同步备课试题 5-2-3 简单复合函数的导数 人教A版2019选择性必修第二册 （含解析）

5.2.3 简单复合函数的导数（分层作业）（夯实基础+能力提升）
【夯实基础】
一、单选题
1．（2022·新疆和静高级中学高二阶段练习）下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·山东济南·高二期末）函数的导函数（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·重庆·高二期末）函数的导函数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·四川·树德中学高二阶段练习（文））若在R上可导，，则（ ）
A．1 B．－1 C．－2 D．2
5．（2022·陕西·延安北大培文学校高二阶段练习（理））已知某容器的高度为30cm，向容器内注入液体，且容器内液体的高度h（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系式为．当时，液体上升高度的瞬时变化率为2e cm/s，则当时，液体上升高度的瞬时变化率为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·浙江·高二阶段练习）曲线在处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·辽宁锦州·高二期末）某铁球在0℃时，半径为1dm．当温度在很小的范围内变化时，由于热胀冷缩，铁球的半径会发生变化，且当温度为时铁球的半径为，其中为常数，则在时，铁球体积对温度的瞬时变化率为（ ）（参考公式：）
A．0 B． C． D．
二、多选题
8．（2022·广东云浮·高二期末）下列函数求导正确的是（ ）
A．已知，则
B．已知，则
C．已知，则
D．已知，则
三、填空题
9．（2022·全国·高二课时练习）若函数，则______．
10．（2022·广东·雷州市白沙中学高二阶段练习）已知函数，则___________.
11．（2022·北京昌平·高二期末）已知函数，其导函数为，则_____．
12．（2022·重庆长寿·高二期末）已知函数，是的导函数，则__________．
13．（2022·全国·高二专题练习）函数的导数是______．
14．（2022·全国·高二课时练习）求曲线在点处的切线与x轴、直线x＝2所围成的三角形的面积是______．
15．（2022·江西·丰城九中高二期末（理））若，则_____________．参考公式：
四、解答题
16．（2022·全国·高二课时练习）已知函数，其中，求．
17．（2022·全国·高二课时练习）求下列函数的导数．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)．
【能力提升】
一、单选题
1．（2022·全国·高二专题练习）已知函数其图象在点处的切线方程为，则它在点处的切线方程为（　　）
A． B．
C． D．
2．（2022·陕西·西安中学高二期中）函数的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·安徽·安庆市第二中学高二期末）已知函数，则（ ）
A．为偶函数 B．在区间单调递减
C．的最小值为2e D．有1个零点
4．（2022·四川雅安·高二期末（文））若函数，给出下面结论：①时有极大值，②在单调递减，③．其中正确的结论个数（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．（2022·江西·上高二中高二阶段练习（理））已知函数的定义域为，为的导函数，且，，若为偶函数，则下列结论不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·全国·高二专题练习）已知函数，是的导数，则下列命题错误的是（ ）．
A．在区间上是增函数
B．当时，函数的最小值为
C．
D．有2个零点
7．（2022·陕西·长安一中高二期末（理））已知，且，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
8．（2022·福建·莆田一中高二期中）函数及其导函数的定义域均为，且是奇函数，设，，则以下结论正确的有（ ）
A．若的导函数为，定义域为R，则
B．函数的图像关于直线对称
C．的图像关于对称
D．设数列为等差数列，若，则
9．（2022·福建·莆田一中高二期末）已知函数及其导函数的定义域均为R，记，若，均为奇函数，则（ ）
A． B．
C． D．
10．（2022·河北石家庄·高二期末）已知，在处取得最大值，则（ ）．
A． B． C． D．
三、填空题
11．（2022·上海·曹杨二中高二期末）函数的图像在点处的切线的倾斜角为______.
12．（2022·天津市第四十二中学高二期末）若函数，则_________.
13．（2022·广东东莞·高二期末）已知函数满足，则___________.
14．（2022·辽宁·沈阳市第一二〇中学高二期中）设偶函数在上存在导函数，且在点处的切线方程为，则___________.
15．（2022·全国·高二专题练习）双曲正弦函数和双曲余弦函数在工程学中有广泛的应用，也具有许多迷人的数学性质．若直线与双曲余弦函数和双曲正弦函数的图象分别相交于点、，曲线在处的切线与曲线在处切线相交于点，则如下命题中为真命题的有______（填上所有真命题的序号）．
①，；
②；
③点必在曲线上；
④的面积随的增大而减小．
四、解答题
16．（2022·黑龙江·哈师大附中高二期末）设函数．
(1)讨论的单调性；
(2)设，当时，任意，存在使得成立，求实数的取值范围．
17．（2022·四川眉山·高二期末（理））已知函数，，
(1)讨论函数的单调性；
(2)证明：函数在定义域上只有一个零点.
18．（2022·海南·琼海市嘉积第二中学高二期末）已知函数.
(1)当时，求的单调区间；
(2)若对于任意的（为自然对数的底数），恒成立，求的取值范围.
5.2.3 简单复合函数的导数（分层作业）（夯实基础+能力提升）
【夯实基础】
一、单选题
1．（2022·新疆和静高级中学高二阶段练习）下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用基本初等函数、复合函数以及导数的运算法则可判断各选项的正误.
【详解】对于A选项，，A错；
对于B选项，，B错；
对于C选项，，C错；
对于D选项，，D对.
故选：D.
2．（2022·山东济南·高二期末）函数的导函数（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用复合函数求导法则与基本初等函数求导公式即可
【详解】由复合函数求导法则，，
故选：B
3．（2022·重庆·高二期末）函数的导函数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据函数直接求解即可.
【详解】.
故选：D.
4．（2022·四川·树德中学高二阶段练习（文））若在R上可导，，则（ ）
A．1 B．－1 C．－2 D．2
【答案】D
【分析】求出导数，再代值计算即可.
【详解】解：由，可得，
所以，解得.
故选：D.
5．（2022·陕西·延安北大培文学校高二阶段练习（理））已知某容器的高度为30cm，向容器内注入液体，且容器内液体的高度h（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系式为．当时，液体上升高度的瞬时变化率为2e cm/s，则当时，液体上升高度的瞬时变化率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据导数的实际意义求解即可.
【详解】，
当时，，解得，故.
当时，液体上升高度的瞬时变化率为．
故选：C
6．（2022·浙江·高二阶段练习）曲线在处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】对函数求导，代入则得到斜率，再得到点斜式方程.
【详解】对函数求导得,故当时,斜率，
又切线过点，故切线方程为，即
故选：C.
7．（2022·辽宁锦州·高二期末）某铁球在0℃时，半径为1dm．当温度在很小的范围内变化时，由于热胀冷缩，铁球的半径会发生变化，且当温度为时铁球的半径为，其中为常数，则在时，铁球体积对温度的瞬时变化率为（ ）（参考公式：）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【分析】先求得铁球体积关于温度t的表达式，再对其求导，进而即可求得在时，铁球体积对温度的瞬时变化率.
【详解】，
则
则，
即在时，铁球体积对温度的瞬时变化率为
故选：C
二、多选题
8．（2022·广东云浮·高二期末）下列函数求导正确的是（ ）
A．已知，则
B．已知，则
C．已知，则
D．已知，则
【答案】AD
【分析】根据初等函数和复合函数的求导方法计算即可.
【详解】对于A，已知，则，故正确；
对于B，已知，则，故错误；
对于C，已知，则，故错误；
对于D，已知，则，故正确.
故选：AD.
三、填空题
9．（2022·全国·高二课时练习）若函数，则______．
【答案】
【分析】利用导函数四则运算及复合函数求导法则进行计算.
【详解】．
故答案为：
10．（2022·广东·雷州市白沙中学高二阶段练习）已知函数，则___________.
【答案】2
【分析】由复合函数的求导法则求出导函数后，可计算导数值．
【详解】由题意，所以．
故答案为：2．
11．（2022·北京昌平·高二期末）已知函数，其导函数为，则_____．
【答案】
【分析】利用导数求得正确答案.
【详解】.
故答案为：
12．（2022·重庆长寿·高二期末）已知函数，是的导函数，则__________．
【答案】1
【分析】先求出函数的导数，再代入计算.
【详解】，则.
故答案为：1.
13．（2022·全国·高二专题练习）函数的导数是______．
【答案】
【分析】利用复合函数的导数求解.
【详解】，
故答案为：．
14．（2022·全国·高二课时练习）求曲线在点处的切线与x轴、直线x＝2所围成的三角形的面积是______．
【答案】
【分析】先求得切线方程，然后求得围成三角形的面积.
【详解】设，则，∴，
∴曲线在点处的切线方程为，即．
∴切线与x轴的交点是，与直线x＝2的交点是，
∴所围成的三角形的面积为．
故答案为：
15．（2022·江西·丰城九中高二期末（理））若，则_____________．参考公式：
【答案】8
【分析】先求出的解析式，即可求出，则可求出与值，则可求出答案.
【详解】令,则.
所以.即.
所以.
，.
.
所以
故答案为：8.
四、解答题
16．（2022·全国·高二课时练习）已知函数，其中，求．
【答案】
【分析】根据基本初等函数的求导公式及简单复合函数的求导法则即可求解.
【详解】解：因为，
所以．
17．（2022·全国·高二课时练习）求下列函数的导数．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【分析】（1）、（2、（3）、（4）、（5）结合复合函数导数以及导数运算求得函数的导数.
（1）
，.
（2）
，
，.
（3）
，
.
（4）
，
.
（5）
，
．
【能力提升】
一、单选题
1．（2022·全国·高二专题练习）已知函数其图象在点处的切线方程为，则它在点处的切线方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据f(x)在处的切线方程为可得，且，根据f(x)的解析式和导数可求和，从而可求得结果．
【详解】∵在点处的切线方程为，
∴，且，
又，
∴，且，
∴点为，在处切线斜率为，
∴所求切线方程为，即．
故选：A．
2．（2022·陕西·西安中学高二期中）函数的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】首先判断函数的奇偶性，再对函数求导并求出在0处的导数值即可判断作答.
【详解】因为定义域为，
又，
所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A、B，
，
于是得，即函数图象在原点处切线斜率大于0，显然选项C不满足，D满足，
故选：D
3．（2022·安徽·安庆市第二中学高二期末）已知函数，则（ ）
A．为偶函数 B．在区间单调递减
C．的最小值为2e D．有1个零点
【答案】C
【分析】通过函数解析式，根据函数的奇偶性、单调性最小值等性质判断即可.
【详解】的定义域为，，A选项不正确；
当时，，
，， ，即，不满足在区间单调递减，B选项不正确；
因为，所以关于对称，
当时，，令，
因为在单调递增；而在也递增，由复合函数单调性可知，在区间上单调递增，故在处取最小值，C选项正确；
时，，所以，所以没有零点，D选项不正确.
故选：C.
4．（2022·四川雅安·高二期末（文））若函数，给出下面结论：①时有极大值，②在单调递减，③．其中正确的结论个数（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】研究函数的奇偶性、单调性，通过函数图像解决问题.
【详解】，
的定义域为：，且
所以是奇函数，
当x>0时，，由有： ；由有： ；
所以的大致图象为：
故①③正确，②错误.故A，B，D错误.
故选：C.
5．（2022·江西·上高二中高二阶段练习（理））已知函数的定义域为，为的导函数，且，，若为偶函数，则下列结论不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先证明为奇函数，再进行合理赋值逐个分析判断.
【详解】对A：∵为偶函数，则
两边求导可得
∴为奇函数，则
令，则可得，则，A成立；
对B：令，则可得，则，B成立；
∵，则可得
，则可得
两式相加可得：，
∴关于点成中心对称
则，D成立
又∵，则可得
，则可得
∴以4为周期的周期函数
根据以上性质只能推出，不能推出，C不一定成立
故选：C.
【点睛】对于抽象函数的问题，一般通过赋值结合定义分析运算.
6．（2022·全国·高二专题练习）已知函数，是的导数，则下列命题错误的是（ ）．
A．在区间上是增函数
B．当时，函数的最小值为
C．
D．有2个零点
【答案】C
【分析】分类讨论去绝对值，再利用导数、方程以及零点存在唯一性定理进行判断求解.
【详解】当时，，，
∴在区间上严格单调递增，故A选项正确；
当时，，
当且仅当时取到最小值，故B选项正确；
当时，，所以，
所以，
当时，，，
所以，故C选项错误；
当时，，
令，则，
由于，设方程的两根为，，
由有：，，
所以时，，单调递减，
时，，单调递增，且，
又，所以在内只有一个零点．
当时，，
令，则，
令，解得，，
时，，单调递减，
时，，单调递增，
时，，单调递减，
则极大值，极小值，
而，所以在内只有一个零点．
综上，有2个零点，D选项正确．
故选：C．
7．（2022·陕西·长安一中高二期末（理））已知，且，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】通过构造函数，利用函数的单调性以及式子的结构特征进行分析.
【详解】因为，所以，
令，所以，对函数求导：
， 由有：，
由有：，所以在单调递增，在
单调递减，因为，由有：，
故A错误；
因为，所以，由有：，
故D错误；
因为，所以，
因为，所以，所以，故C正确；
令 有：
=，当，.所以
在单调递增，当时，，
即，又，所以，
因为，所以，因为在
内单调递减，所以，即，故B错误.
故选：C.
二、多选题
8．（2022·福建·莆田一中高二期中）函数及其导函数的定义域均为，且是奇函数，设，，则以下结论正确的有（ ）
A．若的导函数为，定义域为R，则
B．函数的图像关于直线对称
C．的图像关于对称
D．设数列为等差数列，若，则
【答案】ACD
【分析】由是奇函数得到是偶函数，为奇函数判断A；根据函数图像的平移伸缩变换，结合图像关于对称判断B；.由，结合为奇函数判断C；由C得到时，，再结合等差数列性质判断D.
【详解】解：因为函数及其导函数的定义域均为，且是奇函数，
所以，，
所以，即，
所以，是偶函数
所以，，
所以，为奇函数，故定义域为R，则，A选项正确；
函数的图像是由函数图像向右平移一个单位，再将横坐标缩短为原来的得到，
因为是偶函数，图像关于对称，
所以函数的图像关于直线对称，故B选项错误；
因为，由为奇函数知为奇函数，图像关于对称，可以看作由按向量平移而得，故C选项正确；
由选项知，当时，，
由等差数列性质，所以，
同理，，；，；
，；，；
，即，故；
所以，，故D选项正确.
故选：ACD
9．（2022·福建·莆田一中高二期末）已知函数及其导函数的定义域均为R，记，若，均为奇函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】对A，根据定义域为R的奇函数的满足在处的值为0判断即可；对B，根据题意不能求出的值；对C，根据奇函数的性质可得的关系；对D，根据为奇函数推导可得，再为奇函数可得的周期为2，再令可得，进而根据周期性判断即可
【详解】对A，因为为奇函数，且定义域为R，故，即，故A正确；
对B，为奇函数则，且无条件推出的值，故B错误；
对C，因为为奇函数，故，即，故C错误；
对D，因为为奇函数，则，故，故，所以，即关于对称.
又为奇函数，故关于对称，结合关于对称有，即.
故，又，所以，即的周期为2.
又，即，所以，即，故D正确；
故选：AD
10．（2022·河北石家庄·高二期末）已知，在处取得最大值，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】利用导数研究函数的单调性与最值.
【详解】因为
由题可知，所以，
所以，，即B正确.
令，因为，所以是增函数，
且，又，所以 ，
即，即C正确.
故选：BC.
三、填空题
11．（2022·上海·曹杨二中高二期末）函数的图像在点处的切线的倾斜角为______.
【答案】##
【分析】先求导，再由导数的几何意义可得，再结合倾斜角的范围求解即可.
【详解】因为，所以，
则，
设直线的倾斜角为，则，
又，
所以，
故答案为：.
12．（2022·天津市第四十二中学高二期末）若函数，则_________.
【答案】2
【分析】利用乘法求导公式和复合函数求导，再求导数值即可.
【详解】解：，，
.
故答案为：2.
13．（2022·广东东莞·高二期末）已知函数满足，则___________.
【答案】
【分析】对求导，再代入进行求解.
【详解】因为，
所以，
则，即.
故答案为：
14．（2022·辽宁·沈阳市第一二〇中学高二期中）设偶函数在上存在导函数，且在点处的切线方程为，则___________.
【答案】
【分析】根据导数的几何意义及偶函数的定义，结合复合函数求导法则即可求解.
【详解】因为在点处的切线方程为，
所以，
因为是偶函数，所以
所以.
故答案为：.
15．（2022·全国·高二专题练习）双曲正弦函数和双曲余弦函数在工程学中有广泛的应用，也具有许多迷人的数学性质．若直线与双曲余弦函数和双曲正弦函数的图象分别相交于点、，曲线在处的切线与曲线在处切线相交于点，则如下命题中为真命题的有______（填上所有真命题的序号）．
①，；
②；
③点必在曲线上；
④的面积随的增大而减小．
【答案】①④
【分析】利用求导法则可判断①；利用指数运算可判断②；求出切线、的坐标，联立两切线方程可得出点的坐标，可判断③的正误；求出的面积关于的表达式，结合函数的单调性可判断④的正误.
【详解】对于①，，
，①对；
对于②，不恒为，②错；
对于③，、，
所以，切线的方程为，
切线的方程为，
联立，解得，即点，
所以，点不在曲线上，③错；
对于④，，点到直线的距离为，则，
所以，的面积随的增大而减小，④对.
故答案为：①④.
四、解答题
16．（2022·黑龙江·哈师大附中高二期末）设函数．
(1)讨论的单调性；
(2)设，当时，任意，存在使得成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)详见解析
(2)
【分析】（1）利用导数来研究函数的单调性，注意对参数进行讨论.
（2）恒成立与能成立问题都利用函数的最值来处理.
（1）
因为函数，
所以函数定义域为： ，且
①当时，，令，令,
所以当时，在上单调递减，在上单调递增；
②当时，，因为，所以当时，
，令，令或，
所以当时，在，上单调递减，在上单调递增；
当时，，
所以当时，在上单调递减；
当时，，令，令
或，
所以当时，在，上单调递减，在上单调递增；
③当时，令，令，
所以当时在上单调递减，在上单调递增.
综上所述，当时在上单调递减，在上单调递增；
当时，在，上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减；
当时，在，上单调递减，在上单调递增.
（2）
由（1）知当时，在上单调递增，
所以，所以原问题，
使得成立，使得成立.
设，则，
所以上单调递减，所以.
所以即.
【点睛】利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．关键是分离参数．
17．（2022·四川眉山·高二期末（理））已知函数，，
(1)讨论函数的单调性；
(2)证明：函数在定义域上只有一个零点.
【答案】(1)详见解析
(2)详见解析
【分析】（1）利用导数研究函数单调性，对参数进行分类讨论.
（2）利用第(1)问的结论，借助函数图像研究零点问题.
（1）
，又，
当时，，所以在上单调递减；
当时，有，或，
有，，所以在，上单调递减，
在上单调递增；
当时，有，或，
有，，所以在，上单调递减，
在上单调递增；
综上，当时， 在上单调递减；
当时，在，上单调递减，在上单调递增；
当时，在，上单调递减，在上单调递增.
（2）
由（1）有：当时， 在上单调递减，
又，，所以在定义域内只有一个零点；
当时，在，上单调递减，在上单调递增，
又，，
，，
所以在定义域内只有一个零点；
当时，在，上单调递减，在上单调递增，
又，，
，，
所以在定义域内只有一个零点.
18．（2022·海南·琼海市嘉积第二中学高二期末）已知函数.
(1)当时，求的单调区间；
(2)若对于任意的（为自然对数的底数），恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)单调递增区间为：和，单调递减区间为：
(2)
【分析】（1）利用导数与单调性的关系.
（2）恒成立问题，利用函数的最值来处理，分类讨论参数，来确定函数的最值.
（1）
当时，，
，
令得或，令得
∴当时，的单调递增区间是和，单调递减区间是.
（2）
的定义域为.
.
①当时，在恒成立，在上单调递增，
∴当时，恒成立，
∴符合题意.
②当时，由解得，由解得，
所以在，上单调递增，在上单调递减.
（i）若，即时，
在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
∴对任意的实数，恒成立，只需，且.
且成立.
∴符合题意.
（ii）若，即时，则在上单调递减，在上单调递增.
∴对任意的实数，恒成立，只需即可，
此时成立，
∴符合题意.
（iii）若，则在上单调递增.
∴对任意的实数，恒成立，只需，
即，
∴符合题意.
综上所述，实数的取值范围是.
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (2)利用导数求函数的最值(极值)． (3)考查数形结合思想的应用．