同步备课试题 5-3-2函数的极值与最大（小）值 人教A版2019选择性必修第二册 （含解析）

5.3.2函数的极值与最大(小)值（分层作业）（夯实基础+能力提升）
【夯实基础】
一、单选题
1．（2022·新疆·昌吉州行知学校高二期末（文））如图是函数的导函数的图象，给出下列命题：
①x=-2是函数的极值点；
②x=1是函数的极值点；
③的图象在处切线的斜率小于零；
④函数在区间上单调递增．
则正确命题的序号是（ ）
A．①② B．②④ C．②③ D．①④
2．（2022·全国·高二期末）已知函数，下列结论中错误的是（ ）
A．，
B．函数的值域为R
C．若是的极值点，则
D．若是的极小值点，则在区间单调递减
3．（2022·四川达州·高二期末（文））函数的最小值为（ ）
A． B． C．0 D．3
4．（2022·浙江·高二阶段练习）已知函数存在减区间，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·北京·北师大二附中高二阶段练习）已知函数的定义域为(a，b)，导函数在(a，b)上的图象如图所示，则函数在(a，b)上的极大值点的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2022·山东·巨野县实验中学高二阶段练习）若对任意的实数恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·贵州毕节·高二期末（理））已知为函数的极大值点，则（ ）
A．3 B． C． D．
8．（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学高二期中）函数在区间上的极小值点是（ ）
A．0 B． C． D．
二、多选题
9．（2022·重庆·高二阶段练习）对于定义在R上的可导函数，为其导函数，下列说法不正确的是（ ）
A．使的一定是函数的极值点
B．在R上单调递增是在R上恒成立的充要条件
C．若函数既有极小值又有极大值，则其极小值一定不会比它的极大值大
D．若在R上存在极值，则它在R一定不单调
10．（2022·浙江·高二期中）下列关于极值点的说法正确的是（ ）
A．若函数既有极大值又有极小值，则该极大值一定大于极小值
B．在任意给定区间上必存在最小值
C．的最大值就是该函数的极大值
D．定义在上的函数可能没有极值点，也可能存在无数个极值点
11．（2022·黑龙江·齐齐哈尔市第八中学校高二期中）已知函数，则（ ）
A．在上单调递减 B．的极大值点为2
C．的极大值为－2 D．有2个零点
三、填空题
12．（2022·陕西·咸阳市高新一中高二阶段练习（文））函数的极大值是_______
13．（2022·全国·高二专题练习）已知为函数的极大值点，则______．
14．（2022·全国·高二单元测试）已知函数的最小值为0，则实数a的值为__________．
15．（2022·全国·高二专题练习）函数的极值点为______．
四、解答题
16．（2022·广东·雷州市白沙中学高二阶段练习）已知函数，求的单调区间和极值.
17．（2022·新疆·霍城县第二中学高二期末（文））设函数在处取得极值-1.
(1)求、的值；
(2)求的单调区间.
18．（2022·上海南汇中学高二期末）已知函数为实常数）．
(1)若，求证：在上是增函数；
(2)当时，求函数在上的最大值与最小值及相应的值；
(3)若存在，使得成立，求实数的取值范围．
19．（2022·全国·高二课时练习）设函数，求的极大值点与极小值点.
20．（2022·全国·高二课时练习）设函数，若为奇函数，求：
(1)曲线在点处的切线方程；
(2)函数的极大值点．
【能力提升】
一、单选题
1．（2022·北京平谷·高二期末）函数在上的极小值点为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·河南许昌·高二期末（理））已知函数，则下列结论中正确的命题个数为（ ）
①当时，函数有两个极值点
②当a≤1时，函数在上为减函数
③当时，函数的图象与x轴有两个交点
④当，函数在上存在最小值
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2022·上海·华师大二附中高二阶段练习）已知函数，那么下列说法正确的是（ ）
A．在点处有相同的切线
B．函数有两个极值点
C．对任意恒成立
D．的图象有且只有两个交点
4．（2022·广东·佛山市顺德区容山中学高二期中）设函数，则（ ）
A．为的极大值点且曲线在点处的切线的斜率为1
B．为的极小值点且曲线在点处的切线的斜率为
C．为的极小值点且曲线在点处的切线的斜率为1
D．为的极大值点且曲线在点处的切线的斜率为
5．（2022·全国·高二课时练习）如图是函数的大致图象，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·上海交大附中高二阶段练习）关于函数，下列判断错误的是（ ）
A．函数的图像在点处的切线方程为
B．是函数的一个极值点
C．当时，
D．当时，不等式的解集为
7．（2022·全国·高二单元测试）已知函数，，则下列说法不正确的是（ ）
A．最大值为 B．最小值为
C．函数在区间上单调递增 D．是它的极大值点
二、多选题
8．（2022·山东临沂·高二期末）已知函数，则（ ）
A．有三个零点
B．有两个极值点
C．点是曲线的对称中心
D．直线在点处与曲线相切
9．（2022·江苏苏州·高二期末）已知函数，则（ ）
A．在上单调递增
B．在上单调递减
C．在上有2个极值点
D．在上有4个极值点
10．（2022·河北石家庄·高二期末）已知函数（为常数，为自然对数的底数），则下列结论正确的有（ ）
A．时，恒成立
B．时，有唯一零点且
C．时，是的极值点
D．若有3个零点，则的范围为
三、填空题
11．（2022·全国·高二单元测试）设函数，已知在有且仅有2个极小值点，下述选项错误的是__________．（填序号）
① ②在上单调递增
③在上单调递减 ④在上至多有2个极大值点
12．（2022·北京通州·高二期末）设函数．其图象在点处的切线的斜率分别为0，．关于a，b，c及函数有下面四个结论：
①．②．③．④函数有且只有两个极值点．
则其中所有正确结论的序号是____________．
13．（2022·山西·太原市外国语学校高二阶段练习）已知，则下列说法正确的有______________
①函数有唯一零点x=0
②函数的单调递减区间为和
③函数有极大值点
④若关于x的方程有三个不同的根，则实数a的取值范围是
14．（2022·四川凉山·高二期中（理））定义在R上的函数．
①在上是减函数，在上是增函数．
②在上存在极小值．
③的图象在处的切线与直线垂直．
④设，若存在，使，则．
以上对函数的描述中正确的选项是：___________
15．（2022·全国·高二单元测试）若a为函数的极小值点，则___________.
四、解答题
16．（2022·福建·莆田一中高二期末）已知函数，其中.
(1)当时，求函数在内的极值点；
(2)若函数在上的最小值为3，求实数k的取值范围.
17．（2022·吉林·高二期末）已知函数，．
(1)求函数的极值点；
(2)若恒成立，求实数的取值范围．
18．（2022·四川眉山·高二期末（文））已知
(1)求的极值点；
(2)求证：.
19．（2022·浙江·杭州市长河高级中学高二期中）已知.
(1)求的极大值点；
(2)若，当时，恒成立，求a的取值范围.
20．（2022·辽宁·高二期末）已知函数.
(1)当时，讨论的单调性；
(2)当时，若为的两极值点，且，求正数的取值范围.
21．（2022·北京·高二期末）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，求证：函数存在极小值；
(3)请直接写出函数的零点个数.
5.3.2函数的极值与最大(小)值（分层作业）（夯实基础+能力提升）
【夯实基础】
一、单选题
1．（2022·新疆·昌吉州行知学校高二期末（文））如图是函数的导函数的图象，给出下列命题：
①x=-2是函数的极值点；
②x=1是函数的极值点；
③的图象在处切线的斜率小于零；
④函数在区间上单调递增．
则正确命题的序号是（ ）
A．①② B．②④ C．②③ D．①④
【答案】D
【分析】根据导数的几何意义，与函数的单调性，极值点的关系，结合图象即可作出判断.
【详解】对于①，根据导函数图像可知，-2是导函数的零点，且-2的左右两侧导函数值符号异号，故-2是极值点，故①正确；
对于②，1不是极值点，因为1的左右两侧导函数符号一致，故②错误；
对于③，0处的导函数值即为此点的切线斜率显然为正值，故③错误；
对于④，导函数在恒大等于零，故为函数的增区间，故④正确.
故选：D
【点睛】根据导函数和原函数的关系很容易分析单调性，然后要注意对极值点的理解，极值点除了是导函数得解还一定要保证在导函数值在此点两侧异号.
2．（2022·全国·高二期末）已知函数，下列结论中错误的是（ ）
A．，
B．函数的值域为R
C．若是的极值点，则
D．若是的极小值点，则在区间单调递减
【答案】D
【分析】根据三次函数的图像特征，可判断A,B选项，根据极值点的定义，可知C选项，根据极值点与单调性的关系，即可判断.
【详解】对A,是三次函数，则在上一定有零点，且值域为，所以A，B都对.
对C，三次函数是连续的，故是的极值点，则是对的.
对于D,因为三次函数的三次项系数为正值，若函数存在极值点，则必有两根，故函数必有两个极值点，设为，且极小值点为，∴函数在，递增，在递减，故D错误.
故选：D
3．（2022·四川达州·高二期末（文））函数的最小值为（ ）
A． B． C．0 D．3
【答案】B
【分析】利用导数研究函数的单调性，进而求得函数的最值.
【详解】∵，∴，
当时，得，故在上单调递减，
当时，得，故在上单调递增，
又，故当时取最小值，
故选：B
4．（2022·浙江·高二阶段练习）已知函数存在减区间，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】函数存在减区间,则有解可求解.
【详解】由题可知,
因为函数存在减区间,则有解,
即有解,
令,,
令,解得 ; 令,解得 ,
所以在单调递减, 单调递增,
所以,
因为有解,所以,
解得.
故选:D.
5．（2022·北京·北师大二附中高二阶段练习）已知函数的定义域为(a，b)，导函数在(a，b)上的图象如图所示，则函数在(a，b)上的极大值点的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据极大值点的定义结合导函数的图象分析判断即可
【详解】由函数极值的定义和导函数的图象可知，在(a，b)上与x轴的交点个数为4，但是在原点附近的导数值恒大于零，故x＝0不是函数f(x)的极值点．
其余的3个交点都是极值点，其中有2个点满足其附近的导数值左正右负，
故极大值点有2个．
故选：B
6．（2022·山东·巨野县实验中学高二阶段练习）若对任意的实数恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】构造函数，利用导数研究函数在单调性，并计算，可得结果.
【详解】令，
则，令
若时，
若时，
所以可知函数在递减，在递增
所以
由对任意的实数恒成立
所以
故选：A
【点睛】本题考查利用导数解决恒成立问题，关键在于构建函数，通过导数研究函数性质，属基础题.
7．（2022·贵州毕节·高二期末（理））已知为函数的极大值点，则（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】B
【分析】求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的极大值点.
【详解】解：因为，
所以，
所以当或时，当时，
所以的单调递增区间为和，单调递减区间为，
所以的极大值点为，即.
故选：B
8．（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学高二期中）函数在区间上的极小值点是（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【分析】利用导数研究的区间单调性，进而确定极小值点.
【详解】由题设，
所以在上，递减，
在上，递增，
所以极小值点为.
故选：B
二、多选题
9．（2022·重庆·高二阶段练习）对于定义在R上的可导函数，为其导函数，下列说法不正确的是（ ）
A．使的一定是函数的极值点
B．在R上单调递增是在R上恒成立的充要条件
C．若函数既有极小值又有极大值，则其极小值一定不会比它的极大值大
D．若在R上存在极值，则它在R一定不单调
【答案】ABC
【分析】ABC均可以举出反例，D可以通过极值点和极值的定义进行判断.
【详解】A选项，的不一定是函数的极值点，比如在处导函数的值为0，但不是的极值点，A说法错误；
在R上单调递增，可能会在某点导函数等于0，比如为单调递增函数，在处导函数值为0，故在R上单调递增不是在R上恒成立的充要条件，B说法错误；
若函数既有极小值又有极大值，则其极小值可能会比它的极大值大，比如，在处取得极大值-2，在处取得极小值2，极小值大于极大值，故C说法错误；
根据极值点和极值的定义可以判断，若在R上存在极值，则它在R一定不单调，D说法正确.
故选：ABC
10．（2022·浙江·高二期中）下列关于极值点的说法正确的是（ ）
A．若函数既有极大值又有极小值，则该极大值一定大于极小值
B．在任意给定区间上必存在最小值
C．的最大值就是该函数的极大值
D．定义在上的函数可能没有极值点，也可能存在无数个极值点
【答案】BCD
【分析】A选项可以举出反例，C选项，可以结合函数的单调性，判断出正确；D选项可以举出例子，B选项，从函数的连续性上来进行解决.
【详解】A选项，例如，在处取得极小值，在处取得极大值，而，故极大值不一定大于极小值，A错误，
C选项，，
函数在上单调递增，在上单调递减，
根据极值的定义可知：在处取得极大值，也是最大值，C正确；
对于D，无极值点，有无数个极值点，D正确；
在R上为连续函数，因为连续函数在闭区间上必定存在最值，所以B正确；
故选：BCD．
11．（2022·黑龙江·齐齐哈尔市第八中学校高二期中）已知函数，则（ ）
A．在上单调递减 B．的极大值点为2
C．的极大值为－2 D．有2个零点
【答案】BD
【分析】求导分析的单调性可判断ABC，再求解可判断D
【详解】，令有或，故当时，，单调递减；当时，，单调递增；当时，，单调递减.
对A，因为时，单调递增，故A错误；
对B，的极大值点为2正确，故B正确；
对C，的极大值为，故C错误；
对D，即，解得或，故D正确；
故选：BD
三、填空题
12．（2022·陕西·咸阳市高新一中高二阶段练习（文））函数的极大值是_______
【答案】##
【分析】利用导数的性质，结合极大值的定义进行求解即可.
【详解】由，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以当时，函数有极大值，
极大值为：
故答案为：
13．（2022·全国·高二专题练习）已知为函数的极大值点，则______．
【答案】
【分析】根据导函数的正负判断单调区间和极值点，进而得解.
【详解】因为，所以．
当时，，
当时，，
当时，，
所以的单调递增区间为和，单调递减区间为，所以的极大值点为，即．
故答案为：.
14．（2022·全国·高二单元测试）已知函数的最小值为0，则实数a的值为__________．
【答案】1
【分析】利用导数研究的单调性和最值，根据最小值求得的值.
【详解】的定义域为，
，
当时，，在区间上递增，没有最小值.
当时，在区间递减；在区间递增.
所以在区间上的最小值为.
故答案为：
15．（2022·全国·高二专题练习）函数的极值点为______．
【答案】##
【分析】利用导数求的极值点.
【详解】由题设，
当时，，递减；
当时，，递增；
所以由极小值点为，无极大值点.
故答案为：
四、解答题
16．（2022·广东·雷州市白沙中学高二阶段练习）已知函数，求的单调区间和极值.
【答案】函数的单调增区间为，单调减区间为，极小值为，无极大值.
【分析】求出导函数，然后令，，求解不等式即可得函数的单调区间，从而可得函数的极值.
【详解】解：因为，所以，
令，得，令，得，
所以函数的单调增区间为，单调减区间为，
所以函数的极小值为，无极大值.
17．（2022·新疆·霍城县第二中学高二期末（文））设函数在处取得极值-1.
(1)求、的值；
(2)求的单调区间.
【答案】(1)
(2)的单调递增区间为，单调递减区间为.
【分析】（1）根据极值和极值点列出方程组，求出；（2）结合第一问得到单调区间.
【详解】（1），由题意得：，，
解得：，
此时，
当时，，当或时，，
故为极值点，满足题意，
所以.
（2）由（1）可知：当时，，当或时，，
故的单调递增区间为，单调递减区间为
18．（2022·上海南汇中学高二期末）已知函数为实常数）．
(1)若，求证：在上是增函数；
(2)当时，求函数在上的最大值与最小值及相应的值；
(3)若存在，使得成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)当时，函数有最小值为，
当时，函数有最大值为.
(3)
【分析】(1)利用导数大于零即可证明；(2)利用导数讨论函数的单调性即可求解给定区间内的最值；(3)利用导数讨论单调性与最值，即可解决能成立问题.
【详解】（1）由题可知函数的定义域，
因为,所以，所以，
令解得，
所以在上是增函数.
（2）因为,所以，所以，
令解得，令解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，函数有最小值为，
因为，
所以当时，函数有最大值为.
（3）由得，即，
因为，所以，所以，
且当时，所以在恒成立，所以，
即存在时，，
令，，
令，
令，解得，
令，解得，
所以在单调递减，单调递增，
所以，
所以时，恒成立，
所以，
所以实数的取值范围是.
19．（2022·全国·高二课时练习）设函数，求的极大值点与极小值点.
【答案】极大值点为，极小值点为
【分析】求导分析导函数的零点与正负区间求解即可.
【详解】.
令，得；
令，得或，
故的单调增区间为，单调减区间为及.
当时，函数有极大值，
当时，函数有极小值，
故函数f（x）有极大值点为，极小值点为.
20．（2022·全国·高二课时练习）设函数，若为奇函数，求：
(1)曲线在点处的切线方程；
(2)函数的极大值点．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先利用奇函数的定义可求出的值，再利用导数的几何意义可求得切线方程，
（2）先求出函数的单调区间，从而可求出极大值点.
（1）
因为函数为奇函数，所以，
从而得到，即，所以．
因为，所以，
所以曲线在点处的切线方程为．
（2）
，
由，得，由，得或，
所以函数在上是严格减函数，在上是严格增函数，
所以函数的极大值点是．
【能力提升】
一、单选题
1．（2022·北京平谷·高二期末）函数在上的极小值点为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分析函数导数的符号变化，由此可得函数的单调性，由单调性得出结论即可.
【详解】对于函数，，
因为，当时，，当时，，当时，，
所以在区间[0，]上是增函数，在区间[，]上是减函数，在[，π]是增函数．
因此，函数在上的极小值点为.
故选：C.
2．（2022·河南许昌·高二期末（理））已知函数，则下列结论中正确的命题个数为（ ）
①当时，函数有两个极值点
②当a≤1时，函数在上为减函数
③当时，函数的图象与x轴有两个交点
④当，函数在上存在最小值
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】求导，令，得到或，再逐项判断.
【详解】解：因为，
所以，
令，得或，
①当时，则 ，所以函数有两个极值点，故正确；
②当a≤1时，若，即时，，函数在上为增函数；
若，即时，当时，，当时；
若，即时，函数在上为减函数；
③当时，的两个极值点为 ，，此时，又，
所以函数的图象与x轴有两个交点，故正确；
④当时，，则是函数的唯一的极小值点，则函数取得极小值，故正确.
故选：C
3．（2022·上海·华师大二附中高二阶段练习）已知函数，那么下列说法正确的是（ ）
A．在点处有相同的切线
B．函数有两个极值点
C．对任意恒成立
D．的图象有且只有两个交点
【答案】D
【分析】结合切线的斜率、极值点、不等式恒成立、函数图象的交点对选项进行分析，从而确定正确选项.
【详解】A选项，，，，所以A选项错误.
B选项，令，
，
所以在区间递减；在区间递增.
所以有极小值也即是有最小值，无极大值，无最大值，函数有个极值点，
，，
，
所以有个零点，也即的图象有且只有两个交点，
所以BC选项错误，D选项正确.
故选：D
4．（2022·广东·佛山市顺德区容山中学高二期中）设函数，则（ ）
A．为的极大值点且曲线在点处的切线的斜率为1
B．为的极小值点且曲线在点处的切线的斜率为
C．为的极小值点且曲线在点处的切线的斜率为1
D．为的极大值点且曲线在点处的切线的斜率为
【答案】C
【分析】对函数求导，求出函数的单调性，进而可得出其极值点，由，可得到在点处的切线斜率．
【详解】，
令，解得，令，解得，
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴是函数的极小值点，
又，则曲线在点处的切线斜率为1，
故选：C．
5．（2022·全国·高二课时练习）如图是函数的大致图象，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定图象求出函数的解析式，再求出其极值点x1，x2的关系式即可得解.
【详解】观察函数的图象知，-1，0，2是函数的零点，且，是函数的两个极值点，
于是得，求导得，
因，是函数的两个极值点，则，是方程的两根，
从而有，，
所以.
故选：C
6．（2022·上海交大附中高二阶段练习）关于函数，下列判断错误的是（ ）
A．函数的图像在点处的切线方程为
B．是函数的一个极值点
C．当时，
D．当时，不等式的解集为
【答案】B
【解析】先对函数求导，得到，求出函数的图像在点处的切线方程，即判断A；根据时，恒成立，得到函数单调，无极值点，可判断B；根据导数的方法求出时，的最小值，即可判断C；根据导数的方法判断时函数的单调性，根据单调性列出不等式组求解，即可得出结果.
【详解】因为，所以，，
所以，因此函数的图像在点处的切线方程为，即，故A正确；
当时，在上恒成立，即函数在定义域内单调递减，无极值点；故B错；
当时，，由得；由得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增；
因此，即；故C正确；
当时，在上恒成立，所以函数在上单调递减；由可得，解得：，故D正确；
故选：B.
【点睛】本题主要考查求曲线在某一点处的切线方程，以及导数的方法研究函数的单调性、极值最值等，属于常考题型.
7．（2022·全国·高二单元测试）已知函数，，则下列说法不正确的是（ ）
A．最大值为 B．最小值为
C．函数在区间上单调递增 D．是它的极大值点
【答案】C
【分析】利用导数分析函数在区间上的单调性，求得该函数的极值与最值，由此可判断各选项的正误.
【详解】，则.
令，可得或；令，可得.
当时，函数在区间,上均为增函数，
在区间上为减函数，C选项错误；
所以是函数的极大值点，D选项正确；
因为，，，，
所以，函数在区间上的最大值为，
最小值为，A、B选项正确.
故选：C.
【点睛】本题考查利用导数判断函数的单调性，以及利用导数求解函数的极值点与最值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
二、多选题
8．（2022·山东临沂·高二期末）已知函数，则（ ）
A．有三个零点
B．有两个极值点
C．点是曲线的对称中心
D．直线在点处与曲线相切
【答案】BCD
【分析】结合的单调性、极值可判断A；利用极值点的定义可判断B，利用平移可判断C；利用导数的几何意义判断D.
【详解】对B，由题，，令得或，
令得，
所以在上单调递减，在，上单调递增，
所以是极值点，故B正确；
对A，由的单调性，且因极大值，，
所以，函数在定义域上有且仅有一个零点，故A错误；
对C，令，该函数的定义域为，，
则是奇函数，是的对称中心，
将的图象向下移动一个单位得到的图象，
所以点 是曲线的对称中心，故C正确；
对D，因为，且，故当切点为时，切线方程为，即，故D正确.
故选：BCD.
9．（2022·江苏苏州·高二期末）已知函数，则（ ）
A．在上单调递增
B．在上单调递减
C．在上有2个极值点
D．在上有4个极值点
【答案】BD
【分析】利用奇偶性定义判断出为奇函数，利用导数判断出在上的单调性可判断A B；求出，令，利用奇偶性定义判断出
为偶函数， 分、、、、、、、讨论单调性，画出图象，再平移作出的图象，由导函数与原函数图象之间的关系判断极值情况，可判断CD.
【详解】，所以为奇函数，
对于A，，
当时，，所以，即在上单调递减，
因为为奇函数，所以在上单调递减，故A错误，B正确；
，令，，
所以为偶函数，，
当时， ，所以，单调递减，
因为为偶函数，所以当时，单调递增，
当时， ，所以，单调递减，
因为为偶函数，所以当时，单调递增，
当时， ，所以，单调递增，
因为为偶函数，所以当时，单调递减，
当时， ，所以，单调递增，
因为为偶函数，所以当时，单调递减，
，，
，，，
，，
，，
所以的图象为
在处有四个极值，
的图象是由的图象向下平移1个单位得到的，
如图
图象与轴有四个交点，从左往右依次设为，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以在处有四个极值，故D正确，C错误.
故选：BD.
10．（2022·河北石家庄·高二期末）已知函数（为常数，为自然对数的底数），则下列结论正确的有（ ）
A．时，恒成立
B．时，有唯一零点且
C．时，是的极值点
D．若有3个零点，则的范围为
【答案】BD
【分析】利用特殊值，，即可判断选项A，令，利用导数研究的单调性，结合函数零点的存在性定理即可判断选项B，对函数二次求导，确定函数的单调性，即可判断选项C，令，由导数判断函数的单调性，再结合零点个数列出不等式组求出的取值范围，即可判断选项D．
【详解】解：对于A，当时，，则，故A错误；
对于B，当时，，令，
则，
当或时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
又，，，
由零点的存在性定理可知，只有一个零点，且，
所以只有一个零点且，故B正确；
对于C，令，则，
当时，，则函数单调递增，
当时，，则函数单调递减，
所以，
此时函数单调递增，无极值点，
故C错误；
对于D，令，
则函数与的零点相同，
当时，，无零点；
当时，，
当或时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
当时，，
当时，，
要使得有个零点，则，即，
解得，
所以的范围为，故D正确；
故选：BD．
三、填空题
11．（2022·全国·高二单元测试）设函数，已知在有且仅有2个极小值点，下述选项错误的是__________．（填序号）
① ②在上单调递增
③在上单调递减 ④在上至多有2个极大值点
【答案】②
【分析】利用已知条件求出的范围,判断A;利用函数的单调性判断B、C;函数的极大值判断D.
【详解】由题,因为在有且仅有2个极小值点,所以,即.
因为，所以,故①正确；
因为,所以.
因为在单调递增,只有当时在单调递增才成立,故②错误;
因为在单调递减,所以在上单调递减.故③正确;
因为两端点取不到,且,所以在上至多有2个极大值点.故④正确.
故答案为：②
12．（2022·北京通州·高二期末）设函数．其图象在点处的切线的斜率分别为0，．关于a，b，c及函数有下面四个结论：
①．②．③．④函数有且只有两个极值点．
则其中所有正确结论的序号是____________．
【答案】①③④
【分析】根据函数图象在点处的切线的斜率为0，可，再由函数在处的切线斜率为，再结合，可求出的大小关系，然后可求出的范围，利用导数求函数的极值点
【详解】由，得，
因为函数图象在点处的切线的斜率为0，
所以，
因为函数在处的切线斜率为，
，
因为，所以，
所以，所以，
由，得，
因为，
所以，
因为，所以，
将代入，
得，
因为方程有实根，所以，
所以，得，或，
所以，
因为，所以，
因为，，
所以，
令，则，
，
，
得或，
所以当或时，，当时，，
所以为极小值点，为极大值点，所以函数有且只有2个极值点，
综上，①③④正确，②错误，
故答案为：①③④
13．（2022·山西·太原市外国语学校高二阶段练习）已知，则下列说法正确的有______________
①函数有唯一零点x=0
②函数的单调递减区间为和
③函数有极大值点
④若关于x的方程有三个不同的根，则实数a的取值范围是
【答案】①④
【分析】根据零点的定义判断①，求出函数的导数，利用导数分析函数的单调性，作出函数的图象，根据图象判断②，③，④．
【详解】由得：，即，故函数有唯一零点，故①正确；
由题意可知：，
当时，，则，
当时，，递增；当时，，递减，
则此时的极大值为；
当时，，，在上单调递减，
由此可作出的图象如下：
观察图象可得函数的单调递减区间为，，②错，
函数在时有极大值，即函数有极大值点为1，③错误，
若关于x的方程有三个不同的根，则实数的取值范围是，④正确，
故答案为：①④．
14．（2022·四川凉山·高二期中（理））定义在R上的函数．
①在上是减函数，在上是增函数．
②在上存在极小值．
③的图象在处的切线与直线垂直．
④设，若存在，使，则．
以上对函数的描述中正确的选项是：___________
【答案】①④
【分析】根据导数的性质，结合导数的几何意义、存在性的性质逐一判断即可.
【详解】由.
①：当时，，所以此时函数单调递减，
当时，，所以以时函数单调递增，因此本结论正确；
②：，因为函数在上单调递增，所以此时函数没有极值，因此本结论不正确；
③：，直线的斜率为，因为，所以的图象在处的切线与直线不垂直，因此本选项结论不正确；
④：，存在，使，转化为存在，使成立，由，
设，，所以，
当时，单调递增，当，单调递减，
所以当时，函数有最大值，因为，
所以，要想存在，使成立，
只需，因此本结论正确，
故答案为：①④
15．（2022·全国·高二单元测试）若a为函数的极小值点，则___________.
【答案】2
【分析】求出函数的导数，直接求函数的极值点即可得解.
【详解】令，
解得，
由二次函数可知，当或时，，当时，，
所以函数在和上递增，在上递减，
所以是函数的极小值点，
即，
故答案为：2
四、解答题
16．（2022·福建·莆田一中高二期末）已知函数，其中.
(1)当时，求函数在内的极值点；
(2)若函数在上的最小值为3，求实数k的取值范围.
【答案】(1)极大值点为，无极小值点
(2)
【分析】（1）首先求得导函数，然后利用导函数研究函数的单调性，据此可求得函数的值域；
（2）求得函数的解析式，然后结合导函数的符号确定函数的单调性，分类讨论即可求得实数的取值范围.
（1）
解：由题意得：
当时，，
则，
令得，，
列表如下：
x 0 1 3
+ 0 - 0
1 单调递增 5 单调递减 1
故在内的极大值点为，无极小值点.
（2）
①当时，，
函数在区间单调递增
所以
即（舍）；
②当时，，
函数在区间单调递减
所以，符合题意；
③当时
当时，，区间在单调递减
当时，，区间在单调递减
所以
化简得：，即
所以或（都舍）；注：也可令，
则
则在单调递减
所以，不符合题意；
综上所述：实数k取值范围为.
17．（2022·吉林·高二期末）已知函数，．
(1)求函数的极值点；
(2)若恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)是的极大值点，无极小值点
(2)
【分析】（1）首先利用导数判断函数的单调区间，再确定函数的极值点；
（2）解法一，首先构造函数，，再根据函数的导数，判断函数的最大值，即可求解；解法二，首先证明，即可得，即，不等式恒成立，转化为，即可求解.
（1）
由已知可得，函数的定义域为，且，
当时，；当时，，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为，
所以是的极大值点，无极小值点．
（2）
解法一：设，，
则，
令，，则对任意恒成立，
所以在上单调递减．
又，，
所以，使得，即，则，即．
因此，当时，，即，则单调递增；
当时，，即，则单调递减，
故，解得，
所以当时，恒成立．
解法二：令，，当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，即．
因为，所以，当时等号成立，
即，当时等号成立，
所以的最小值为1．
若恒成立，则，
所以当时，恒成立．
18．（2022·四川眉山·高二期末（文））已知
(1)求的极值点；
(2)求证：.
【答案】(1)的极大值点为，极小值点为；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据函数的极值的定义及导数法求函数的极值的步骤即可求解.
（2）根据已知条件构造函数，利用导数法求的单调性及最值，进而得出函数的单调性及最值，进而证明不等式；
（1）
由题意可知，,
所以的定义域为.
因为，所以，
令即，解得或.
当变化时，的变化情况如下表：
0 0
极大值 极小值
由此表可知，的极大值点为，极小值点为.
（2）
由，得，
要证，只需证，即可
设，则，
设，则，
令即，解得.
当时，；
当时，；
所以函数在上单调递增，在上单调递减.
当时，函数取得极小值，也是最小值
.
所以函数在上单调递增，且，
所以是方程的唯一实数根，
当时，；
当时，；
所以函数在上单调递增，在上单调递减.
当时，函数取得极小值，也是最小值
,
所以，即，
即证.
19．（2022·浙江·杭州市长河高级中学高二期中）已知.
(1)求的极大值点；
(2)若，当时，恒成立，求a的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由题可得，根据函数的导数与函数的极值点的关系即得；
（2）由题可得恒成立，构造函数，利用导数求函数的最值即得.
（1）
因为，
所以，
由可得，，即，
由可得，，即，
所以的极大值点为；
（2）
由，
可得，
当时，恒成立，
令，则，
由，可得或，
因为，，
所以当，即时，，在上单调递增，
∴，则，即，
所以；
当，即时，当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以，
则，
∴，即，
所以；
综上，a的取值范围为.
【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：
若在区间上有最值，则
（1）恒成立：；；
（2）能成立：；.
若能分离常数，即将问题转化为：（或），则
（1）恒成立：；；
（2）能成立：；.
20．（2022·辽宁·高二期末）已知函数.
(1)当时，讨论的单调性；
(2)当时，若为的两极值点，且，求正数的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）分、讨论，利用导数判断单调性可得答案；
（2）时可得两极值点为，可得，设，求出，令，则由导数可得
是上的增函数，即恒成立， 转化为恒成立，利用单调性可得，设，再分、 讨论利用导数可得答案.
（1）
由得，
当时，的解集为的解集为，
当时，的解集为的解集为，或，所以，当时，是上的增函数，是上的减函数；
当时，是上的增函数，是上的减函数.
（2）
，
当，或时，；当时，，
两极值点为，
，
设，则，
令则，
当时，是上的增函数，
当时，.
是上的增函数.
由条件得恒成立，
恒成立，即恒成立.
，
，
，
设，若，则单调递增；
若，则，单调递减，，
所以，正数的取值范围是.
【点睛】本题解题的关键点是构造函数，求解原函数的单调性，利用得出的函数大小关系构造新函数；对新函数进行求导，利用其单调性以及函数取值，考查了学生分析问题、解决问题的能力.
21．（2022·北京·高二期末）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，求证：函数存在极小值；
(3)请直接写出函数的零点个数.
【答案】(1)；
(2)详见解析；
(3)当或时，函数有一个零点，当或时，函数有两个零点.
【分析】（1）求出函数的导数，再利用导数的几何意义即得；
（2）讨论函数在区间和上的符号即可推理作答；
（3）在时，分离参数，构造函数，再探讨在上的零点情况即可作答.
【详解】（1）由函数求导得，
，则，而，
所以曲线在点处的切线方程是；
（2）函数的定义域为，由（1）知，，
因为，则当时，，，，
则有，函数在上递减，
当时，，，，
则有，函数在上递增，
于是得当时，函数取得极小值，
所以当时，函数存在极小值；
（3）函数的定义域为，
由，可得，
显然是函数的零点，
当时，函数的零点即为方程的解，
令，则，
令，则，
当时，，当时，，
函数在上递增，在上递减，
，，
即有，在，上都递减，
令，，
当时，，当时，，
在上递增，在上递减，，
即，恒有，当且仅当时取“=”，
当时，，当时，，
因此，在上单调递减，取值集合为，在上递减，取值集合为，
于是得当或时，方程有唯一解，当或时，此方程无解，
所以，当或时，函数有一个零点，当或时，函数有两个零点.
【点睛】利用导数研究零点问题：
（1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象；
（2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题；
（3）利用导数研究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想研究；③构造辅助函数研究.