，
由①②可得：，，
∴；
故答案为：A.
【分析】设●、■、▲分别为x，y，z，利用（1）（2）可得方程组据此求出，，再求出x+z的值即可.
6．（2021七下·射洪月考）在抗击疫情网络知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，学校计划用200元钱购买A、B、C三种奖品，A种每个10元，B种每个20元，C种每个30元，在C种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，购买方案有（ ）
A．12种 B．14种 C．15种 D．16种
【答案】B
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设A种买x个，B种买y个，C中买z个，依题意得 ，
得 ，
由于x、y、z只取正整数，所以需使 被2整除且 为正数，且 ，
当 ， ， ，8种，
当 ， ， ，6种，
∴ 的正整数解有14组 . ，
所以购买方案共有14种.
故答案为：B.
【分析】设A种买x个，B种买y个，C中买z个，根据题意列出方程：10x+20y+ 30z =200，变形后根据x、y、z均为正整数，且C种奖品不超过两个分别讨论，确定解的个数，即可得出所有可能的方案数.
7．（2021八上·杭州期末）某宾馆有单人间，双人间，三人间三种客房供游客选择居住，现某旅游团有20名旅客同时安排游客居住在该宾馆，若每个房间都住满，共租了9间客房，则居住方案（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【答案】C
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设租一人间x间，租二人间y间，租三人间z间，
依题意得： ，
解得：y+2z=11，y=11-2z.
∵x，y，z是正整数，
当z=1时，y=9，x=-1（不符合题意，舍去）；
当z=2时，y=7，x=0（不符合题意，舍去）；
当z=3时，y=5，x=1；
当z=4时，y=3，x=2；
当z=5时，y=1，x=3；
当z=6时，y=-1，x=4；（不符合题意，舍去）,
∴居住方案有3种.
故选C.
【分析】设租一人间x间，租二人间y间，租三人间z间，依题意得： ，然后表示出y与z的关系式，根据x、y、z都为整数即可确定出x、y、z的取值，进而确定居住方案的种类.
8．（2021七上·嘉兴期末）小明和小亮在一起探究一个数学活动.首先小亮站立在箱子上，小明站立在地面上（如图1），然后交换位置（如图2），测量的数据如图所示，想要探究的问题有：①小明的身高；②小亮的身高；③箱子的高度；④小明与小亮的身高和.根据图上信息，你认为可以计算出的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】C
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设小亮身高为x，小明身高为y，木箱高度为a
根据图1信息，可得：x+a=y+48①
根据图2信息，可得：y+a=x+24②
由①+②可得：x+y+2a=x+y+48+24，解得：a=36
∴箱子的高度可以求出.
故答案为：C.
【分析】设小亮身高为x，小明身高为y，木箱高度为a，根据图1信息得出小亮身高+木箱高度=小明身高+48①，根据图2信息得出小明身高+木箱高度=小亮身高+24②，利用①+②即可求出结论.
二、填空题（每空3分，共30分）
9．（2021七下·道外期末）方程组的解是 ．
【答案】
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】∵
∴①＋②得x+z=3④，
③-④得，4z=4，
解得z=1，
把z=1代入④，得x=2，
把z=1代入③，得y=-1，
∴原方程组的解为，
故答案为：．
【分析】根据加减消元法将三元转化为二元，再将二元转化为一元，从而解方程组即可.
10．（2021七下·武冈开学考）已知三元一次方程组，则 .
【答案】6
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：，
①+②+③，得
2x+2y+2z＝12，
∴x+y+z＝6，
故答案为：6.
【分析】将方程组中的三个方程相加可得2x+2y+2z＝12，两边同时除以2就可得到x+y+z的值.
11．（2021七下·河北期末）解方程组 时，消去字母z，得到含有未知数x，y的二元一次方程组是 ．
【答案】
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解： ，
①+②得出2x+3y=18④，
②+③得出4x+y=16⑤，
由④和⑤组成方程组 ，
故答案为： ．
【分析】根据题意先得出①+③后的方程，再得到① 2-②的方程，从而得出二元一次方程组。
12．（2022九上·福建竞赛）若正数a，b，c满足abc=1， ，则 .
【答案】
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：由 ，得 ，
因此 ， .
由此可得 ， .
所以
故答案为： .
【分析】联立已知条件可得a、b、c的值，然后代入c+中进行计算即可.
13．（2021七下·和平期末）在等式 y=ax2+bx+c 中，当 x=-1 时， y=0 ；当 x=2 ， y=3 ；当 x=5 时， y=60 ，则a= ，b= ，c= ．
【答案】3；－2；－5
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：根据题意，得 ，
②-①，得 ④；
③-①，得 ⑤．
④与⑤组成二元一次方程组 ，
解这个方程组，得 ，
把 代入①，得 ．
因此 ，
故答案为为3，-2，-5．
【分析】利用三元一次方程组的解法求解即可。
14．（2020·朝阳）已知关于x、y的方程 的解满足 ，则a的值为 .
【答案】5
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解： ，
①+②，得
3x+3y=6-3a，
∴x+y=2-a，
∵ ，
∴2-a=-3，
∴a=5.
故答案为：5.
【分析】①+②可得x+y=2-a，然后列出关于a的方程求解即可.
15．（2020七下·淮阳期末）有A、B、C三种商品，如果购5件A、2件B、3件C共需513元，购3件A、6件B、5件C共需375件，那么购A、B、C各一件共需 元.
【答案】111
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】设购进A商品 x件，B商品y件，C商品z件，
则 ，可得 ，
解得 ，
故答案为：111.
【分析】根据题意设购进A商品 x件，B商品y件，C商品z件，从而列出方程组进行求解即可得解.
16．（2021八下·綦江期末）全球棉花看中国，中国棉花看新疆．新疆长绒棉花是世界顶级棉花，品质优，产量大，常年供不应求．綦江区某超市为了支持新疆棉花，在“五一节”进行促销活动，将新疆棉制成 、 、 三种品牌毛巾混装成甲、乙、丙三种礼包销售，其中甲礼包含1条 品牌毛巾、2条 品牌毛巾；乙礼包含2条 品牌毛巾、2条 品牌毛巾， 2条 品牌毛巾；丙礼包含2条 品牌毛巾、2条 品牌毛巾，每个礼包的售价等于礼包各条毛巾售价之和，5月1日当天，超市对 、 、 三个品牌毛巾的售价分别打8折、 折、 折销售，5月2日恢复原价，小明发现5月1日一个甲礼包的售价等于5月2日一个乙礼包售价的 ，5月1日一个乙礼包的售价比5月2日一个丙礼包售价少2.4元，若 、 、 三个品牌的毛巾原价都是正整数，且 品牌毛巾的原价不超过14元，则小明在5月1日购买的二个甲礼包和一个乙礼包，应该付 元．
【答案】58.4
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设 、 、 三种品牌的毛巾的单价分别为每条 元， 元， 元，则
且 为正整数，
消去 可得：
所以小明在5月1日购买的二个甲礼包和一个乙礼包需要付钱：
（元）
故答案为：58.4元
【分析】设 、 、 三种品牌的毛巾的单价分别为每条 元， 元， 元，根据优惠条件得出5月1日打折后的价格，然后根据题意列出三元一次方程组，消去x，得出z和y的关系式，结合正整数和y≤14的条件求出三种毛巾的价格，最后求小明在5月1日购买的二个甲礼包和一个乙礼包需要付钱数即可.
三、计算题（共6分）
17．（2022七下·西湖期中）
【答案】解：
（2）+（3）得：
5x=2，
∴x=，
由（2）得：
y=x+3z-4 （4），
将（4）代入（1）得：
2x-3（x+3z-4 ）+4z=12，
解得：z=-，
将x=，z=-代入（4）得：
y=-，
∴原方程组的解为：.
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】观察方程组中同一个未知数的系数特点：方程②③中y，z的系数都互为相反数，因此由（2）+（3）消去y，z可求出x的值；然后求出y，z的值，即可得到方程组的解.
四、解答题（共7题，共60分）
18．（2020八下·大庆期中）甲、乙两人同解方程组 ，甲正确解得 ，乙因抄错C解得 ，求A、B、C的值．
【答案】把 代入原方程组，得 ，
把 代入Ax+By=2，得：2A﹣6B=2．
可组成方程组 ，
解得 ．
【知识点】三元一次方程组解法及应用；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】根据方程组的解的定义得到关于A、B、C的方程组，再进一步运用加减消元法求解．
19．现有A,B,C三箱橘子，其中A、B两箱共100个橘子，A、C两箱共102个，B,C两箱共106个，求每箱各有多少个？
【答案】解：设A、B、C三箱橘子数分别是x,y,z,由题意得，
，
解得 .
答：A、B、C三箱各有48、52、54个.
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】设A、B、C三箱橘子数分别是x，y，z，根据题意即可得到三元一次方程组，求出答案即可。
20．若a，b，c表示三角形的三边，此三角形的周长是18，且a+b=2c，b=2a，求三边长.
【答案】解：由题意得：
解得：a＝4，b＝8，c＝6.
经检验符合题意.
∴三边长分别是4，8，6.
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】根据三角形的周长以及a+b=2c，b=2a，即可得到三元一次方程组，解出三个字母的值即可得到答案。
21．有一个三位数，个位数字是百位数字的3倍，十位数字比百位数字大5，若将此数的个位数与百位数互相对调，所得新数比原数的2倍多35，求原数．
【答案】解：根据题意得，
解得，
所以原数为1×100+6×10+3=163．
答：原数为163.
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】根据题意，由题目内容列出三元一次方程组，解出x和y以及z的值，即可得到答案。
22．（2020七上·淮滨期末）某校为了做好大课间活动，计划用400元购买10件体育用品，备选体育用品及单价如下表（单位：元）
备选体育用品 篮球 排球 羽毛球拍
单价（元） 50 40 25
（1）若400元全部用来购买篮球和羽毛球拍共10件，问篮球和羽毛球拍各购买多少件？
（2）若400元全部用来购买篮球、排球和羽毛球拍三种共10件，能实现吗？（若能实现直接写出一种答案即可，若不能请说明理由.）
【答案】（1）解：设购买篮球x件，则购买羽毛球（10-x）件.列式：50x+25（10-x）=400.
解得x=6,所以购买篮球6件，羽毛球4件.
（2）解：设购买篮球x件，购买排球y件，购买羽毛球拍z件.
，把（1）式×50-（2）式=10y+25z=100.（y+z＜10）用列举排除法求值.
当y=1,2,3,4,5…求出当y=5时，z=2.x=3.
【知识点】三元一次方程组解法及应用；一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1） 设购买篮球x件，则购买羽毛球（10-x）件 根据购买篮球的总价+购买羽毛球拍的总价=400即可列出方程，求解即可；
（2） 设购买篮球x件，购买排球y件，购买羽毛球拍z件 ，根据购买篮球数量+购买排球的数量+购买羽毛球拍的数量=10， 购买篮球的总价+购买排球的总价+购买羽毛球拍的总价=400， 列出方程，然后根据x,y,z都是正整数，求出该方程组的正整数解即可.
23．（2021八上·云阳期末）我国古代民间把正月正、二月二、三月三、五月五、六月六、七月七、九月九这“七重”列为吉庆日；“七”在生活中表现为时间的阶段性，比如一周有“七天”……在数的学习过程中，有一类自然数具有的特性也和“七”有关.
定义：对于四位自然数 ，若其千位数字与个位数字之和等于7，百位数字与十位数字之和也等于7，则称这个四位自然数 为“七巧数”.
例如：3254是“七巧数”，因为 ， ，所以3254是“七巧数”； 1456不是“七巧数”，因为 ，但 ，所以1456不是“七巧数”.
（1）若一个“七巧数”的千位数字为 ，则其个位数字可表示为 （用含 的代数式表示）；
（2）最大的“七巧数”是 ，最小的“七巧数”是 ；
（3）若 是一个“七巧数”，且 的千位数字加上十位数字的和，是百位数字减去个位数字的差的3倍，请求出满足条件的所有“七巧数” .
【答案】（1）7-a
（2）7700；1076
（3）解：设m的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，
则 ，
把②③代入①，可得：7-d+7-b=3b-3d，既：4b-2d=14，
∴d=2b-7，
∴百位数字为b，个位数字为2b-7，十位数字为7-b，
∵2b-7≥0且7-b≥0，
∴3.5≤b≤7，
当b=4时，则d=1，a=6，c=3，m=6431，
当b=5时，则d=3，a=4，c=2，m=4523，
当b=6时，则d=5，a=2，c=1，m=2615，
当b=7时，则d=7，a=0，c=0，不符合题意，
∴ 满足条件的所有“七巧数” 为：6431，4523，2615.
【知识点】列式表示数量关系；三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：（1）∵一个“七巧数”的千位数字为 ，
∴其个位数字可表示为：7-a，
故答案为：7-a；
（2）由题意可得：最大的“七巧数”是：7700，最小的“七巧数”是：1076，
故答案为：7700，1076；
【分析】（1）根据七巧数的定义，即可得到答案；
（2）根据七巧数的定义，即可得到答案；
（3）设m的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，根据题意得到a，b，c，d之间的数量关系，进而求出b的范围，即可求解.
24．（2020·扬州）阅读感悟：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数x、y满足 ①， ②，求 和 的值.
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大.其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①②可得 ，由①② 可得 .这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”.
解决问题：
（1）已知二元一次方程组 ，则 ， ；
（2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？
（3）对于实数x、y，定义新运算： ，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算.已知 ， ，那么 .
【答案】（1）-1；5
（2）解：设每支铅笔x元，每块橡皮y元，每本日记本z元，则
①×2，得40x+6y+4z=64③
③-②，得x+y+z=6
∴5(x+y+z)=30
∴购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元
答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元
（3）-11
【知识点】解二元一次方程组；三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：（1）
①-②，得x-y=-1
①+②，得3x+3y=15
∴x+y=5
故答案为：-1，5（3）∵
∴①， ②，
∴②-①，得 ③
∴④
①+②，得 ⑤
⑤-④，得
∴
故答案为：-11
【分析】（1）已知 ，利用解题的“整体思想”，①-②即可求得x-y，①+②即可求得x+y的值；（2）设每支铅笔x元，每块橡皮y元，每本日记本z元，根据题意列出方程组，根据（1）中“整体思想”，即可求解；（3）根据 ，可得 ， ， ，根据“整体思想”，即可求得 的值.
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2023年苏科版数学七年级下册全方位训练卷10.4三元一次方程组
一、单选题（每题3分，共24分）
1．（2020七下·越秀期中）下列方程组中，是三元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2020八上·光明期末）解三元一次方程组 要使解法较为简便，首先应进行的变形为（ ）
A．①+② B．①-② C．①+③ D．②-③
3．（2020八上·郑州开学考）三元一次方程组 ，的解为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022七上·芷江月考）若：，，，则：代数式的值等于（ ）
A． B． C．-15 D．-13
5．（2021七上·浦口月考）设“●■▲”分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也平衡，那么“？”处应放“■”的个数为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
6．（2021七下·射洪月考）在抗击疫情网络知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，学校计划用200元钱购买A、B、C三种奖品，A种每个10元，B种每个20元，C种每个30元，在C种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，购买方案有（ ）
A．12种 B．14种 C．15种 D．16种
7．（2021八上·杭州期末）某宾馆有单人间，双人间，三人间三种客房供游客选择居住，现某旅游团有20名旅客同时安排游客居住在该宾馆，若每个房间都住满，共租了9间客房，则居住方案（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
8．（2021七上·嘉兴期末）小明和小亮在一起探究一个数学活动.首先小亮站立在箱子上，小明站立在地面上（如图1），然后交换位置（如图2），测量的数据如图所示，想要探究的问题有：①小明的身高；②小亮的身高；③箱子的高度；④小明与小亮的身高和.根据图上信息，你认为可以计算出的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
二、填空题（每空3分，共30分）
9．（2021七下·道外期末）方程组的解是 ．
10．（2021七下·武冈开学考）已知三元一次方程组，则 .
11．（2021七下·河北期末）解方程组 时，消去字母z，得到含有未知数x，y的二元一次方程组是 ．
12．（2022九上·福建竞赛）若正数a，b，c满足abc=1， ，则 .
13．（2021七下·和平期末）在等式 y=ax2+bx+c 中，当 x=-1 时， y=0 ；当 x=2 ， y=3 ；当 x=5 时， y=60 ，则a= ，b= ，c= ．
14．（2020·朝阳）已知关于x、y的方程 的解满足 ，则a的值为 .
15．（2020七下·淮阳期末）有A、B、C三种商品，如果购5件A、2件B、3件C共需513元，购3件A、6件B、5件C共需375件，那么购A、B、C各一件共需 元.
16．（2021八下·綦江期末）全球棉花看中国，中国棉花看新疆．新疆长绒棉花是世界顶级棉花，品质优，产量大，常年供不应求．綦江区某超市为了支持新疆棉花，在“五一节”进行促销活动，将新疆棉制成 、 、 三种品牌毛巾混装成甲、乙、丙三种礼包销售，其中甲礼包含1条 品牌毛巾、2条 品牌毛巾；乙礼包含2条 品牌毛巾、2条 品牌毛巾， 2条 品牌毛巾；丙礼包含2条 品牌毛巾、2条 品牌毛巾，每个礼包的售价等于礼包各条毛巾售价之和，5月1日当天，超市对 、 、 三个品牌毛巾的售价分别打8折、 折、 折销售，5月2日恢复原价，小明发现5月1日一个甲礼包的售价等于5月2日一个乙礼包售价的 ，5月1日一个乙礼包的售价比5月2日一个丙礼包售价少2.4元，若 、 、 三个品牌的毛巾原价都是正整数，且 品牌毛巾的原价不超过14元，则小明在5月1日购买的二个甲礼包和一个乙礼包，应该付 元．
三、计算题（共6分）
17．（2022七下·西湖期中）
四、解答题（共7题，共60分）
18．（2020八下·大庆期中）甲、乙两人同解方程组 ，甲正确解得 ，乙因抄错C解得 ，求A、B、C的值．
19．现有A,B,C三箱橘子，其中A、B两箱共100个橘子，A、C两箱共102个，B,C两箱共106个，求每箱各有多少个？
20．若a，b，c表示三角形的三边，此三角形的周长是18，且a+b=2c，b=2a，求三边长.
21．有一个三位数，个位数字是百位数字的3倍，十位数字比百位数字大5，若将此数的个位数与百位数互相对调，所得新数比原数的2倍多35，求原数．
22．（2020七上·淮滨期末）某校为了做好大课间活动，计划用400元购买10件体育用品，备选体育用品及单价如下表（单位：元）
备选体育用品 篮球 排球 羽毛球拍
单价（元） 50 40 25
（1）若400元全部用来购买篮球和羽毛球拍共10件，问篮球和羽毛球拍各购买多少件？
（2）若400元全部用来购买篮球、排球和羽毛球拍三种共10件，能实现吗？（若能实现直接写出一种答案即可，若不能请说明理由.）
23．（2021八上·云阳期末）我国古代民间把正月正、二月二、三月三、五月五、六月六、七月七、九月九这“七重”列为吉庆日；“七”在生活中表现为时间的阶段性，比如一周有“七天”……在数的学习过程中，有一类自然数具有的特性也和“七”有关.
定义：对于四位自然数 ，若其千位数字与个位数字之和等于7，百位数字与十位数字之和也等于7，则称这个四位自然数 为“七巧数”.
例如：3254是“七巧数”，因为 ， ，所以3254是“七巧数”； 1456不是“七巧数”，因为 ，但 ，所以1456不是“七巧数”.
（1）若一个“七巧数”的千位数字为 ，则其个位数字可表示为 （用含 的代数式表示）；
（2）最大的“七巧数”是 ，最小的“七巧数”是 ；
（3）若 是一个“七巧数”，且 的千位数字加上十位数字的和，是百位数字减去个位数字的差的3倍，请求出满足条件的所有“七巧数” .
24．（2020·扬州）阅读感悟：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数x、y满足 ①， ②，求 和 的值.
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大.其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①②可得 ，由①② 可得 .这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”.
解决问题：
（1）已知二元一次方程组 ，则 ， ；
（2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？
（3）对于实数x、y，定义新运算： ，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算.已知 ， ，那么 .
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解： A.4个未知数，不符合题意；
B.2个未知数，不符合题意；
C.有三个未知数，每个方程的次数是1，是三元一次方程组，符合题意；
D.方程的次数为2，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用三元一次方程组的定义判断即可．
2．【答案】A
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：①+②得：2x+y=-2 ④，
④和③组成二元一次方程组.
故A符合题意.
故答案为：A.
【分析】解三元一次方程组的方法就是消元，由①+②消去z，与③组成二元一次方程组，即可得出答案.
3．【答案】D
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】 ，
得 ……④，
得 ，解得 .把 代入①，
得 ，解得 ，把 代入③，
得 ，解得 ，
所以原方程组的解为 .
故答案为：D.
【分析】根据接三元一次方程组的步骤“先将原方程组中的三元化为二元，解二元一次方程组，再求第三个未知数，然后写出结论”计算即可求解.
4．【答案】D
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
由，可得：，
把代入，可得：，
又∵，
∴
.
故答案为：D.
【分析】根据题干给出的两个方程，利用加减消元法，用含z的式子分别表示出x、y，再代入所求的式子，先计算乘方，再计算乘法，进而进而合并，最后约分即可得出答案.
5．【答案】A
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设●、■、▲分别为x，y，z，由（1）（2）可知，
，
由①②可得：，，
∴；
故答案为：A.
【分析】设●、■、▲分别为x，y，z，利用（1）（2）可得方程组据此求出，，再求出x+z的值即可.
6．【答案】B
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设A种买x个，B种买y个，C中买z个，依题意得 ，
得 ，
由于x、y、z只取正整数，所以需使 被2整除且 为正数，且 ，
当 ， ， ，8种，
当 ， ， ，6种，
∴ 的正整数解有14组 . ，
所以购买方案共有14种.
故答案为：B.
【分析】设A种买x个，B种买y个，C中买z个，根据题意列出方程：10x+20y+ 30z =200，变形后根据x、y、z均为正整数，且C种奖品不超过两个分别讨论，确定解的个数，即可得出所有可能的方案数.
7．【答案】C
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设租一人间x间，租二人间y间，租三人间z间，
依题意得： ，
解得：y+2z=11，y=11-2z.
∵x，y，z是正整数，
当z=1时，y=9，x=-1（不符合题意，舍去）；
当z=2时，y=7，x=0（不符合题意，舍去）；
当z=3时，y=5，x=1；
当z=4时，y=3，x=2；
当z=5时，y=1，x=3；
当z=6时，y=-1，x=4；（不符合题意，舍去）,
∴居住方案有3种.
故选C.
【分析】设租一人间x间，租二人间y间，租三人间z间，依题意得： ，然后表示出y与z的关系式，根据x、y、z都为整数即可确定出x、y、z的取值，进而确定居住方案的种类.
8．【答案】C
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设小亮身高为x，小明身高为y，木箱高度为a
根据图1信息，可得：x+a=y+48①
根据图2信息，可得：y+a=x+24②
由①+②可得：x+y+2a=x+y+48+24，解得：a=36
∴箱子的高度可以求出.
故答案为：C.
【分析】设小亮身高为x，小明身高为y，木箱高度为a，根据图1信息得出小亮身高+木箱高度=小明身高+48①，根据图2信息得出小明身高+木箱高度=小亮身高+24②，利用①+②即可求出结论.
9．【答案】
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】∵
∴①＋②得x+z=3④，
③-④得，4z=4，
解得z=1，
把z=1代入④，得x=2，
把z=1代入③，得y=-1，
∴原方程组的解为，
故答案为：．
【分析】根据加减消元法将三元转化为二元，再将二元转化为一元，从而解方程组即可.
10．【答案】6
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：，
①+②+③，得
2x+2y+2z＝12，
∴x+y+z＝6，
故答案为：6.
【分析】将方程组中的三个方程相加可得2x+2y+2z＝12，两边同时除以2就可得到x+y+z的值.
11．【答案】
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解： ，
①+②得出2x+3y=18④，
②+③得出4x+y=16⑤，
由④和⑤组成方程组 ，
故答案为： ．
【分析】根据题意先得出①+③后的方程，再得到① 2-②的方程，从而得出二元一次方程组。
12．【答案】
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：由 ，得 ，
因此 ， .
由此可得 ， .
所以
故答案为： .
【分析】联立已知条件可得a、b、c的值，然后代入c+中进行计算即可.
13．【答案】3；－2；－5
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：根据题意，得 ，
②-①，得 ④；
③-①，得 ⑤．
④与⑤组成二元一次方程组 ，
解这个方程组，得 ，
把 代入①，得 ．
因此 ，
故答案为为3，-2，-5．
【分析】利用三元一次方程组的解法求解即可。
14．【答案】5
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解： ，
①+②，得
3x+3y=6-3a，
∴x+y=2-a，
∵ ，
∴2-a=-3，
∴a=5.
故答案为：5.
【分析】①+②可得x+y=2-a，然后列出关于a的方程求解即可.
15．【答案】111
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】设购进A商品 x件，B商品y件，C商品z件，
则 ，可得 ，
解得 ，
故答案为：111.
【分析】根据题意设购进A商品 x件，B商品y件，C商品z件，从而列出方程组进行求解即可得解.
16．【答案】58.4
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设 、 、 三种品牌的毛巾的单价分别为每条 元， 元， 元，则
且 为正整数，
消去 可得：
所以小明在5月1日购买的二个甲礼包和一个乙礼包需要付钱：
（元）
故答案为：58.4元
【分析】设 、 、 三种品牌的毛巾的单价分别为每条 元， 元， 元，根据优惠条件得出5月1日打折后的价格，然后根据题意列出三元一次方程组，消去x，得出z和y的关系式，结合正整数和y≤14的条件求出三种毛巾的价格，最后求小明在5月1日购买的二个甲礼包和一个乙礼包需要付钱数即可.
17．【答案】解：
（2）+（3）得：
5x=2，
∴x=，
由（2）得：
y=x+3z-4 （4），
将（4）代入（1）得：
2x-3（x+3z-4 ）+4z=12，
解得：z=-，
将x=，z=-代入（4）得：
y=-，
∴原方程组的解为：.
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】观察方程组中同一个未知数的系数特点：方程②③中y，z的系数都互为相反数，因此由（2）+（3）消去y，z可求出x的值；然后求出y，z的值，即可得到方程组的解.
18．【答案】把 代入原方程组，得 ，
把 代入Ax+By=2，得：2A﹣6B=2．
可组成方程组 ，
解得 ．
【知识点】三元一次方程组解法及应用；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】根据方程组的解的定义得到关于A、B、C的方程组，再进一步运用加减消元法求解．
19．【答案】解：设A、B、C三箱橘子数分别是x,y,z,由题意得，
，
解得 .
答：A、B、C三箱各有48、52、54个.
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】设A、B、C三箱橘子数分别是x，y，z，根据题意即可得到三元一次方程组，求出答案即可。
20．【答案】解：由题意得：
解得：a＝4，b＝8，c＝6.
经检验符合题意.
∴三边长分别是4，8，6.
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】根据三角形的周长以及a+b=2c，b=2a，即可得到三元一次方程组，解出三个字母的值即可得到答案。
21．【答案】解：根据题意得，
解得，
所以原数为1×100+6×10+3=163．
答：原数为163.
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】根据题意，由题目内容列出三元一次方程组，解出x和y以及z的值，即可得到答案。
22．【答案】（1）解：设购买篮球x件，则购买羽毛球（10-x）件.列式：50x+25（10-x）=400.
解得x=6,所以购买篮球6件，羽毛球4件.
（2）解：设购买篮球x件，购买排球y件，购买羽毛球拍z件.
，把（1）式×50-（2）式=10y+25z=100.（y+z＜10）用列举排除法求值.
当y=1,2,3,4,5…求出当y=5时，z=2.x=3.
【知识点】三元一次方程组解法及应用；一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1） 设购买篮球x件，则购买羽毛球（10-x）件 根据购买篮球的总价+购买羽毛球拍的总价=400即可列出方程，求解即可；
（2） 设购买篮球x件，购买排球y件，购买羽毛球拍z件 ，根据购买篮球数量+购买排球的数量+购买羽毛球拍的数量=10， 购买篮球的总价+购买排球的总价+购买羽毛球拍的总价=400， 列出方程，然后根据x,y,z都是正整数，求出该方程组的正整数解即可.
23．【答案】（1）7-a
（2）7700；1076
（3）解：设m的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，
则 ，
把②③代入①，可得：7-d+7-b=3b-3d，既：4b-2d=14，
∴d=2b-7，
∴百位数字为b，个位数字为2b-7，十位数字为7-b，
∵2b-7≥0且7-b≥0，
∴3.5≤b≤7，
当b=4时，则d=1，a=6，c=3，m=6431，
当b=5时，则d=3，a=4，c=2，m=4523，
当b=6时，则d=5，a=2，c=1，m=2615，
当b=7时，则d=7，a=0，c=0，不符合题意，
∴ 满足条件的所有“七巧数” 为：6431，4523，2615.
【知识点】列式表示数量关系；三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：（1）∵一个“七巧数”的千位数字为 ，
∴其个位数字可表示为：7-a，
故答案为：7-a；
（2）由题意可得：最大的“七巧数”是：7700，最小的“七巧数”是：1076，
故答案为：7700，1076；
【分析】（1）根据七巧数的定义，即可得到答案；
（2）根据七巧数的定义，即可得到答案；
（3）设m的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，根据题意得到a，b，c，d之间的数量关系，进而求出b的范围，即可求解.
24．【答案】（1）-1；5
（2）解：设每支铅笔x元，每块橡皮y元，每本日记本z元，则
①×2，得40x+6y+4z=64③
③-②，得x+y+z=6
∴5(x+y+z)=30
∴购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元
答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元
（3）-11
【知识点】解二元一次方程组；三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：（1）
①-②，得x-y=-1
①+②，得3x+3y=15
∴x+y=5
故答案为：-1，5（3）∵
∴①， ②，
∴②-①，得 ③
∴④
①+②，得 ⑤
⑤-④，得
∴
故答案为：-11
【分析】（1）已知 ，利用解题的“整体思想”，①-②即可求得x-y，①+②即可求得x+y的值；（2）设每支铅笔x元，每块橡皮y元，每本日记本z元，根据题意列出方程组，根据（1）中“整体思想”，即可求解；（3）根据 ，可得 ， ， ，根据“整体思想”，即可求得 的值.
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