2023年苏科版数学八年级下册全方位训练卷9.5三角形的中位线
一、单选题（每题3分，共24分）
1．（2022八下·盐城期末）如图，D、E、F是△ABC各边的中点，若△ABC的周长为12，则△DEF的周长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D、E、F分别为△ABC三边的中点，
∴DE、DF、EF都是△ABC的中位线，
∴BC=2DF，AC=2DE，AB=2EF，
故△ABC的周长=AB+BC+AC=2（DF+FE+DE）=12，
则DF+FE+DE=12×=6.即△DEF的周长为6.
故答案为：C.
【分析】根据三角形中位线定理可得BC=2DF，AC=2DE，AB=2EF，从而得出△ABC的周长=AB+BC+AC=2（DF+FE+DE）=12，继而得解.
2．（2022八下·江都期中）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，，，点E为BC的中点，则OE的长为（ ）
A．2.5 B．3 C．5 D．6
【答案】A
【知识点】勾股定理；菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴OC=OA==4， OB=OD==3， ∠BOC=90°．
∴AB==5．
∵点E为AB中点，O为AC的中点
∴OE是ABC的中位线，
∴OE=AB=．
故答案为：A.
【分析】根据菱形的性质可得OC=OA=AC=4， OB=OD=BD=3， ∠BOC=90°，利用勾股定理可得AB，由题意可得OE是△ABC的中位线，则OE=AB，据此计算.
3．（2022八下·连云期中）若顺次连接四边形各边中点所得的四边形是菱形，则原四边形（ ）
A．一定是矩形 B．一定是菱形
C．对角线一定互相垂直 D．对角线一定相等
【答案】D
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，根据题意得：四边形EFGH是菱形，点E，F，G，H分别是边AD，AB，BC，CD的中点，
∴EF＝FG＝GH＝EH，BD＝2EF，AC＝2FG，
∴BD＝AC.
∴原四边形一定是对角线相等的四边形.
故答案为：D.
【分析】根据题意画出示意图，由菱形的性质可得EF＝FG＝GH＝EH，根据中位线的性质可得BD＝2EF，AC＝2FG，则BD＝AC，据此判断.
4．（2021八下·苏州期末）如图，A、B两地被池塘隔开，小强通过下面的方法估测出A、B间的距离：先在AB外选一点C，然后步测出AC、BC的中点D、E，并且步测出DE长，由此推算出AB长.若步测DE的长为50m，则A、B间的距离是（ ）
A．25m B．50m C．75m D．100m
【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D、E分别是AC、BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
根据三角形的中位线定理，得：AB=2DE=100m.
故答案为：D.
【分析】根据三角形的中位线定理，得AB=2DE，即得结论.
5．（2020八下·江都期中）如图，在四边形 中， 分别是 的中点，要使四边形 是矩形，则四边形 只需要满足一个条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】矩形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】当AC⊥BC时，四边形EFGH是矩形，
∵AC⊥BC，GH∥AD，EH∥BC，
∴EF⊥EH，
即∠FEH=90°
∴四边形EFGH是矩形
故答案为：D
【分析】根据“有一内角为直角的平行四边形是矩形”来推断.由三角形中位线定理和平行四边形的判定定理易推知四边形EFGH是平行四边形，若FE⊥EH或者EG=FH就可以判定四边形EFGH是矩形.
6．（2020八下·洪泽期中）如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AB=3， ，点M、N分别为线段BC、AB上的动点，点E、F分别为DM、MN的中点，则EF长度的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】连接BD、ND，
由勾股定理得，BD= =4，
∵点E、F分别为DM、MN的中点，
∴EF= DN，
当DN最长时，EF长度的最大，
∴当点N与点B重合时，DN最长，
∴EF长度的最大值为 BD=2，
故答案为：A.
【分析】连接BD、ND，由勾股定理得可得BD=4，由三角形中位线定理可得EF= DN，当DN最长时，EF长度的最大，即当点N与点B重合时，DN最长，由此即可求得答案.
7．（2020八下·灌云月考）如图所示，在四边形 中，点 是对角线 的中点，点 、 分别是 、 的中点， ， ，则 的度数是（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵点Ｐ是BD的中点，点 、 分别是 、 的中点
∴PF、PE分别是 ， 的中位线
∴
∴
∴
∴ 是等腰三角形，即
∵
∴
故答案为：D
【分析】根据中位线定理和题中给定的相就条件，易证明 是等腰三角形，由此可得出结论.
8．（2022八上·莱州期末）如图所示，吴伯伯家一块等边三角形的空地ABC，已知点E，F分别是边AB，AC的中点，量得EF=5米，他想把四边形BCFE用篱笆围成一圈放养小鸡，则需要篱笆的长是（ ）
A．15米 B．20米 C．25米 D．30米
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点E，F分别是边AB，AC的中点，EF=5米，
∴BC=2EF=10米，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，
∴BE=CF=BC=5米，
∴篱笆的长=BE+BC+CF+EF=5+10+5+5=25米．
故答案为：C．
【分析】利用中位线的性质可得BC=2EF=10米，再求出BE=CF=BC=5米，最后求出篱笆的长即可。
二、填空题（每题3分，共24分）
9．（2022八下·邗江期末）如图，点E在平行四边形ABCD的边AD上，且AE＝2ED，M、N分别是BE、CE的中点，连接MN，已知MN＝3，则AE的长是 .
【答案】4
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵M、N分别是BE、CE的中点，
∴BC＝2MN＝6，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝6，
∵AE＝2ED，
∴
故答案为：4.
【分析】由题意可得：MN为△EBC的中位线，则BC＝2MN＝6，根据平行四边形的性质可得AD＝BC＝6，由已知条件可知AE＝2ED，则AE=AD，据此计算.
10．（2022八下·常熟期末） 如图，，分别为矩形的边，的中点，连接，，.已知，，则的长为 .
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接BD、AF，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，，
∴，，
∵E，F分别为矩形ABCD的边CD，BC的中点，
∴，
设，则，
∵，
∴在Rt△ADE中、Rt△CEF中、Rt△AEF中、Rt△ABF中，由勾股定理可得：
，
∴由①②可得：，
解得：（负根舍去），
∴；
故答案为：.
【分析】连接BD、AF，由矩形性质得BD=AC，∠ADC=∠ECF=90°，CD=AB，由三角形中位线定理“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”可得EF=BD，设ED=CE=a，CF=BF=b，在Rt△ADE中、Rt△CEF中、Rt△AEF中、Rt△ABF中，由勾股定理可求得a的值，然后根据AB=2a可求解.
11．（2021八下·梁溪期末） 中， 分别为 的中点，若 则
【答案】6
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点M、N分别是AB、AC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴BC＝2MN＝2×3＝6.
故答案为：6.
【分析】由题意可得MN是△ABC的中位线，然后根据中位线的性质进行解答.
12．（2021八下·丹徒期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10 cm，BC＝8cm，点D在边AB上，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为E，点F是BC的中点，则EF＝ cm.
【答案】2
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：在 中， ， ，
∴ .
∴ ，
∴ .
∵ ，
∴ ，即点 为 的中点，
∵点 是 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ .
故答案为：2.
【分析】首先由勾股定理求出AC的值，进而求得BD的值，由等腰三角形的性质可得CE=DE，推出EF为△CBD的中位线，然后结合中位线的性质进行求解.
13．（2021八下·江都期末）如图，A，B两点被池塘隔开，不能直接测量其距离.于是小明在岸边选一点C，连接CA，CB，分别延长到点M，N，使AM=AC，BN=BC，测得MN=20m，则A，B间的距离为 m.
【答案】10
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵AM=AC，BN=BC
∴A、B分别为CM、CN的中点，
∴AB为△CMN的中位线，
∴MN＝2AB，
∴AB= m，
故答案为：10.
【分析】先得出AB为△CMN的中位线，根据三角形中位定理可得AB= m.
14．（2021八下·江阴期末）如图，在平行四边形 中，对角线 、 相交于点 ， ， 是 边的中点， 、 为 上的点，连接 和 ，若 ， ， ，则图中阴影部分的面积为 .
【答案】84
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接OE，设OG与EF相交于点H，过点A作AP⊥BC于点P，交OE于点Q，如图所示.
∵AB=AC，AP⊥BC，
∴
∴
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC.
∵EA=EB，
∴OE是 的中位线.
∴OE∥BC且
即 是等腰三角形.
∵OE∥BC，
∴∠AQE=∠APB=90°.
∴AP⊥OE于点Q.
∴
∴
连接EG，OF，
∵OE∥GF，OE=GF=7，
∴四边形OEGF是平行四边形.
∴HE=HF，HO=HG.
∵PQ=AP-AQ=24-12=12，
∴
∴
∴
故答案为：84.
【分析】连接OE，设OG与EF相交于点H，过点A作AP⊥BC于点P，交OE于点Q，由等腰三角形的性质可得BP的值，由勾股定理可得AP的值，由平行四边形的性质可得OA=OC，结合EA=EB可得OE是△ABC的中位线，得到OE∥BC，借助平行线的性质以及等腰三角形的性质可得到△AEO为等腰三角形，求出EQ、AQ的值，得到S△AEO，连接EG，OF，则四边形OEGF是平行四边形，HE=HF，HO=HG，求出PQ的值，得到S平行四边形OEGF、S△OEH的值，最后根据面积间的和差关系进行求解.
15．（2021八下·鼓楼期末）在 中， ， ， ，点 在 边上，点 为 边上的动点，点 、 分别为 ， 的中点，则 的最小值是 .
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接CM，
∵点D、E分别为CN，MN的中点，
∴DE= CM，
当CM⊥AB时，CM的值最小，此时DE的值也最小，
由勾股定理得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： .
【分析】连接CM，根据三角形中位线定理可得DE= CM，当CM⊥AB时，CM的值最小，此时DE的值也最小.由勾股定理求出AB=5，由，可求出CM，即得DE的最小值.
16．（2021八下·海州期末）如图，已知点 在正方形 的边 上，以 为边向正方形 外部作正方形 ，连接 ， 、 分别是 、 的中点，连接 .若 ， ，则 .
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接CF，
∵正方形ABCD和正方形BEFG中，AB=7，BE=5，
∴GF=GB=5，BC=7，
∴GC=GB+BC=5+7=12，
∴CF= ，
∵M，N分别是DC，DF的中点，
∴MN= CF= ；
故答案为： .
【分析】连接CF，由正方形的性质可得GF=GB=5，BC=7，从而求出GC=GB+BC=12，利用勾股定理求出CF=13，根据三角形中位线定理可得MN= CF= .
三、解答题（共10题，共72分）
17．（2020八下·秦淮期末）如图，四边形ABCD是菱形，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，连接EF、FG、GH、HE.求证：四边形EFGH是矩形.
【答案】证明：连接AC、BD，AC与BD相交于点O，AC与EH相交于点P.
∵E、F分别是边AB、BC的中点，
∴EF∥AC，EF＝ AC.
同理GH∥AC，GH＝ AC.
∴EF∥GH，EF＝GH.
∴四边形EFGH是平行四边形.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，即∠AOB＝90°.
∵E、H分别是边AB、AD的中点，
∴EH∥BD.
∴∠APE＝∠AOB＝90°.
∵EF∥AC，
∴∠FEH＝∠APE＝90°.
∴四边形EFGH是矩形.
【知识点】菱形的性质；矩形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】连接AC、BD，根据菱形的性质得到AC⊥BD，根据三角形中位线定理和平行四边形的判定定理证明四边形EFGH是平行四边形，根据三角形中位线定理证明∠FEH＝∠APE＝90°，得到答案.
18．（2019八下·邳州期中）
如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB且交BC于点E，交AD于点F，连接AE、BF交于点M，连接CF、DE交于点N，连接MN.试探讨MN与AD的大小关系和位置关系，并加以证明.
【答案】MN= AD，MN∥AD；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD，AD∥BC，
∵EF∥AB，∴EF∥CD
∴四边形ABEF、四边形EFDC均是平行四边形，
∴AM=EM，FN=CN，
∴MN是△AED的中位线，
∴MN= AD，MN∥AD.
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】可分别证明四边形ABEF，ECDF均为平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，可得MN为△AED的中位线.
19．（2019八下·苏州期中）如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是BD、AC的中点且AB=CD,则EF与GH有怎样的关系？请说明你的理由.
【答案】解：EF⊥GH，理由如下：
∵E、H分别是AD、AC的中点，∴EH= CD
∵G、F分别是BD、BC的中点,∴FG= CD,
故EH=FG= CD,，
同理可得GE=FH= AB，
∵CD=AB,
∴EH=FG=GE=FH，
∴四边形GEHF是菱形，
∵GH、EF是菱形GEHF的对角线，
故EF⊥GH.
【知识点】菱形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】根据三角形中位线定理可得EH= CD，FG= CD,从而可得EH=FG= CD,同理可得GE=FH= AB ，由CD=AB,可得EH=FG=GE=FH，利用四条边相等可证四边形GEHF是菱形，利用菱形的性质可得EF与GH的位置关系.
20．（2022八下·无为期末）如图，在中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，，，求四边形DECF的周长．
【答案】解：∵D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，，，
∴，，
∴四边形DECF的周长．
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【分析】利用三角形中位线的性质可得，，再利用四边形的周长公式计算即可。
21．（2022八下·大丰期中）如图，DE是△ABC的中位线，过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F．
（1）求证：BC＝DF；
（2）连接CD、AF，当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是矩形，请说明理由．
【答案】（1）证明：∵DE是△ABC的中位线，
∴2DE＝BC，DE∥BC，
∵CF∥AB，
∴四边形DBCF是平行四边形，
∴BC=DF；
（2）解：当BC＝AC时，四边形ADCF是矩形，理由如下：
∵DE是△ABC的中位线，
∴DB＝AD，
∵四边形DBCF是平行四边形，
∴DB＝CF，
∴AD＝CF，
∵AB∥CF，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵BC＝AC，BC=CF，
∴AC=DF，
∴平行四边形ADCF是矩形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据中位线的性质可得2DE＝BC，DE∥BC，结合CF∥AB，推出四边形DBCF是平行四边形，据此证明；
（2）根据中位线的性质可得DB＝AD，由平行四边形的性质可得DB＝CF，则AD＝CF，结合CF∥AB推出四边形ADCF是平行四边形，结合BC＝AC，BC=CF可得AC=DF，然后根据矩形的判定定理进行解答.
22．（2022八下·威县期末）如图，在中，点D，点E分别是边AC，AB的中点，点F在线段DE上，交BC于点G．
（1）证明：四边形EFGB是菱形；
（2）若，求DF的长度．
【答案】（1）解：∵点D，点E分别是边AC，AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴，∵，
∴四边形BEFG是平行四边形，
∵∠AFB=90°，点E是AB的中点，
∴FE=BE=AB，∴四边形EFGB是菱形；
（2）解：∵点D，点E分别是边AC，AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，∴DE=BC=×19=
在△ABF中，∵∠AFB=90°，∴AF2+BF2=AB2，
∵AF=5，BF=12， ∴AB=13
∴EF=AB=×13= ，
∴DF=DE－EF=－=3
【知识点】菱形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）利用菱形的判定方法证明求解即可；
（2）先求出 DE是△ABC的中位线， 再求出 AF2+BF2=AB2， 最后计算求解即可。
23．（2022八下·定远期末）如图，在 ABCD中，点E在边AD上，连接EB并延长至F，使BF＝BE；连接EC并延长至G，使CG＝CE，连接FG，点H为FG的中点，连接DH，AF．
（1）若∠BAE＝70°，∠DCE＝20°，求∠DEC的度数；
（2）求证：四边形AFHD为平行四边形．
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAE＝∠BCD＝70°，AD∥BC，
∵∠DCE＝20°，AB∥CD，
∴∠CDE＝180°﹣∠BAE＝110°，
∴∠DEC＝180°﹣∠DCE﹣∠CDE＝50°；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵BF＝BE，CG＝CE，
∴BC是△EFG的中位线，
∴BC∥FG，BC＝FG，
∵H为FG的中点，
∴FH＝FG，
∴BC∥FH，BC＝FH，
∴AD∥FH，AD＝FH，
∴四边形AFHD是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质计算求解即可；
（2）先求出 BC是△EFG的中位线， 再求出 FH＝FG， 最后证明即可。
24．（2021八下·兴化期末）如图1，在四边形 中， 、 、 、 分别是 、 、 、 的中点.
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）如图2，延长 、 相交于点 ，连接 、 、 ，若 ，求四边形 的面积.
【答案】（1）证明： 分别是 的中点，
，
同理可得： ，
，
四边形 是平行四边形
（2）解：如图，连接 ，
分别是 的中点，
，
（同底等高），
同理可得： ，
，
又 是 的中点，
，
（等底同高），
，
同理可得： ，
即四边形 的面积为4.
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）易得EG为△ABD的中位线，则EG=AB，EG∥AB，同理可得FH=AB，FH∥AB，推出EG=FH，EG∥FH，然后根据平行四边形的判定定理进行证明；
（2） 连接PE、AG、BH、DH，易得EG∥AB，则S△AEG=S△PEG，同理可得S△DEH=S△PEH，然后根据面积间的和差关系可得四边形AGHD的面积，由线段中点的概念可得BG=DG，则S△AEG=S△ADG，S△HEG=S△HDG，据此可得四边形ABHD的面积，进而求得四边形ABCD的面积.
25．（2021八下·姜堰期中）如图，已知四边形ABCD是正方形.
（1）如图1，若E、F、G分别是AB、BC、CD边上的点，AF和EG交于点O.现在提供三个关系：①AF⊥EG；②AO＝FO；③AF＝EG.从三个关系中选择一个作为条件，一个作为结论，形成一个真命题，完成下列填空并证明：你选择的条件是 ，结论是 .（只要填写序号）.
（2）如图2，点E、F分别在AD、AB上，BE⊥CF，垂足为点O，连接EF、EC，M、N分别是BF、CE的中点，MN分别交BE、CF于点G、H，求证：OG＝OH；
（3）如图3，AB＝3cm，E为CD边上一点，∠DAE=30°，O为AE的中点，过点O的直线分别交AD、BC于点M、N，若MN＝AE，请直接写出AM的长.
【答案】（1）①；③
（2）证明：取EF中点Q，连接QN，QM，
∴
由（1）知当BE⊥CF时BE=CF，
∴NQ=MQ，∠QNM=∠QMN，
∵∠QMN=∠OGH，∠QNM=∠OHG，
∴∠OGH =∠OHG，
∴OG＝OH；
（3）解：AM=2，
过M作MK⊥BC，
由（1）同理可证△MNK △AED，
∴AE⊥MN，∠AOM=90°，
∵AB=3，∠DAE=30°，
∴AD=3，
设DE=x，AE=2x，
则根据勾股定理可得： ， ，
∵O为AE中点，
∴ ，
同理可得：AM=2.
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定（AAS）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】（1）①；③
证明：过点G作GH⊥AB于H，
由题意知GH=AD=AB，∠GHE=∠B=90°，有∠BAF+∠AFB=90°，
∵AF⊥GE，
∴∠AOE=90°，
∴∠BAF+∠AEG=90°，
∴∠AFB=∠AEG，
∴△AFB △GEH（ASA），
∴AF=EG；
【分析】（1）条件为①，结论为③，过点G作GH⊥AB于H，利用正方形的性质及垂直的定义可证得∠CHE=∠B=90°，同时可证得HG=AB；再利用余角的性质可证得∠AFB=∠AEG；然后利用AAS证明△AFB≌△GEH，利用全等三角形的对应边相等，可证得结论.
（2）取EF中点Q，连接QN，QM，利用三角形的中位线定理可知QM是△BFE的中位线，QN是△CEF的中位线，可推出2QM=BE，2QN=CF，QM∥BE，QN∥CF；由（1）可知CF=BE，由此可推出QM=QN，同时可证得∠QNM=∠QMN，利用平行线的性质去证明∠OGH =∠OHG；然后利用等角对等边可证得结论.
（3）利用已知条件易证△MNK≌△AED，利用全等三角形的性质去证明∠AOM=90°，利用正方形的性质可求出AD的长，再利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，设DE=x，AE=2x，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出AE，DE的长，利用线段中点的定义求出AO的长，在Rt△AOM中，利用勾股定理求出AM的长.
26．（2020八下·秦淮期末）我们知道，平行四边形的对边平行且相等.利用这一性质，可以为证明线段之间的位置关系和数量关系提供帮助.
（1）重温定理，识别图形
如图①，我们在探究三角形中位线DE和第三边BC的关系时，所作的辅助线为“延长DE到点F，使EF＝DE，连接CF”，此时DE与DF在同一直线上且DE= DF，又可证图中的四边形 为平行四边形，可得BC与DF的关系是 ，于是推导出了“DE BC，DE＝ BC”.
（2）寻找图形，完成证明
如图②，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，△BEH是等腰直角三角形，∠EBH＝90°，连接CF、CH.求证CF＝ BE.
（3）构造图形，解决问题
如图③，四边形ABCD和四边形AEFG都是菱形，∠ABC＝∠AEF＝120°，连接BE、CF.直接写出CF与BE的数量关系.
【答案】（1）DBCF；
（2）解：在正方形ABCD和等腰直角三角形BEH中，
∠ABC＝∠EBH＝90°，BA＝BC，BE＝BH.
∴∠ABE＝∠CBH.
∴△ABE≌△CBH.
∴AE＝CH，∠AEB＝∠CHB.
在正方形AEFG中，AE＝EF，∠AEF＝90°.
∴EF＝CH.
在等腰直角三角形BEH中，∠BEH＝∠BHE＝45°.
∴∠AEB＋∠FEH＝360°－∠BEH－∠AEF＝225°.
∴∠CHB＋∠FEH＝225°.
∵∠BHE＝45°，
∴∠CHE＋∠FEH＝225°－45°＝180°.
∴EF∥CH.
∴四边形EHCF是平行四边形.
∴CF＝EH.
∵EH＝ ＝ ＝ BE，
∴CF＝ BE.
（3）解：CF＝ BE.
作等腰△BEH，使BH＝BE，∠EBH＝120°，连接CH.
在菱形ABCD和等腰三角形BEH中，
∵∠ABC＝∠EBH＝120°，
∴∠ABE＝∠CBH.
∵BA＝BC，BE＝BH，
∴△ABE≌△CBH.
∴AE＝CH，∠AEB＝∠CHB.
在菱形AEFG中，∵AE＝EF，
∴EF＝CH.
∵∠BEH＝(180°－∠EBH)÷2＝30°，∠AEF＝120°，
∴∠AEB＋∠FEH＝360°－∠BEH－∠AEF＝210°.
∴∠CHB＋∠FEH＝210°.
∵∠BHE＝(180°－∠EBH)÷2＝30°，
∴∠CHE＋∠FEH＝210°－30°＝180°.
∴EF∥CH.
∴四边形EHCF是平行四边形.
∴CF＝EH.
在△BEH中， EH＝BEtan60°= BE.
∴CF＝ BE.
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（1）如图，延长DE 到点F，使得EF=DE，连接CF
在△ADE和△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（SAS），
∴∠A=∠ECF，AD=CF，
∴CF∥AB，
又∵AD=BD，
∴CF=BD，
∴四边形BCFD是平行四边形，
∴DE∥BC，DE= BC.
故答案为：DBCF；BC∥DF，BC＝DF；
【分析】（1）根据三角形中位线的性质即可得到结论；
（2）证明CFEH是平行四边形可得HE=CF，再依据△BEH是等腰三角形可得结论；
（3）作等腰△BEH，使BH＝BE，∠EBH＝120°，连接CH.证明四边形EHCF是平行四边形即可得到结论.
1 / 12023年苏科版数学八年级下册全方位训练卷9.5三角形的中位线
一、单选题（每题3分，共24分）
1．（2022八下·盐城期末）如图，D、E、F是△ABC各边的中点，若△ABC的周长为12，则△DEF的周长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
2．（2022八下·江都期中）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，，，点E为BC的中点，则OE的长为（ ）
A．2.5 B．3 C．5 D．6
3．（2022八下·连云期中）若顺次连接四边形各边中点所得的四边形是菱形，则原四边形（ ）
A．一定是矩形 B．一定是菱形
C．对角线一定互相垂直 D．对角线一定相等
4．（2021八下·苏州期末）如图，A、B两地被池塘隔开，小强通过下面的方法估测出A、B间的距离：先在AB外选一点C，然后步测出AC、BC的中点D、E，并且步测出DE长，由此推算出AB长.若步测DE的长为50m，则A、B间的距离是（ ）
A．25m B．50m C．75m D．100m
5．（2020八下·江都期中）如图，在四边形 中， 分别是 的中点，要使四边形 是矩形，则四边形 只需要满足一个条件是（ ）
A． B． C． D．
6．（2020八下·洪泽期中）如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AB=3， ，点M、N分别为线段BC、AB上的动点，点E、F分别为DM、MN的中点，则EF长度的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
7．（2020八下·灌云月考）如图所示，在四边形 中，点 是对角线 的中点，点 、 分别是 、 的中点， ， ，则 的度数是（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
8．（2022八上·莱州期末）如图所示，吴伯伯家一块等边三角形的空地ABC，已知点E，F分别是边AB，AC的中点，量得EF=5米，他想把四边形BCFE用篱笆围成一圈放养小鸡，则需要篱笆的长是（ ）
A．15米 B．20米 C．25米 D．30米
二、填空题（每题3分，共24分）
9．（2022八下·邗江期末）如图，点E在平行四边形ABCD的边AD上，且AE＝2ED，M、N分别是BE、CE的中点，连接MN，已知MN＝3，则AE的长是 .
10．（2022八下·常熟期末） 如图，，分别为矩形的边，的中点，连接，，.已知，，则的长为 .
11．（2021八下·梁溪期末） 中， 分别为 的中点，若 则
12．（2021八下·丹徒期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10 cm，BC＝8cm，点D在边AB上，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为E，点F是BC的中点，则EF＝ cm.
13．（2021八下·江都期末）如图，A，B两点被池塘隔开，不能直接测量其距离.于是小明在岸边选一点C，连接CA，CB，分别延长到点M，N，使AM=AC，BN=BC，测得MN=20m，则A，B间的距离为 m.
14．（2021八下·江阴期末）如图，在平行四边形 中，对角线 、 相交于点 ， ， 是 边的中点， 、 为 上的点，连接 和 ，若 ， ， ，则图中阴影部分的面积为 .
15．（2021八下·鼓楼期末）在 中， ， ， ，点 在 边上，点 为 边上的动点，点 、 分别为 ， 的中点，则 的最小值是 .
16．（2021八下·海州期末）如图，已知点 在正方形 的边 上，以 为边向正方形 外部作正方形 ，连接 ， 、 分别是 、 的中点，连接 .若 ， ，则 .
三、解答题（共10题，共72分）
17．（2020八下·秦淮期末）如图，四边形ABCD是菱形，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，连接EF、FG、GH、HE.求证：四边形EFGH是矩形.
18．（2019八下·邳州期中）
如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB且交BC于点E，交AD于点F，连接AE、BF交于点M，连接CF、DE交于点N，连接MN.试探讨MN与AD的大小关系和位置关系，并加以证明.
19．（2019八下·苏州期中）如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是BD、AC的中点且AB=CD,则EF与GH有怎样的关系？请说明你的理由.
20．（2022八下·无为期末）如图，在中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，，，求四边形DECF的周长．
21．（2022八下·大丰期中）如图，DE是△ABC的中位线，过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F．
（1）求证：BC＝DF；
（2）连接CD、AF，当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是矩形，请说明理由．
22．（2022八下·威县期末）如图，在中，点D，点E分别是边AC，AB的中点，点F在线段DE上，交BC于点G．
（1）证明：四边形EFGB是菱形；
（2）若，求DF的长度．
23．（2022八下·定远期末）如图，在 ABCD中，点E在边AD上，连接EB并延长至F，使BF＝BE；连接EC并延长至G，使CG＝CE，连接FG，点H为FG的中点，连接DH，AF．
（1）若∠BAE＝70°，∠DCE＝20°，求∠DEC的度数；
（2）求证：四边形AFHD为平行四边形．
24．（2021八下·兴化期末）如图1，在四边形 中， 、 、 、 分别是 、 、 、 的中点.
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）如图2，延长 、 相交于点 ，连接 、 、 ，若 ，求四边形 的面积.
25．（2021八下·姜堰期中）如图，已知四边形ABCD是正方形.
（1）如图1，若E、F、G分别是AB、BC、CD边上的点，AF和EG交于点O.现在提供三个关系：①AF⊥EG；②AO＝FO；③AF＝EG.从三个关系中选择一个作为条件，一个作为结论，形成一个真命题，完成下列填空并证明：你选择的条件是 ，结论是 .（只要填写序号）.
（2）如图2，点E、F分别在AD、AB上，BE⊥CF，垂足为点O，连接EF、EC，M、N分别是BF、CE的中点，MN分别交BE、CF于点G、H，求证：OG＝OH；
（3）如图3，AB＝3cm，E为CD边上一点，∠DAE=30°，O为AE的中点，过点O的直线分别交AD、BC于点M、N，若MN＝AE，请直接写出AM的长.
26．（2020八下·秦淮期末）我们知道，平行四边形的对边平行且相等.利用这一性质，可以为证明线段之间的位置关系和数量关系提供帮助.
（1）重温定理，识别图形
如图①，我们在探究三角形中位线DE和第三边BC的关系时，所作的辅助线为“延长DE到点F，使EF＝DE，连接CF”，此时DE与DF在同一直线上且DE= DF，又可证图中的四边形 为平行四边形，可得BC与DF的关系是 ，于是推导出了“DE BC，DE＝ BC”.
（2）寻找图形，完成证明
如图②，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，△BEH是等腰直角三角形，∠EBH＝90°，连接CF、CH.求证CF＝ BE.
（3）构造图形，解决问题
如图③，四边形ABCD和四边形AEFG都是菱形，∠ABC＝∠AEF＝120°，连接BE、CF.直接写出CF与BE的数量关系.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D、E、F分别为△ABC三边的中点，
∴DE、DF、EF都是△ABC的中位线，
∴BC=2DF，AC=2DE，AB=2EF，
故△ABC的周长=AB+BC+AC=2（DF+FE+DE）=12，
则DF+FE+DE=12×=6.即△DEF的周长为6.
故答案为：C.
【分析】根据三角形中位线定理可得BC=2DF，AC=2DE，AB=2EF，从而得出△ABC的周长=AB+BC+AC=2（DF+FE+DE）=12，继而得解.
2．【答案】A
【知识点】勾股定理；菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴OC=OA==4， OB=OD==3， ∠BOC=90°．
∴AB==5．
∵点E为AB中点，O为AC的中点
∴OE是ABC的中位线，
∴OE=AB=．
故答案为：A.
【分析】根据菱形的性质可得OC=OA=AC=4， OB=OD=BD=3， ∠BOC=90°，利用勾股定理可得AB，由题意可得OE是△ABC的中位线，则OE=AB，据此计算.
3．【答案】D
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，根据题意得：四边形EFGH是菱形，点E，F，G，H分别是边AD，AB，BC，CD的中点，
∴EF＝FG＝GH＝EH，BD＝2EF，AC＝2FG，
∴BD＝AC.
∴原四边形一定是对角线相等的四边形.
故答案为：D.
【分析】根据题意画出示意图，由菱形的性质可得EF＝FG＝GH＝EH，根据中位线的性质可得BD＝2EF，AC＝2FG，则BD＝AC，据此判断.
4．【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D、E分别是AC、BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
根据三角形的中位线定理，得：AB=2DE=100m.
故答案为：D.
【分析】根据三角形的中位线定理，得AB=2DE，即得结论.
5．【答案】D
【知识点】矩形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】当AC⊥BC时，四边形EFGH是矩形，
∵AC⊥BC，GH∥AD，EH∥BC，
∴EF⊥EH，
即∠FEH=90°
∴四边形EFGH是矩形
故答案为：D
【分析】根据“有一内角为直角的平行四边形是矩形”来推断.由三角形中位线定理和平行四边形的判定定理易推知四边形EFGH是平行四边形，若FE⊥EH或者EG=FH就可以判定四边形EFGH是矩形.
6．【答案】A
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】连接BD、ND，
由勾股定理得，BD= =4，
∵点E、F分别为DM、MN的中点，
∴EF= DN，
当DN最长时，EF长度的最大，
∴当点N与点B重合时，DN最长，
∴EF长度的最大值为 BD=2，
故答案为：A.
【分析】连接BD、ND，由勾股定理得可得BD=4，由三角形中位线定理可得EF= DN，当DN最长时，EF长度的最大，即当点N与点B重合时，DN最长，由此即可求得答案.
7．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵点Ｐ是BD的中点，点 、 分别是 、 的中点
∴PF、PE分别是 ， 的中位线
∴
∴
∴
∴ 是等腰三角形，即
∵
∴
故答案为：D
【分析】根据中位线定理和题中给定的相就条件，易证明 是等腰三角形，由此可得出结论.
8．【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点E，F分别是边AB，AC的中点，EF=5米，
∴BC=2EF=10米，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，
∴BE=CF=BC=5米，
∴篱笆的长=BE+BC+CF+EF=5+10+5+5=25米．
故答案为：C．
【分析】利用中位线的性质可得BC=2EF=10米，再求出BE=CF=BC=5米，最后求出篱笆的长即可。
9．【答案】4
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵M、N分别是BE、CE的中点，
∴BC＝2MN＝6，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝6，
∵AE＝2ED，
∴
故答案为：4.
【分析】由题意可得：MN为△EBC的中位线，则BC＝2MN＝6，根据平行四边形的性质可得AD＝BC＝6，由已知条件可知AE＝2ED，则AE=AD，据此计算.
10．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接BD、AF，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，，
∴，，
∵E，F分别为矩形ABCD的边CD，BC的中点，
∴，
设，则，
∵，
∴在Rt△ADE中、Rt△CEF中、Rt△AEF中、Rt△ABF中，由勾股定理可得：
，
∴由①②可得：，
解得：（负根舍去），
∴；
故答案为：.
【分析】连接BD、AF，由矩形性质得BD=AC，∠ADC=∠ECF=90°，CD=AB，由三角形中位线定理“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”可得EF=BD，设ED=CE=a，CF=BF=b，在Rt△ADE中、Rt△CEF中、Rt△AEF中、Rt△ABF中，由勾股定理可求得a的值，然后根据AB=2a可求解.
11．【答案】6
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点M、N分别是AB、AC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴BC＝2MN＝2×3＝6.
故答案为：6.
【分析】由题意可得MN是△ABC的中位线，然后根据中位线的性质进行解答.
12．【答案】2
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：在 中， ， ，
∴ .
∴ ，
∴ .
∵ ，
∴ ，即点 为 的中点，
∵点 是 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ .
故答案为：2.
【分析】首先由勾股定理求出AC的值，进而求得BD的值，由等腰三角形的性质可得CE=DE，推出EF为△CBD的中位线，然后结合中位线的性质进行求解.
13．【答案】10
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵AM=AC，BN=BC
∴A、B分别为CM、CN的中点，
∴AB为△CMN的中位线，
∴MN＝2AB，
∴AB= m，
故答案为：10.
【分析】先得出AB为△CMN的中位线，根据三角形中位定理可得AB= m.
14．【答案】84
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接OE，设OG与EF相交于点H，过点A作AP⊥BC于点P，交OE于点Q，如图所示.
∵AB=AC，AP⊥BC，
∴
∴
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC.
∵EA=EB，
∴OE是 的中位线.
∴OE∥BC且
即 是等腰三角形.
∵OE∥BC，
∴∠AQE=∠APB=90°.
∴AP⊥OE于点Q.
∴
∴
连接EG，OF，
∵OE∥GF，OE=GF=7，
∴四边形OEGF是平行四边形.
∴HE=HF，HO=HG.
∵PQ=AP-AQ=24-12=12，
∴
∴
∴
故答案为：84.
【分析】连接OE，设OG与EF相交于点H，过点A作AP⊥BC于点P，交OE于点Q，由等腰三角形的性质可得BP的值，由勾股定理可得AP的值，由平行四边形的性质可得OA=OC，结合EA=EB可得OE是△ABC的中位线，得到OE∥BC，借助平行线的性质以及等腰三角形的性质可得到△AEO为等腰三角形，求出EQ、AQ的值，得到S△AEO，连接EG，OF，则四边形OEGF是平行四边形，HE=HF，HO=HG，求出PQ的值，得到S平行四边形OEGF、S△OEH的值，最后根据面积间的和差关系进行求解.
15．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接CM，
∵点D、E分别为CN，MN的中点，
∴DE= CM，
当CM⊥AB时，CM的值最小，此时DE的值也最小，
由勾股定理得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： .
【分析】连接CM，根据三角形中位线定理可得DE= CM，当CM⊥AB时，CM的值最小，此时DE的值也最小.由勾股定理求出AB=5，由，可求出CM，即得DE的最小值.
16．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接CF，
∵正方形ABCD和正方形BEFG中，AB=7，BE=5，
∴GF=GB=5，BC=7，
∴GC=GB+BC=5+7=12，
∴CF= ，
∵M，N分别是DC，DF的中点，
∴MN= CF= ；
故答案为： .
【分析】连接CF，由正方形的性质可得GF=GB=5，BC=7，从而求出GC=GB+BC=12，利用勾股定理求出CF=13，根据三角形中位线定理可得MN= CF= .
17．【答案】证明：连接AC、BD，AC与BD相交于点O，AC与EH相交于点P.
∵E、F分别是边AB、BC的中点，
∴EF∥AC，EF＝ AC.
同理GH∥AC，GH＝ AC.
∴EF∥GH，EF＝GH.
∴四边形EFGH是平行四边形.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，即∠AOB＝90°.
∵E、H分别是边AB、AD的中点，
∴EH∥BD.
∴∠APE＝∠AOB＝90°.
∵EF∥AC，
∴∠FEH＝∠APE＝90°.
∴四边形EFGH是矩形.
【知识点】菱形的性质；矩形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】连接AC、BD，根据菱形的性质得到AC⊥BD，根据三角形中位线定理和平行四边形的判定定理证明四边形EFGH是平行四边形，根据三角形中位线定理证明∠FEH＝∠APE＝90°，得到答案.
18．【答案】MN= AD，MN∥AD；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD，AD∥BC，
∵EF∥AB，∴EF∥CD
∴四边形ABEF、四边形EFDC均是平行四边形，
∴AM=EM，FN=CN，
∴MN是△AED的中位线，
∴MN= AD，MN∥AD.
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】可分别证明四边形ABEF，ECDF均为平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，可得MN为△AED的中位线.
19．【答案】解：EF⊥GH，理由如下：
∵E、H分别是AD、AC的中点，∴EH= CD
∵G、F分别是BD、BC的中点,∴FG= CD,
故EH=FG= CD,，
同理可得GE=FH= AB，
∵CD=AB,
∴EH=FG=GE=FH，
∴四边形GEHF是菱形，
∵GH、EF是菱形GEHF的对角线，
故EF⊥GH.
【知识点】菱形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】根据三角形中位线定理可得EH= CD，FG= CD,从而可得EH=FG= CD,同理可得GE=FH= AB ，由CD=AB,可得EH=FG=GE=FH，利用四条边相等可证四边形GEHF是菱形，利用菱形的性质可得EF与GH的位置关系.
20．【答案】解：∵D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，，，
∴，，
∴四边形DECF的周长．
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【分析】利用三角形中位线的性质可得，，再利用四边形的周长公式计算即可。
21．【答案】（1）证明：∵DE是△ABC的中位线，
∴2DE＝BC，DE∥BC，
∵CF∥AB，
∴四边形DBCF是平行四边形，
∴BC=DF；
（2）解：当BC＝AC时，四边形ADCF是矩形，理由如下：
∵DE是△ABC的中位线，
∴DB＝AD，
∵四边形DBCF是平行四边形，
∴DB＝CF，
∴AD＝CF，
∵AB∥CF，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵BC＝AC，BC=CF，
∴AC=DF，
∴平行四边形ADCF是矩形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据中位线的性质可得2DE＝BC，DE∥BC，结合CF∥AB，推出四边形DBCF是平行四边形，据此证明；
（2）根据中位线的性质可得DB＝AD，由平行四边形的性质可得DB＝CF，则AD＝CF，结合CF∥AB推出四边形ADCF是平行四边形，结合BC＝AC，BC=CF可得AC=DF，然后根据矩形的判定定理进行解答.
22．【答案】（1）解：∵点D，点E分别是边AC，AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴，∵，
∴四边形BEFG是平行四边形，
∵∠AFB=90°，点E是AB的中点，
∴FE=BE=AB，∴四边形EFGB是菱形；
（2）解：∵点D，点E分别是边AC，AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，∴DE=BC=×19=
在△ABF中，∵∠AFB=90°，∴AF2+BF2=AB2，
∵AF=5，BF=12， ∴AB=13
∴EF=AB=×13= ，
∴DF=DE－EF=－=3
【知识点】菱形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）利用菱形的判定方法证明求解即可；
（2）先求出 DE是△ABC的中位线， 再求出 AF2+BF2=AB2， 最后计算求解即可。
23．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAE＝∠BCD＝70°，AD∥BC，
∵∠DCE＝20°，AB∥CD，
∴∠CDE＝180°﹣∠BAE＝110°，
∴∠DEC＝180°﹣∠DCE﹣∠CDE＝50°；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵BF＝BE，CG＝CE，
∴BC是△EFG的中位线，
∴BC∥FG，BC＝FG，
∵H为FG的中点，
∴FH＝FG，
∴BC∥FH，BC＝FH，
∴AD∥FH，AD＝FH，
∴四边形AFHD是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质计算求解即可；
（2）先求出 BC是△EFG的中位线， 再求出 FH＝FG， 最后证明即可。
24．【答案】（1）证明： 分别是 的中点，
，
同理可得： ，
，
四边形 是平行四边形
（2）解：如图，连接 ，
分别是 的中点，
，
（同底等高），
同理可得： ，
，
又 是 的中点，
，
（等底同高），
，
同理可得： ，
即四边形 的面积为4.
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）易得EG为△ABD的中位线，则EG=AB，EG∥AB，同理可得FH=AB，FH∥AB，推出EG=FH，EG∥FH，然后根据平行四边形的判定定理进行证明；
（2） 连接PE、AG、BH、DH，易得EG∥AB，则S△AEG=S△PEG，同理可得S△DEH=S△PEH，然后根据面积间的和差关系可得四边形AGHD的面积，由线段中点的概念可得BG=DG，则S△AEG=S△ADG，S△HEG=S△HDG，据此可得四边形ABHD的面积，进而求得四边形ABCD的面积.
25．【答案】（1）①；③
（2）证明：取EF中点Q，连接QN，QM，
∴
由（1）知当BE⊥CF时BE=CF，
∴NQ=MQ，∠QNM=∠QMN，
∵∠QMN=∠OGH，∠QNM=∠OHG，
∴∠OGH =∠OHG，
∴OG＝OH；
（3）解：AM=2，
过M作MK⊥BC，
由（1）同理可证△MNK △AED，
∴AE⊥MN，∠AOM=90°，
∵AB=3，∠DAE=30°，
∴AD=3，
设DE=x，AE=2x，
则根据勾股定理可得： ， ，
∵O为AE中点，
∴ ，
同理可得：AM=2.
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定（AAS）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】（1）①；③
证明：过点G作GH⊥AB于H，
由题意知GH=AD=AB，∠GHE=∠B=90°，有∠BAF+∠AFB=90°，
∵AF⊥GE，
∴∠AOE=90°，
∴∠BAF+∠AEG=90°，
∴∠AFB=∠AEG，
∴△AFB △GEH（ASA），
∴AF=EG；
【分析】（1）条件为①，结论为③，过点G作GH⊥AB于H，利用正方形的性质及垂直的定义可证得∠CHE=∠B=90°，同时可证得HG=AB；再利用余角的性质可证得∠AFB=∠AEG；然后利用AAS证明△AFB≌△GEH，利用全等三角形的对应边相等，可证得结论.
（2）取EF中点Q，连接QN，QM，利用三角形的中位线定理可知QM是△BFE的中位线，QN是△CEF的中位线，可推出2QM=BE，2QN=CF，QM∥BE，QN∥CF；由（1）可知CF=BE，由此可推出QM=QN，同时可证得∠QNM=∠QMN，利用平行线的性质去证明∠OGH =∠OHG；然后利用等角对等边可证得结论.
（3）利用已知条件易证△MNK≌△AED，利用全等三角形的性质去证明∠AOM=90°，利用正方形的性质可求出AD的长，再利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，设DE=x，AE=2x，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出AE，DE的长，利用线段中点的定义求出AO的长，在Rt△AOM中，利用勾股定理求出AM的长.
26．【答案】（1）DBCF；
（2）解：在正方形ABCD和等腰直角三角形BEH中，
∠ABC＝∠EBH＝90°，BA＝BC，BE＝BH.
∴∠ABE＝∠CBH.
∴△ABE≌△CBH.
∴AE＝CH，∠AEB＝∠CHB.
在正方形AEFG中，AE＝EF，∠AEF＝90°.
∴EF＝CH.
在等腰直角三角形BEH中，∠BEH＝∠BHE＝45°.
∴∠AEB＋∠FEH＝360°－∠BEH－∠AEF＝225°.
∴∠CHB＋∠FEH＝225°.
∵∠BHE＝45°，
∴∠CHE＋∠FEH＝225°－45°＝180°.
∴EF∥CH.
∴四边形EHCF是平行四边形.
∴CF＝EH.
∵EH＝ ＝ ＝ BE，
∴CF＝ BE.
（3）解：CF＝ BE.
作等腰△BEH，使BH＝BE，∠EBH＝120°，连接CH.
在菱形ABCD和等腰三角形BEH中，
∵∠ABC＝∠EBH＝120°，
∴∠ABE＝∠CBH.
∵BA＝BC，BE＝BH，
∴△ABE≌△CBH.
∴AE＝CH，∠AEB＝∠CHB.
在菱形AEFG中，∵AE＝EF，
∴EF＝CH.
∵∠BEH＝(180°－∠EBH)÷2＝30°，∠AEF＝120°，
∴∠AEB＋∠FEH＝360°－∠BEH－∠AEF＝210°.
∴∠CHB＋∠FEH＝210°.
∵∠BHE＝(180°－∠EBH)÷2＝30°，
∴∠CHE＋∠FEH＝210°－30°＝180°.
∴EF∥CH.
∴四边形EHCF是平行四边形.
∴CF＝EH.
在△BEH中， EH＝BEtan60°= BE.
∴CF＝ BE.
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（1）如图，延长DE 到点F，使得EF=DE，连接CF
在△ADE和△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（SAS），
∴∠A=∠ECF，AD=CF，
∴CF∥AB，
又∵AD=BD，
∴CF=BD，
∴四边形BCFD是平行四边形，
∴DE∥BC，DE= BC.
故答案为：DBCF；BC∥DF，BC＝DF；
【分析】（1）根据三角形中位线的性质即可得到结论；
（2）证明CFEH是平行四边形可得HE=CF，再依据△BEH是等腰三角形可得结论；
（3）作等腰△BEH，使BH＝BE，∠EBH＝120°，连接CH.证明四边形EHCF是平行四边形即可得到结论.
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