高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册 2.3.3 点到直线的距离公式 2.3.4两条平行直线间的距离 教案
文档属性
| 名称 | 高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册 2.3.3 点到直线的距离公式 2.3.4两条平行直线间的距离 教案 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 418.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-02-24 05:57:59 | ||
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文档简介
第二章 直线和圆的方程
2.3 直线的交点坐标与距离公式
2.3.3 点到直线的距离公式 2.3.4 两条平行直线间的距离
一、教学目标
1、推导并掌握平面上点到直线的距离公式，明确公式中各字母表示的含义；
2、掌握两条平行直线间距离的定义及推导两条平行直线间的距离公式；
3、能利用点到直线的距离公式、两平行直线间的距离公式解决实际问题；
4、培养直观想象和数学运算的核心素养.
二、教学重点、难点
重点：推导点到直线的距离公式与两条平行直线间的距离公式；
难点：能利用点到直线的距离公式、两平行直线间的距离公式解决实际问题.
三、学法与教学用具
1、学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标.
2、教学用具：多媒体设备等
四、教学过程
（一）创设情景，揭示课题
【引例1】（课本例5）点到直线的距离为________.
解：直接画图得到距离.
【引例2】 原点到直线l：的距离为________.
解法1：作，垂足为，直线的方程为，且与直线的方程联立，
解方程组，得，所以点的坐标为，
由两点间的距离公式得
.
解法2：设直线交两坐标轴于两点，则，从而
，
因为，所以.
【问题】已知点的坐标为，直线，如何求点到直线的距离呢？
（二）阅读精要，研讨新知
【发现】
解法1：设，所以，已知条件：
，，
【提问】有必要求出吗？（没有必要，换元法可以帮大忙.）
设，则：
，
所以.
可证明，当或时，上述公式仍适用.
（由于上述的运算需要一定的技巧，很多学生都没有信心完整地算出，于是只有放弃解法1.因此便有学生用面积法（解法2）进行尝试）
解法2：设，这时与轴、轴都相交，过点P作轴的平行线，交于点；
作轴的平行线，交于点，
由，得，
所以，，
，
由三角形面积公式可知：，所以.
可证明，当或时，上述公式仍适用.
【结论】点到直线的距离为：.
【思考】有没有其它的方法来求出点到直线的距离？
【发现】请阅读课本，谈谈你的发现与感悟.
【例题研讨】阅读领悟课本例6（用时约为2分钟，教师作出准确的评析.）
例6 已知的三个顶点分别是，求的面积.
解：如图2.3-7，设边上的高为，即为点到直线的距离.
因为，
直线，即
所以
因此
【小组互动】完成课本练习1、2、3，同桌交换检查，老师答疑.
【练习答案】
【思考】已知两条平行线的方程，如何求与的距离？
【发现】在例题中寻找方法与答案.
【例题研讨】阅读领悟课本例7、例8（用时约为3分钟，教师作出准确的评析.）
例7 已知两条平行直线，求与间的距离.
解：先求出与轴的交点
点到直线的距离为
所以与间的距离为.
例8 求证：两条平行直线与间的距离为
证明：在直线上任取一点,
点到直线 的距离就是这两条平行直线间的距离，即
因为点在直线上，所以，即,
因此
【小组互动】完成课本练习1、2、3，同桌交换检查，老师答疑.
【练习答案】
（三）探索与发现、思考与感悟
类型一 点到直线的距离公式及应用
1. 已知点为轴上一点，且点到直线的距离为，则点的坐标为
解：设，则，解得或
答案：点的坐标为或
2. 在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，
在中，求边上的高所在的直线方程；
求的面积.
解：（1）直线的斜率，所以边上的高线斜率，
所以边上的高所在直线的方程为.
（2）因为，
所以，
直线的方程为，所以点到直线的距离，
所以.
类型二 两条平行直线间的距离公式及应用
3. 求与直线：平行且到的距离为2的直线方程.
解：设所求直线的方程为（）
因为两直线间的距离为2，所以，解得或，
故所求直线方程为或.
类型三 距离公式的综合应用
4. 已知正方形一边所在直线的方程为，对角线的交点为，求正方形其他三边所在直线的方程.
解：设点到直线的距离为，则
因为，所以可设：（）.
点到直线的距离等于，则，
即：.
因为，所以可设：，
由正方形的性质可得点到直线、的距离也等于，
所以或.
即、的方程为，.
综上所述，正方形其他三边所在直线的方程为，，.
（四）归纳小结，回顾重点
1.点到直线的距离为：
2.两条平行直线与间的距离为
（五）作业布置，精炼双基
1. 完成课本习题2.3 6--15
2. 阅读课本《笛卡尔与解析几何》
3. 预习2.4 圆的方程
五、教学反思：（课后补充，教学相长）
2.3 直线的交点坐标与距离公式
2.3.3 点到直线的距离公式 2.3.4 两条平行直线间的距离
一、教学目标
1、推导并掌握平面上点到直线的距离公式，明确公式中各字母表示的含义；
2、掌握两条平行直线间距离的定义及推导两条平行直线间的距离公式；
3、能利用点到直线的距离公式、两平行直线间的距离公式解决实际问题；
4、培养直观想象和数学运算的核心素养.
二、教学重点、难点
重点：推导点到直线的距离公式与两条平行直线间的距离公式；
难点：能利用点到直线的距离公式、两平行直线间的距离公式解决实际问题.
三、学法与教学用具
1、学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标.
2、教学用具：多媒体设备等
四、教学过程
（一）创设情景，揭示课题
【引例1】（课本例5）点到直线的距离为________.
解：直接画图得到距离.
【引例2】 原点到直线l：的距离为________.
解法1：作，垂足为，直线的方程为，且与直线的方程联立，
解方程组，得，所以点的坐标为，
由两点间的距离公式得
.
解法2：设直线交两坐标轴于两点，则，从而
，
因为，所以.
【问题】已知点的坐标为，直线，如何求点到直线的距离呢？
（二）阅读精要，研讨新知
【发现】
解法1：设，所以，已知条件：
，，
【提问】有必要求出吗？（没有必要，换元法可以帮大忙.）
设，则：
，
所以.
可证明，当或时，上述公式仍适用.
（由于上述的运算需要一定的技巧，很多学生都没有信心完整地算出，于是只有放弃解法1.因此便有学生用面积法（解法2）进行尝试）
解法2：设，这时与轴、轴都相交，过点P作轴的平行线，交于点；
作轴的平行线，交于点，
由，得，
所以，，
，
由三角形面积公式可知：，所以.
可证明，当或时，上述公式仍适用.
【结论】点到直线的距离为：.
【思考】有没有其它的方法来求出点到直线的距离？
【发现】请阅读课本，谈谈你的发现与感悟.
【例题研讨】阅读领悟课本例6（用时约为2分钟，教师作出准确的评析.）
例6 已知的三个顶点分别是，求的面积.
解：如图2.3-7，设边上的高为，即为点到直线的距离.
因为，
直线，即
所以
因此
【小组互动】完成课本练习1、2、3，同桌交换检查，老师答疑.
【练习答案】
【思考】已知两条平行线的方程，如何求与的距离？
【发现】在例题中寻找方法与答案.
【例题研讨】阅读领悟课本例7、例8（用时约为3分钟，教师作出准确的评析.）
例7 已知两条平行直线，求与间的距离.
解：先求出与轴的交点
点到直线的距离为
所以与间的距离为.
例8 求证：两条平行直线与间的距离为
证明：在直线上任取一点,
点到直线 的距离就是这两条平行直线间的距离，即
因为点在直线上，所以，即,
因此
【小组互动】完成课本练习1、2、3，同桌交换检查，老师答疑.
【练习答案】
（三）探索与发现、思考与感悟
类型一 点到直线的距离公式及应用
1. 已知点为轴上一点，且点到直线的距离为，则点的坐标为
解：设，则，解得或
答案：点的坐标为或
2. 在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，
在中，求边上的高所在的直线方程；
求的面积.
解：（1）直线的斜率，所以边上的高线斜率，
所以边上的高所在直线的方程为.
（2）因为，
所以，
直线的方程为，所以点到直线的距离，
所以.
类型二 两条平行直线间的距离公式及应用
3. 求与直线：平行且到的距离为2的直线方程.
解：设所求直线的方程为（）
因为两直线间的距离为2，所以，解得或，
故所求直线方程为或.
类型三 距离公式的综合应用
4. 已知正方形一边所在直线的方程为，对角线的交点为，求正方形其他三边所在直线的方程.
解：设点到直线的距离为，则
因为，所以可设：（）.
点到直线的距离等于，则，
即：.
因为，所以可设：，
由正方形的性质可得点到直线、的距离也等于，
所以或.
即、的方程为，.
综上所述，正方形其他三边所在直线的方程为，，.
（四）归纳小结，回顾重点
1.点到直线的距离为：
2.两条平行直线与间的距离为
（五）作业布置，精炼双基
1. 完成课本习题2.3 6--15
2. 阅读课本《笛卡尔与解析几何》
3. 预习2.4 圆的方程
五、教学反思：（课后补充，教学相长）