《名师学典·数学》学案：新人教八下18.2.2菱形（1）例题+中考题训练+课时自测（答案详细）
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| 名称 | 《名师学典·数学》学案：新人教八下18.2.2菱形（1）例题+中考题训练+课时自测（答案详细） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 363.2KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版（新课程标准） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2014-04-01 12:33:18 | ||
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文档简介
《名题学典·数学》人教版八年级系列第十八章
18.2.2 菱形的性质
1.菱形的定义：有 的平行四边形是菱形.
2.请写出菱形所具有的性质.
3.平行四边形、矩形和菱形是中心对称图形，还是轴对称图形？并说出有几条对称轴或指出对称中心.
4.已知一个菱形的周长为40，两条对角线分别为6，8，求菱形一边上的高.
菱形的性质
【例1】如图，菱形ABCD的周长为24cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等于
cm．
分析：由菱形的性质可求得CD的长，再由中位线的性质可求OE长.
解：∵菱形ABCD的周长为24cm，
∴CD=6cm，AO=CO，
∵E是AD的中点，
∴OE=CD=3（cm）
练习1
如图，菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF=2，则菱形ABCD的周长是 ．
【例2】菱形的边长为2.5，一条对角线长为4，则另一条对角线长为 ．
分析：由菱形的对角线垂直的性质，构造一个直角三角形，即可求得另一条对角线长.
解：如图，∵菱形的一条对角线长为4，∴AO=×4=2，
∵AB=2.5，AC⊥BD，
∴OB==1.5，
∴BD=2OB=2×1.5=3，
即另一条对角线长为3．
练习2
如图，菱形ABCD的周长为16cm，∠ABC：∠BCD=2：1，求对角线BD的长．
【例3】四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，AB=12cm．
（1）求∠BAC，∠DAB的度数．
（2）求两条对角线AC，BD的长．
（1）先根据题意画出草图，然后根据菱形的性质邻角互补及菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角即可得出答案．
（2）在Rt△AOB中，已知AB的长，∠BAC=30°可解出BO和AO，继而可得出AC、BD．
解：（1）由题意得：∠ABC=120°，AB=12cm，
∴∠DAB=60°，
∴∠BAC=∠DAB=30°．
（2）∵∠BAC=∠DAB=30°，AB=12cm，∴BD=AB=12cm，
∴BO=6cm，
∴AC=12cm．
菱形的面积分式
【例4】如图，□ABCD中，AB=BC，BD=6，AC=8．求平行四边形ABCD的周长和面积.
分析：由平行四边形及AB=BC，可得四边形为菱形，可得其对角线互相垂直，所以可求解直角三角形得出菱形的边长，进而得出周长及面积.
解：∵四边形ABCD是平行四边形，又AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD
∵BD=6，AC=8，在Rt△AOB中，由勾股定理可得AB=5，
∴四边形ABCD的周长为5×4=20，
四边形的面积：
S=AC?BD=×8×6=24．
练习3
如图，已知菱形ABCD的面积为2
，对角线AC长为2，求：
（1）对角线BD的长；
（2）菱形ABCD的周长．
菱形性质的应用
【例5】
如图，在菱形ABCD中，AD=8，∠ABC=120°，E是BC的中点，P为对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为多少？
分析：连结BD，DE，则DE的长即为PE+PB的最小值，再根据菱形ABCD中，∠ABC=120°得出∠BCD的度数，进而判断出△BCD是等边三角形，故△CDE是直角三角形，根据勾股定理即可得出DE的长．
解：连接BD，DE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴B、D关于直线AC对称，
∴DE的长即为PE+PB的最小值，
∵ABC=120°，
∴∠BCD=60°，
∴△BCD是等边三角形，
∵E是BC的中点，
∴DE⊥BC，CE=BC=×8=4，
∴DE==4.
练习4
如图：在菱形ABCD中，∠A=60°，M、N分别是BC和CD的中点，O是BD上的一个动点，已知BD=5.2cm，求OM+ON的最小值．
1.（2013?怀化）如图，在菱形ABCD中，AB=3，∠ABC=60°，则对角线AC=（ ）
A．12 B．9 C．6 D．3
2.（2012?玉林）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC≠BD，则图中全等三角形有（ ）
A．4对 B．6对 C．8对 D．10对
3.（2012?厦门）如图，在菱形ABCD中，AC、BD是对角线，若∠BAC=50°，则∠ABC等于（ ）
A．40° B．50° C．80° D．100°
4.（2013?黔西南州）如图所示，菱形ABCD的边长为4，且AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠B=60°，则菱形的面积为 ．
5.（2011?河北）如图，已知菱形ABCD，其顶点A，B在数轴上对应的数分别为-4和1，则BC= ．
6.（2013?黄冈）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，求证：∠DHO=∠DCO．
用时 分数
一、选择题（每题4分，共32分）
1．（2013?梧州）如图，在菱形ABCD中，已知∠A=60°，AB=5，则△ABD的周长是（ ）
A． 10 B． 12 C． 15 D． 20
2．（2013?本溪）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=2∠B，E，F分别为BC，CD的中点，连接AE、AC、AF，则图中与△ABE
全等的三角形（△ABE除外）有（ ）
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
3．（2012?成都）如图．在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是（ ）
A． AB∥DC B．AC=BD
C． AC⊥BD D．OA=OC
4．（2012?本溪）在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB=5，AC=6，过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，则△BDE的面积为（ ）
A． 22 B． 24 C． 48 D． 44
5．（2011?济南）如图，菱形ABCD的周长是16，∠A=60°，则对角线BD的长度为（ ）
A． 2 B． 2
C． 4 A． 4
6．（2011?衡阳）如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是（3，4），则顶点M、N的坐标分别是（ ）
A．M（5，0），N（8，4）
B．M（4，0），N（8，4）
C．M（5，0），N（7，4）
D．M（4，0），N（7，4）
7．（2011?包头）已知菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BAD=120°，AC=4，则该菱形的面积是（ ）
A.16 B.16
A.8 D.8
8．（2011?德州）图1是一个边长为1的等边三角形和一个菱形的组合图形，菱形边长为等边三角形边长的一半，以此为基本单位，可以拼成一个形状相同但尺寸更大的图形（如图2），依此规律继续拼下去（如图3），…，则第n个图形的周长是（ ）
A． 2n B． 4n
C． 2n+1 D． 2n+2
二、填空题（每题3分，共18分）
9．（2013?淮安）若菱形的两条对角线分别为2和3，则此菱形的面积是 ．
10．（2012?淮安）菱形ABCD中，若对角线长AC=8cm，BD=6cm，则边长AB=
cm．
11．（2010?珠海）如图，P是菱形ABCD对角线BD上一点，PE⊥AB于点E，PE=4cm，则点P到BC的距离是 cm．
12．（2009?临沂）如图，在菱形ABCD中，∠ADC=72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB= 度．
13．（2013?南京）如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF，若菱形ABCD的边长为2cm，∠A=120°，则EF= cm．
14．（2010?嘉兴）如图，已知菱形ABCD的一个内角∠BAD=80°，对角线AC、BD相交于点O，点E在AB上且BE=BO，则∠BEO= 度．
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三、解答题（共40分）
15.（6分）（2013?广州）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O，AB=5，AO=4，求BD的长．
16.（6分）（2007?无锡）如图，已知四边形ABCD是菱形，点E，F分别是边CD，AD的中点．求证：AE=CF．
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17.（6分）（2009?宜宾）已知：如图，四边形ABCD是菱形，过AB的中点E作AC的垂线EF，交AD于点M，交CD的延长线于点F．
（1）求证：AM=DM；
（2）若DF=2，求菱形ABCD的周长．
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18.（6分）（2012?舟山）如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE=AB，连接CE．
（1）求证：BD=EC；
（2）若∠E=50°，求∠BAO的大小．
19.（8分）（2013?南宁）如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E、F分别是边BC、AD的中点．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若∠B=60°，AB=4，求线段AE的长．
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20.（8分）（2013?贵阳）已知：如图，在菱形ABCD中，F是BC上任意一点，连接AF交对角线BD于点E，连接EC．
（1）求证：AE=EC；
（2）当∠ABC=60°，∠CEF=60°时，点F在线段BC上的什么位置？说明理由．
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参考答案：
基础为本、掌握新知
1.一组邻边相等 2.边：两组对边平行；四条边都相等；对角线平分且垂直，并平分一组对角；角：两组对角相等；邻角互补.
3.平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点.矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形；对称轴有2条；对称中心是对角线的中心.菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形；对称轴：两条，即两条对角线；对称中心：对角线的交点.
4.2.4
一例一练、活用数学
练习1 ∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD.∵E，F分别是AB，AC的中点，
∴BC=2EF=4，∴菱形ABCD的周长是：4×4=16.
练习2 解：∵菱形ABCD的周长为16cm，∴菱形的边长为4cm，∵∠ABC：∠BCD=2：1，∠ABC+∠BCD=180°，∴∠ABC=120°，∠BCD=60°，∴△ABD为等边三角形，∴BD=AB=4cm．
练习4 解：取AD的中点N′，连接MN′交BD于O，连接NN′，∵菱形ABCD关于直线BD是轴对称图形∴N、N′关于直线BD是对称，∴ON=ON′，∴OM+ON=OM+ON′=MN′
∵在菱形ABCD中，AB=AD，∠A=60°，∴△ABD是等边三角形，∴AB=BD=5.2cm，
∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AD=BC，∵N′为AD中点，M为AB中点，
∴BM∥AN′且BM=AN′，∴四边形MBAN′是平行四边形，∴MN′=AB=5.2cm，∴OM+ON≥5.2cm，即OM+ON的最小值是5.2cm．
全真考题、能力拓展
1.D 【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，∵∠ABC=60°，∴△ABC为等边三角形，∴AC=AB=3．
2.C 【解析】图中全等三角形有：△ABO≌△ADO、△ABO≌△CDO，△ABO≌△CBO；
△AOD≌△COD，△AOD≌△COB；△DOC≌△BOC；△ABD≌△CBD，△ABC≌△ADC，
共8对．
3.C 【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴∠BAC=∠BAD，CB∥AD，∵∠BAC=50°，∴∠BAD=100°，∵CB∥AD，∴∠ABC+∠BAD=180°，∴∠ABC=180°-100°=80°.
4.8 【解析】∵菱形ABCD的边长为4，∴AB=BC=4，∵AE⊥BC于E，∠B=60°，
∴BE=2，由勾股定理得AE=.∴菱形的面积=4×=8
5.5 【解析】∵菱形ABCD，其顶点A，B在数轴上对应的数分别为-4和1，则AB=1-（-4）=5，∴AB=BC=5．
6.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB//CD，DO=BO，AC⊥BD，∴∠CDO+∠DCO=90°．∵DH⊥AB，∴HO=DO，∠DCO=90°，∴∠DHO=∠HDO，∠CDO+∠HDO=90°，∴∠DHO=∠DCO.
课时自测、认清自我
1.C 【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，又∵∠A=60°，∴△ABD是等边三角形，∴△ABD的周长=3AB=15．
3.B 【解析】A、菱形的对边平行且相等，所以AB∥DC，故本选项正确；B、菱形的对角线不一定相等，故本选项错误；C、菱形的对角线一定垂直，AC⊥BD，故本选项正确；D、菱形的对角线互相平分，OA=OC，故本选项正确．
4.B 【解析】∵AD∥BE，AC∥DE，∴四边形ACED是平行四边形，∴AC=DE=6，
在RT△BCO中，BO==4，即可得BD=8，又∵BE=BC+CE=BC+AD=10，
∴△BDE是直角三角形，∴S△BDE=DE?BD=24．
5.C 【解析】∵菱形ABCD的周长是16，∴AB=AD=CD=BC=4，∵∠A=60°，∴△ABD是等边三角形，∴AB=AD=BD=4．∴对角线BD的长度为4．
6.A 【解析】过P作PE⊥OM，∵顶点P的坐标是（3，4），∴OE=3，PE=4，
∴OP==5，∴点M的坐标为（5，0），∵5+3=8，∴点N的坐标为（8，4）．
7.C 【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=OC=AC=×4=2，∠BAC=∠BAD=×120°=60°，∴AC=4，∠AOB=90°，∴∠ABO=30°，∴AB=2OA=4，
OB=2，∴BD=2OB=4，∴该菱形的面积是：AC?BD=×4×4=8．
8.C 【解析】下面是各图的周长：图1中周长为4；图2周长为8；图3周长为16；
所以第n个图形周长为2n+1．
9.3 【解析】由题意，知：S菱形=×2×3=3
10.5 【解析】如图，∵菱形ABCD中，对角线长AC=8cm，BD=6cm，∴AO=AC=4cm，BO=BD=3cm，∵菱形的对角线互相垂直，∴在Rt△AOB中，AB===
5cm．
11.4 【解析】在菱形ABCD中，BD是∠ABC的平分线，∵PE⊥AB于点E，PE=4cm，
∴点P到BC的距离=PE=4cm．
13. 【解析】连接BD、AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AC平分∠BAD，
∵∠BAD=120°，∴∠BAC=60°，∴∠ABO=90°﹣60°=30°，∵∠AOB=90°，
∴AO=AB=×2=1，由勾股定理得：BO=DO=，∵A沿EF折叠与O重合，∴EF⊥AC，EF平分AO，∵AC⊥BD，∴EF∥BD，∴EF为△ABD的中位线，∴EF=BD=（+）=，
14.65 【解析】∵ABCD是菱形，∴AB=AD．∴∠ABD=∠ADB．∵∠BAD=80°，∴∠ABD=×（180°﹣80°）=50°．又∵BE=BO，∴∠BEO=∠BOE=×（180°﹣50°）=65°．
15.解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O，∴AC⊥BD，DO=BO，
∵AB=5，AO=4，∴BO==3，∴BD=2BO=2×3=6．
16.证明：∵ABCD是菱形，∴AD=CD，∵E，F分别是CD，AD的中点，∴DE=CD，DF=AD，
∴DE=DF，又∵∠ADE=∠CDF，∴△AED≌△CFD（SAS），∴AE=CF．
17.（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴∠BAC=∠DAC．又∵EF⊥AC，∴AC是EM的垂直平分线，∴AE=AM，∵AE=AM=AB=AD，∴AM=DM．
（2）解：∵AB∥CD，∴∠AEM=∠F．又∵∠FMD=∠AME，∠AME=∠AEM，
∴∠FMD=∠F，∴△DFM是等腰三角形，∴DF=DM=AD．∴AD=4．∴菱形ABCD的周长是16．
18.（1）证明：∵菱形ABCD，∴AB=CD，AB∥CD，又∵BE=AB，∴BE=CD，BE∥CD，
∴四边形BECD是平行四边形，∴BD=EC；
（2）解：∵平行四边形BECD，∴BD∥CE，∴∠ABO=∠E=50°，又∵菱形ABCD，∴AC丄BD，∴∠BAO=90°﹣∠ABO=40°
18.2.2 菱形的性质
1.菱形的定义：有 的平行四边形是菱形.
2.请写出菱形所具有的性质.
3.平行四边形、矩形和菱形是中心对称图形，还是轴对称图形？并说出有几条对称轴或指出对称中心.
4.已知一个菱形的周长为40，两条对角线分别为6，8，求菱形一边上的高.
菱形的性质
【例1】如图，菱形ABCD的周长为24cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等于
cm．
分析：由菱形的性质可求得CD的长，再由中位线的性质可求OE长.
解：∵菱形ABCD的周长为24cm，
∴CD=6cm，AO=CO，
∵E是AD的中点，
∴OE=CD=3（cm）
练习1
如图，菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF=2，则菱形ABCD的周长是 ．
【例2】菱形的边长为2.5，一条对角线长为4，则另一条对角线长为 ．
分析：由菱形的对角线垂直的性质，构造一个直角三角形，即可求得另一条对角线长.
解：如图，∵菱形的一条对角线长为4，∴AO=×4=2，
∵AB=2.5，AC⊥BD，
∴OB==1.5，
∴BD=2OB=2×1.5=3，
即另一条对角线长为3．
练习2
如图，菱形ABCD的周长为16cm，∠ABC：∠BCD=2：1，求对角线BD的长．
【例3】四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，AB=12cm．
（1）求∠BAC，∠DAB的度数．
（2）求两条对角线AC，BD的长．
（1）先根据题意画出草图，然后根据菱形的性质邻角互补及菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角即可得出答案．
（2）在Rt△AOB中，已知AB的长，∠BAC=30°可解出BO和AO，继而可得出AC、BD．
解：（1）由题意得：∠ABC=120°，AB=12cm，
∴∠DAB=60°，
∴∠BAC=∠DAB=30°．
（2）∵∠BAC=∠DAB=30°，AB=12cm，∴BD=AB=12cm，
∴BO=6cm，
∴AC=12cm．
菱形的面积分式
【例4】如图，□ABCD中，AB=BC，BD=6，AC=8．求平行四边形ABCD的周长和面积.
分析：由平行四边形及AB=BC，可得四边形为菱形，可得其对角线互相垂直，所以可求解直角三角形得出菱形的边长，进而得出周长及面积.
解：∵四边形ABCD是平行四边形，又AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD
∵BD=6，AC=8，在Rt△AOB中，由勾股定理可得AB=5，
∴四边形ABCD的周长为5×4=20，
四边形的面积：
S=AC?BD=×8×6=24．
练习3
如图，已知菱形ABCD的面积为2
，对角线AC长为2，求：
（1）对角线BD的长；
（2）菱形ABCD的周长．
菱形性质的应用
【例5】
如图，在菱形ABCD中，AD=8，∠ABC=120°，E是BC的中点，P为对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为多少？
分析：连结BD，DE，则DE的长即为PE+PB的最小值，再根据菱形ABCD中，∠ABC=120°得出∠BCD的度数，进而判断出△BCD是等边三角形，故△CDE是直角三角形，根据勾股定理即可得出DE的长．
解：连接BD，DE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴B、D关于直线AC对称，
∴DE的长即为PE+PB的最小值，
∵ABC=120°，
∴∠BCD=60°，
∴△BCD是等边三角形，
∵E是BC的中点，
∴DE⊥BC，CE=BC=×8=4，
∴DE==4.
练习4
如图：在菱形ABCD中，∠A=60°，M、N分别是BC和CD的中点，O是BD上的一个动点，已知BD=5.2cm，求OM+ON的最小值．
1.（2013?怀化）如图，在菱形ABCD中，AB=3，∠ABC=60°，则对角线AC=（ ）
A．12 B．9 C．6 D．3
2.（2012?玉林）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC≠BD，则图中全等三角形有（ ）
A．4对 B．6对 C．8对 D．10对
3.（2012?厦门）如图，在菱形ABCD中，AC、BD是对角线，若∠BAC=50°，则∠ABC等于（ ）
A．40° B．50° C．80° D．100°
4.（2013?黔西南州）如图所示，菱形ABCD的边长为4，且AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠B=60°，则菱形的面积为 ．
5.（2011?河北）如图，已知菱形ABCD，其顶点A，B在数轴上对应的数分别为-4和1，则BC= ．
6.（2013?黄冈）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，求证：∠DHO=∠DCO．
用时 分数
一、选择题（每题4分，共32分）
1．（2013?梧州）如图，在菱形ABCD中，已知∠A=60°，AB=5，则△ABD的周长是（ ）
A． 10 B． 12 C． 15 D． 20
2．（2013?本溪）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=2∠B，E，F分别为BC，CD的中点，连接AE、AC、AF，则图中与△ABE
全等的三角形（△ABE除外）有（ ）
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
3．（2012?成都）如图．在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是（ ）
A． AB∥DC B．AC=BD
C． AC⊥BD D．OA=OC
4．（2012?本溪）在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB=5，AC=6，过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，则△BDE的面积为（ ）
A． 22 B． 24 C． 48 D． 44
5．（2011?济南）如图，菱形ABCD的周长是16，∠A=60°，则对角线BD的长度为（ ）
A． 2 B． 2
C． 4 A． 4
6．（2011?衡阳）如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是（3，4），则顶点M、N的坐标分别是（ ）
A．M（5，0），N（8，4）
B．M（4，0），N（8，4）
C．M（5，0），N（7，4）
D．M（4，0），N（7，4）
7．（2011?包头）已知菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BAD=120°，AC=4，则该菱形的面积是（ ）
A.16 B.16
A.8 D.8
8．（2011?德州）图1是一个边长为1的等边三角形和一个菱形的组合图形，菱形边长为等边三角形边长的一半，以此为基本单位，可以拼成一个形状相同但尺寸更大的图形（如图2），依此规律继续拼下去（如图3），…，则第n个图形的周长是（ ）
A． 2n B． 4n
C． 2n+1 D． 2n+2
二、填空题（每题3分，共18分）
9．（2013?淮安）若菱形的两条对角线分别为2和3，则此菱形的面积是 ．
10．（2012?淮安）菱形ABCD中，若对角线长AC=8cm，BD=6cm，则边长AB=
cm．
11．（2010?珠海）如图，P是菱形ABCD对角线BD上一点，PE⊥AB于点E，PE=4cm，则点P到BC的距离是 cm．
12．（2009?临沂）如图，在菱形ABCD中，∠ADC=72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB= 度．
13．（2013?南京）如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF，若菱形ABCD的边长为2cm，∠A=120°，则EF= cm．
14．（2010?嘉兴）如图，已知菱形ABCD的一个内角∠BAD=80°，对角线AC、BD相交于点O，点E在AB上且BE=BO，则∠BEO= 度．
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三、解答题（共40分）
15.（6分）（2013?广州）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O，AB=5，AO=4，求BD的长．
16.（6分）（2007?无锡）如图，已知四边形ABCD是菱形，点E，F分别是边CD，AD的中点．求证：AE=CF．
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17.（6分）（2009?宜宾）已知：如图，四边形ABCD是菱形，过AB的中点E作AC的垂线EF，交AD于点M，交CD的延长线于点F．
（1）求证：AM=DM；
（2）若DF=2，求菱形ABCD的周长．
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18.（6分）（2012?舟山）如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE=AB，连接CE．
（1）求证：BD=EC；
（2）若∠E=50°，求∠BAO的大小．
19.（8分）（2013?南宁）如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E、F分别是边BC、AD的中点．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若∠B=60°，AB=4，求线段AE的长．
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20.（8分）（2013?贵阳）已知：如图，在菱形ABCD中，F是BC上任意一点，连接AF交对角线BD于点E，连接EC．
（1）求证：AE=EC；
（2）当∠ABC=60°，∠CEF=60°时，点F在线段BC上的什么位置？说明理由．
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参考答案：
基础为本、掌握新知
1.一组邻边相等 2.边：两组对边平行；四条边都相等；对角线平分且垂直，并平分一组对角；角：两组对角相等；邻角互补.
3.平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点.矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形；对称轴有2条；对称中心是对角线的中心.菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形；对称轴：两条，即两条对角线；对称中心：对角线的交点.
4.2.4
一例一练、活用数学
练习1 ∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD.∵E，F分别是AB，AC的中点，
∴BC=2EF=4，∴菱形ABCD的周长是：4×4=16.
练习2 解：∵菱形ABCD的周长为16cm，∴菱形的边长为4cm，∵∠ABC：∠BCD=2：1，∠ABC+∠BCD=180°，∴∠ABC=120°，∠BCD=60°，∴△ABD为等边三角形，∴BD=AB=4cm．
练习4 解：取AD的中点N′，连接MN′交BD于O，连接NN′，∵菱形ABCD关于直线BD是轴对称图形∴N、N′关于直线BD是对称，∴ON=ON′，∴OM+ON=OM+ON′=MN′
∵在菱形ABCD中，AB=AD，∠A=60°，∴△ABD是等边三角形，∴AB=BD=5.2cm，
∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AD=BC，∵N′为AD中点，M为AB中点，
∴BM∥AN′且BM=AN′，∴四边形MBAN′是平行四边形，∴MN′=AB=5.2cm，∴OM+ON≥5.2cm，即OM+ON的最小值是5.2cm．
全真考题、能力拓展
1.D 【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，∵∠ABC=60°，∴△ABC为等边三角形，∴AC=AB=3．
2.C 【解析】图中全等三角形有：△ABO≌△ADO、△ABO≌△CDO，△ABO≌△CBO；
△AOD≌△COD，△AOD≌△COB；△DOC≌△BOC；△ABD≌△CBD，△ABC≌△ADC，
共8对．
3.C 【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴∠BAC=∠BAD，CB∥AD，∵∠BAC=50°，∴∠BAD=100°，∵CB∥AD，∴∠ABC+∠BAD=180°，∴∠ABC=180°-100°=80°.
4.8 【解析】∵菱形ABCD的边长为4，∴AB=BC=4，∵AE⊥BC于E，∠B=60°，
∴BE=2，由勾股定理得AE=.∴菱形的面积=4×=8
5.5 【解析】∵菱形ABCD，其顶点A，B在数轴上对应的数分别为-4和1，则AB=1-（-4）=5，∴AB=BC=5．
6.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB//CD，DO=BO，AC⊥BD，∴∠CDO+∠DCO=90°．∵DH⊥AB，∴HO=DO，∠DCO=90°，∴∠DHO=∠HDO，∠CDO+∠HDO=90°，∴∠DHO=∠DCO.
课时自测、认清自我
1.C 【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，又∵∠A=60°，∴△ABD是等边三角形，∴△ABD的周长=3AB=15．
3.B 【解析】A、菱形的对边平行且相等，所以AB∥DC，故本选项正确；B、菱形的对角线不一定相等，故本选项错误；C、菱形的对角线一定垂直，AC⊥BD，故本选项正确；D、菱形的对角线互相平分，OA=OC，故本选项正确．
4.B 【解析】∵AD∥BE，AC∥DE，∴四边形ACED是平行四边形，∴AC=DE=6，
在RT△BCO中，BO==4，即可得BD=8，又∵BE=BC+CE=BC+AD=10，
∴△BDE是直角三角形，∴S△BDE=DE?BD=24．
5.C 【解析】∵菱形ABCD的周长是16，∴AB=AD=CD=BC=4，∵∠A=60°，∴△ABD是等边三角形，∴AB=AD=BD=4．∴对角线BD的长度为4．
6.A 【解析】过P作PE⊥OM，∵顶点P的坐标是（3，4），∴OE=3，PE=4，
∴OP==5，∴点M的坐标为（5，0），∵5+3=8，∴点N的坐标为（8，4）．
7.C 【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=OC=AC=×4=2，∠BAC=∠BAD=×120°=60°，∴AC=4，∠AOB=90°，∴∠ABO=30°，∴AB=2OA=4，
OB=2，∴BD=2OB=4，∴该菱形的面积是：AC?BD=×4×4=8．
8.C 【解析】下面是各图的周长：图1中周长为4；图2周长为8；图3周长为16；
所以第n个图形周长为2n+1．
9.3 【解析】由题意，知：S菱形=×2×3=3
10.5 【解析】如图，∵菱形ABCD中，对角线长AC=8cm，BD=6cm，∴AO=AC=4cm，BO=BD=3cm，∵菱形的对角线互相垂直，∴在Rt△AOB中，AB===
5cm．
11.4 【解析】在菱形ABCD中，BD是∠ABC的平分线，∵PE⊥AB于点E，PE=4cm，
∴点P到BC的距离=PE=4cm．
13. 【解析】连接BD、AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AC平分∠BAD，
∵∠BAD=120°，∴∠BAC=60°，∴∠ABO=90°﹣60°=30°，∵∠AOB=90°，
∴AO=AB=×2=1，由勾股定理得：BO=DO=，∵A沿EF折叠与O重合，∴EF⊥AC，EF平分AO，∵AC⊥BD，∴EF∥BD，∴EF为△ABD的中位线，∴EF=BD=（+）=，
14.65 【解析】∵ABCD是菱形，∴AB=AD．∴∠ABD=∠ADB．∵∠BAD=80°，∴∠ABD=×（180°﹣80°）=50°．又∵BE=BO，∴∠BEO=∠BOE=×（180°﹣50°）=65°．
15.解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O，∴AC⊥BD，DO=BO，
∵AB=5，AO=4，∴BO==3，∴BD=2BO=2×3=6．
16.证明：∵ABCD是菱形，∴AD=CD，∵E，F分别是CD，AD的中点，∴DE=CD，DF=AD，
∴DE=DF，又∵∠ADE=∠CDF，∴△AED≌△CFD（SAS），∴AE=CF．
17.（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴∠BAC=∠DAC．又∵EF⊥AC，∴AC是EM的垂直平分线，∴AE=AM，∵AE=AM=AB=AD，∴AM=DM．
（2）解：∵AB∥CD，∴∠AEM=∠F．又∵∠FMD=∠AME，∠AME=∠AEM，
∴∠FMD=∠F，∴△DFM是等腰三角形，∴DF=DM=AD．∴AD=4．∴菱形ABCD的周长是16．
18.（1）证明：∵菱形ABCD，∴AB=CD，AB∥CD，又∵BE=AB，∴BE=CD，BE∥CD，
∴四边形BECD是平行四边形，∴BD=EC；
（2）解：∵平行四边形BECD，∴BD∥CE，∴∠ABO=∠E=50°，又∵菱形ABCD，∴AC丄BD，∴∠BAO=90°﹣∠ABO=40°