同步备课试题 5-3-1函数的单调性 人教A版2019选择性必修第二册 （含解析）

5.3.1函数的单调性（分层作业）（夯实基础+能力提升）
【夯实基础】
一、单选题
1．（2022·湖南·湘府中学高二阶段练习）若，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·湖南·怀化市辰溪博雅实验学校高二学业考试）下列函数中，在为减函数的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·陕西·延安北大培文学校高二阶段练习（理））函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·四川·成都市温江区新世纪光华学校高二期中（文））已知函数在上为单调递增函数，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·山东德州·高二期末）函数的部分图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·河北邯郸·高二阶段练习）函数的部分图象如图所示，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·湖南·湘府中学高二阶段练习）已知是函数的导数，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·福建·莆田一中高二期中）若函数，则的一个单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2022·广东·饶平县第二中学高二开学考试）已知函数，则（ ）
A．在单调递增
B．有两个零点
C．曲线在点处切线的斜率为
D．是奇函数
三、填空题
10．（2022·山东·德州市第一中学高二阶段练习）写出一个同时具有下列性质①②的函数___________.
①；②当时，；
11．（2022·新疆和静高级中学高二阶段练习）函数的单调减区间为________.
12．（2022·陕西·延安市第一中学高二阶段练习（理））若函数有三个单调区间，则实数a的取值范围是________．
13．（2022·全国·高二专题练习）已知函数在上是单调函数，则实数的取值范围是_________．
14．（2022·四川·绵阳市开元中学高二期末（理））已知定义在R上的函数的导函数为，且满足，则不等式的解集为__________.
四、解答题
15．（2022·全国·高二课时练习）设函数，求的单调区间．
16．（2022·全国·高二专题练习）讨论下列函数的单调性：
(1)；
(2)；
(3)．
17．（2022·全国·高二课时练习）已知函数，讨论的单调性．
18．（2022·陕西·延安北大培文学校高二阶段练习（理））已知函数．
(1)若，求函数的单调区间；
(2)若函数在上是减函数，求实数的取值范围．
【能力提升】
一、单选题
1．（2022·山东聊城一中高二期中）已知在区间上为单调递增函数，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·湖南师大附中高二阶段练习）已知实数分别满足，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·福建省福州第一中学高二阶段练习）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·江苏省江都中学高二阶段练习）已知函数，若与的图像上分别存在点，使得关于直线对称，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·山东聊城一中高二期中）定义在上的函数是的导函数，且成立，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
6．（2022·全国·高二课时练习）已知函数的定义域为R，其导函数的图象如图所示，则对于任意（），下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022·全国·高二单元测试）已知函数，若，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．当时，
8．（2022·全国·高二课时练习）若函数（e＝2.71828…是自然对数的底数）在的定义域上单调递增，则称函数具有M性质.下列函数中不具有M性质的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
9．（2022·四川省资阳市外国语实验学校高二期中（文））设是函数的导函数，且，则不等式的解集为__________．
10．（2022·全国·高二专题练习）设是定义在R上的奇函数，且，当时，有恒成立，则不等式的解集为 __．
11．（2022·江苏省响水中学高二阶段练习）若关于的不等式有且只有3个正整数解，则实数的取值范围是______．
12．（2022·上海市杨浦高级中学高二期末）若函数在是严格增函数，则实数的最小值是_________.
13．（2022·浙江·杭州市长河高级中学高二期中）若对，，且，都有，则m的最小值是________.
四、解答题
14．（2022·黑龙江·哈尔滨市第一二二中学校高二期末）已知等差数列的公差为，前项和为，现给出下列三个条件：①成等比数列；②③，请你从这三个条件中任选两个解答下列问题：
(1)求的通项公式；
(2)令，其前项和为，若恒成立，求的最小值.
15．（2022·江苏·南京田家炳高级中学高二期中）已知函数.
(1)当时，求函数在点处的切线方程；
(2)若函数在上为增函数，求实数a的取值范围.
16．（2022·湖南·长郡中学高二阶段练习）设函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若函数存在两个零点，证明：.
17．（2022·湖南·衡阳市一中高二阶段练习）已知函数.其中.
(1)若，求单调区间；
(2)若在上恒成立，求的取值范围.
18．（2022·上海市金山中学高二期末）已知函数．
(1)若，求函数的图像在处的切线方程；
(2)若，求函数的单调区间；
(3)若，已知函数有两个相异零点，求证：．
5.3.1函数的单调性（分层作业）（夯实基础+能力提升）
【夯实基础】
一、单选题
1．（2022·湖南·湘府中学高二阶段练习）若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】构造函数，利用导数讨论单调性即可判断A和B，再构造，利用导数讨论单调性即可判断C和D.
【详解】令，则，
令恒成立，
即在定义域单调递增，
且
因此在区间上必然存在唯一使得，
所以当时单调递减，当时单调递增，
故A，B均错误；
令，，
当时，，
∴在区间上为减函数，
∵，∴，即，
∴选项C正确，D不正确.
故选:C.
2．（2022·湖南·怀化市辰溪博雅实验学校高二学业考试）下列函数中，在为减函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据导函数的正负来判断原函数的单调性即可求解.
【详解】对于,,所以在为减函数,对于,,所以在单调递增,,,,,故在单调递增.
故选：A
3．（2022·陕西·延安北大培文学校高二阶段练习（理））函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出导函数，令导函数小于0，即可得到单调递减区间.
【详解】解：由题意，
在中，
当时，解得（舍）或
当即时，函数单调递减
∴单调递减区间为
故选：B.
4．（2022·四川·成都市温江区新世纪光华学校高二期中（文））已知函数在上为单调递增函数，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题设可得在上恒成立，结合判别式的符号可求实数的取值范围.
【详解】，
因为在上为单调递增函数，故在上恒成立，
所以即，
故选：A.
5．（2022·山东德州·高二期末）函数的部分图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据函数的单调性排除求解即可.
【详解】对求导得恒成立,故在上单调递增，A正确.
故选：A.
6．（2022·河北邯郸·高二阶段练习）函数的部分图象如图所示，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由导数与函数单调性的关系判断
【详解】由题意在上单调递减，所以符号不确定
故选：D
7．（2022·湖南·湘府中学高二阶段练习）已知是函数的导数，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设，求出函数的导数，得到在上单调递增，问题等价于，即可解决．
【详解】令，则，
因为，
所以，即，
设，
所以，
因为，
所以，所以在上单调递增，
因为，
所以，
所以等价于，
则，即，解得．
所以不等式的解集是．
故选：C
8．（2022·福建·莆田一中高二期中）若函数，则的一个单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】对函数进行求导，令即可求解
【详解】由可得，
令，解得，
所以的单调递增区间是，
故选：B
二、多选题
9．（2022·广东·饶平县第二中学高二开学考试）已知函数，则（ ）
A．在单调递增
B．有两个零点
C．曲线在点处切线的斜率为
D．是奇函数
【答案】AC
【分析】利用导数研究函数的单调性，结合单调性即可判断零点个数，根据导数的几何意义，以及奇偶性的定义，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】对A：，定义域为，则，
由都在单调递增，故也在单调递增，
又，故当时，，单调递减；当时，，单调递增；故A正确；
对B：由A知，在单调递减，在单调递增，又，
故只有一个零点，B错误；
对C：，根据导数几何意义可知，C正确；
对D： 定义域为，不关于原点对称，故是非奇非偶函数，D错误.
故选：AC.
三、填空题
10．（2022·山东·德州市第一中学高二阶段练习）写出一个同时具有下列性质①②的函数___________.
①；②当时，；
【答案】（答案不唯一）
【分析】结合导数以及函数运算得出正确答案.
【详解】依题意，当时，，
即在区间上为减函数，
且，
对函数，在区间上为减函数，
任取，，符合题意.
故答案为：（答案不唯一）
11．（2022·新疆和静高级中学高二阶段练习）函数的单调减区间为________.
【答案】
【分析】求导，利用导函数小于等于0，即可求解.
【详解】由题意得，令，解得，所以单调递减区间为，
故答案为：
12．（2022·陕西·延安市第一中学高二阶段练习（理））若函数有三个单调区间，则实数a的取值范围是________．
【答案】
【分析】由有两个不相等的实数根求得的取值范围.
【详解】，
由于函数有三个单调区间，
所以有两个不相等的实数根，所以.
故答案为：
13．（2022·全国·高二专题练习）已知函数在上是单调函数，则实数的取值范围是_________．
【答案】
【分析】判断函数导数为开口向下的二次函数，则应满足，即可求解
【详解】，因为函数在上是单调函数，
故只能满足在上恒成立，即，，解得
故答案为:
14．（2022·四川·绵阳市开元中学高二期末（理））已知定义在R上的函数的导函数为，且满足，则不等式的解集为__________.
【答案】
【分析】首先构造函数，根据题意得到在R上为增函数，再将转化为求解即可.
【详解】设，，
因为，所以，即在R上为增函数.
.
因为在R上为增函数，所以，解得.
故答案为：
四、解答题
15．（2022·全国·高二课时练习）设函数，求的单调区间．
【答案】答案见解析
【分析】利用导数判断单调性，分成和两种情况讨论.
【详解】的定义域为，．
若，则，所以在上单调递增．
若，则当时，；当时，．
所以在上单调递减，在上单调递增．
综上所述，当时，函数在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
16．（2022·全国·高二专题练习）讨论下列函数的单调性：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)见解析.
【分析】(1)讨论k的范围，根据的正负判断函数的单调性；
(2)讨论k的范围，根据的正负判断函数的单调性；
(3)讨论a的范围，根据的正负判断函数的单调性.
(1)
∵＝k，
∴时，＞0，在R上是增函数；
时，＜0，在R上是减函数；
时，＝0，没有单调性；
(2)
f(x)的定义域是∪，∵，
∴时，，在，上是减函数；
时，，在，上是增函数；
时，，没有单调性；
(3)
，
当时，
，，单调递增；
，，单调递减﹒
当时，
，，单调递减；
，，单调递增.
17．（2022·全国·高二课时练习）已知函数，讨论的单调性．
【答案】答案见解析
【分析】就分类讨论导数的符号后可得函数的单调区间.
【详解】的定义域为，，
若，则恒成立，故在上为减函数；
若，则当时，，当时，，
故在上为增函数，在上为减函数，
综上，当时，在上为减函数；
当时，在上为增函数，在上为减函数．
18．（2022·陕西·延安北大培文学校高二阶段练习（理））已知函数．
(1)若，求函数的单调区间；
(2)若函数在上是减函数，求实数的取值范围．
【答案】(1)单调递减区间是 ，单调递增区间是 ，
(2)
【分析】(1)先对函数求导，利用导数判断函数的单调区间；
(2)已知函数在上是减函数，可知知恒成立，利用参数分离法,求的最大值即可求解.
【详解】（1）当时，，
，
所以的单调递减区间是 ，单调递增区间是
（2）由函数在上是减函数，知恒成立，
．
由恒成立可知恒成立，则，
设，则，
由，知，
函数在上递增，在上递减，
∴，∴．
【能力提升】
一、单选题
1．（2022·山东聊城一中高二期中）已知在区间上为单调递增函数，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出导函数，推出在区间上恒成立，构造函数，求解函数的最值，从而求出实数的取值范围．
【详解】在区间上为单调递增函数
则在区间上恒成立
即在区间上恒成立
设，
函数在上是减函数，则
所以．
故选：D．
2．（2022·湖南师大附中高二阶段练习）已知实数分别满足，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将变形为，观察可发现这与形式相同，且易知，.构造，求导可得在上单调递增.从而可推出，代入即可得到结果.
【详解】由可得，，则，
即，又，
所以，且，.
令，则，当时，恒成立，
所以，在上单调递增.
又，，，所以.
所以，.
故选：C.
3．（2022·福建省福州第一中学高二阶段练习）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】构造函数，根据其单调性和奇偶性，结合三角函数值的大小关系，即可判断和选择.
【详解】令，其定义域为，且，故为偶函数；
又，令可得，故在上单调递增；
则，
，
又，故.
故选：B.
4．（2022·江苏省江都中学高二阶段练习）已知函数，若与的图像上分别存在点，使得关于直线对称，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由题设令，根据存在性将问题转化为在上有解，参变分离后可求实数的取值范围.
【详解】因为与的图像上分别存在点，使得关于直线对称，
令
则
即在上有解，
即在上有解
即在上有解，
设，，
则，
当时，，故在为增函数，
当时，，故在为减函数，
而，
故在上的值域为，
故
即，
故选：D.
5．（2022·山东聊城一中高二期中）定义在上的函数是的导函数，且成立，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由条件可得，考虑构造函数，结合导数运算公式和导数与函数的单调性的关系由条件证明函数在上的单调递减，再根据函数的单调性比较函数值的大小即可.
【详解】因为时，，
所以可化为，即，设，
则，
所以当时，，
所以函数在上的单调递减，因为，所以
所以，即，
所以，
故选：B.
二、多选题
6．（2022·全国·高二课时练习）已知函数的定义域为R，其导函数的图象如图所示，则对于任意（），下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】由导数的图象，分析原函数的图象，根据原函数图象判断AB选项，根据图象的凹凸性判断CD选项.
【详解】由导函数图象可知， ，且其绝对值越来越小，
因此函数的图象在其上任一点处的切线的斜率为负，并且从左到右，切线的倾斜角是越来越大的钝角，由此可得的图象大致如图所示．
选项A、B中，由的图象可知其割线斜率恒为负数，即与异号，故A正确，B不正确；选项C、D中，表示对应的函数值，即图中点B的纵坐标，表示和所对应的函数值的平均值，即图中点A的纵坐标，显然有，
故C不正确，D正确．
故选：AD．
7．（2022·全国·高二单元测试）已知函数，若，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．当时，
【答案】AD
【分析】构造函数，根据其单调性可判断A，构造函数可判断B，构造函数可判断C，当时，函数单调递增，然后可得，然后结合A可判断D.
【详解】设，函数单调递增，
∵，∴，即，∴，A正确；
设，∴，不是恒大于等于零，B错误；
设，则，不是恒小于等于零，C错误；
∵，∴，函数单调递增，
∴，
∴，又，
∴，D正确．
故选：AD．
8．（2022·全国·高二课时练习）若函数（e＝2.71828…是自然对数的底数）在的定义域上单调递增，则称函数具有M性质.下列函数中不具有M性质的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】由指数函数单调性及导数与单调性的关系对选项逐一判断
【详解】对于A，在R上单调递增，故函数具有M性质；
对于B，，令，则，
所以当或时，，当时，，
所以在和上单调递增，在上单调递减，故函数不具有M性质；
对于C，在R上单调递减，故函数不具有M性质；
对于D，，令，，
当，时，，所以不具有M性质.
故选：BCD
三、填空题
9．（2022·四川省资阳市外国语实验学校高二期中（文））设是函数的导函数，且，则不等式的解集为__________．
【答案】
【分析】根据构造函数，求导后根据导数正负确定函数单调性，利用函数单调性解不等式.
【详解】令，则，
，，
在上单调递减，
由可得，
即，，解得.
故不等式的解集为.
故答案为：
10．（2022·全国·高二专题练习）设是定义在R上的奇函数，且，当时，有恒成立，则不等式的解集为 __．
【答案】．
【分析】由＜0，构造函数，分析奇偶性，单调性，不等式等价于，即可得出答案.
【详解】由，构造函数，
因为是定义在R上的奇函数，所以为偶函数，
又当时，为减函数，且，
因为，解得，
由，解得或，
不等式等价于，
即或，解得或，
故答案为：．
11．（2022·江苏省响水中学高二阶段练习）若关于的不等式有且只有3个正整数解，则实数的取值范围是______．
【答案】
【分析】由原不等式变形为不等式，引入新函数，由导数研究函数的单调性做出函数大致图象，数形结合求解即可．
【详解】由，不等式可化为，
设，则，
当时，，递增，当或时，，递减，
当时，，当时，，
为过定点的动直线，在同一坐标系内做出函数的大致图象，如图，
不等式有且只有3个正整数解，结合图象可知，只需满足，解得.
即当时，有且只有3个正整数解1,2,3.
故答案为: ．
12．（2022·上海市杨浦高级中学高二期末）若函数在是严格增函数，则实数的最小值是_________.
【答案】1
【分析】由题意求导，化单调性为导数的正负问题，再参变分离利用不等式即可求出答案.
【详解】，
，
函数在是严格增函数，
在上恒成立，
即在上恒成立，
，
，
时在上恒成立，
实数的最小值为：1.
故答案为：1.
13．（2022·浙江·杭州市长河高级中学高二期中）若对，，且，都有，则m的最小值是________.
【答案】1
【分析】根据题意整理可得：，理解可得：在上单调递减，即在上恒成立，结合参变分离运算求解.
【详解】∵，则
由题意可得：，即
∴在上单调递减，则在上恒成立
即在上恒成立，则，即m的最小值是1
故答案为：1.
四、解答题
14．（2022·黑龙江·哈尔滨市第一二二中学校高二期末）已知等差数列的公差为，前项和为，现给出下列三个条件：①成等比数列；②③，请你从这三个条件中任选两个解答下列问题：
(1)求的通项公式；
(2)令，其前项和为，若恒成立，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）选择①②，①③或②③，利用等比中项的性质、等差数列的通项公式和前项和公式将已知条件转化为关于和的方程，解方程求出和的值即可得的通项公式；
（2）由（1）知：，利用等差数列前项和公式求出，进而得到，再利用导数判断的单调性，求出，可得答案.
【详解】（1）由①成等比数列可得：，即，
整理可得：，
由②可得即，
由③可得：，可得：，
若选①②：由，可得，所以，
若选①③：由可得，所以，
若选②③：由可得，所以，
综上所述：的通项公式为
（2）由（1）知：，故，
恒成立，则，
，令，
则，
故在上单调递增，在上单调递减；
令，又，故对于，当时，
，当时，，，
故时，有最大值，
此时，，
由，有.
故的最小值为.
15．（2022·江苏·南京田家炳高级中学高二期中）已知函数.
(1)当时，求函数在点处的切线方程；
(2)若函数在上为增函数，求实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）由导数的几何意义得出函数在点处的切线方程；
（2）由在上恒成立，得出实数a的取值范围.
【详解】（1）当时，，所以，所以，
所以切线方程为，即
（2）因为在上为增函数，所以在上恒成立，
所以，即，
所以实数a的取值范围为
16．（2022·湖南·长郡中学高二阶段练习）设函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若函数存在两个零点，证明：.
【答案】(1)当时，在区间上单调递减；
当时在区间上单调递减，在区间上单调递增
(2)证明见解析.
【分析】（1）求出函数的导数，分类讨论a的取值范围，根据导数的正负，即可得答案;
（2）利用函数零点可得，，整理变形可得，换元令，得，结合，需证明，由此构造函数，利用导数即可证明结论.
【详解】（1）由于，则定义域为 ，
可得：，
当时，∵，∴，故在区间上单调递减；
当时，∵，∴由可得，由得，
故在区间上单调递减，在区间上单调递增.
（2）证明：∵，，，不妨设，
则有，，
两式相加得，相减得，
消去得：，
令，则，
要证，即证，也就是要证，即证，
令，
∵
∴在上为增函数，，即成立，故.
【点睛】关键点点睛：利用导数证明关于函数零点的不等式问题，关键在于正确地变式消去参数，进而构造函数，本题中利用，，将两式相加减，进而消去a，可得，换元令，得，进而根据，需证，从而构造函数，解决问题.
17．（2022·湖南·衡阳市一中高二阶段练习）已知函数.其中.
(1)若，求单调区间；
(2)若在上恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减区间为；
(2).
【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的正负即可求得函数的单调区间.
（2）将在上恒成立，转化为恒成立，由此构造函数，.分类讨论a的取值范围，利用导数判断函数单调性，判断不等式是否能成立，即可得答案.
【详解】（1）若，，令,所以，
令,则，
所以的单调增区间为，单调递减为.
（2）时，要使即恒成立，
则，即恒成立，
令，.
令，即，故，.
①当时，，在单调递减，，不成立；
②当时，由，得或（舍），
（i）当时，即时，在单调递减，在单调递增，
，则在上，不成立.
（ii）当，即时，设，
则，令，
即，而，在上单调递增，，
，即恒成立，
综上所述：的取值范围是.
【点睛】难点点睛：本题难点在于根据不等式恒成立求参数的范围问题时，要能够进行合理变式，即，从而构造函数，在判断该不等式是否能恒成立时，要进行分类讨论，特别是当时，要再次构造函数，利用导数判断函数单调性，进而判断不等式能否成立．
18．（2022·上海市金山中学高二期末）已知函数．
(1)若，求函数的图像在处的切线方程；
(2)若，求函数的单调区间；
(3)若，已知函数有两个相异零点，求证：．
【答案】(1)
(2)答案见解析.
(3)证明见解析.
【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；
（2）根据题意，分和两种情况讨论求解即可；
（3）由题知，方程有两个不相等的实数根，进而得，再不妨令，进而将问题转化为证明，故令，进一步转化为证明，成立，再构造函数证明不等式即可.
【详解】（1）解：当时，函数，，
所以，，
所以函数的图像在处的切线方程为，即.
所以，函数的图像在处的切线方程为
（2）解：当时，，定义域为，
所以，，
所以，时，在上恒成立，故在上单调递增，
当时，令得，
所以，当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
综上，时，在上单调递增；
时，在上单调递增，在上单调递减.
（3）解：由题知，，
因为函数有两个相异零点，且
所以且，，即，
所以，方程有两个不相等的实数根，
令，则，
故当时，，时，，
所以，在上单调递减，在上单调递增，
因为，
所以，要使方程有两个不相等的实数根，则.
不妨令，则
所以，，
要证，只需证，即证：
因为，
所以，只需证，
只需证，即
故令，
故只需证，成立，
令
则，
在恒成立，
所以，在上单调递增，
因为，
所以在恒成立，
所以，在上单调递增，
所以，，即，成立，
所以，成立.
【点睛】本题第三问解题的关键在于根据题意，将问题转化为证明，进而令，再构造函数证明成立即可.