高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册 3.2.2 双曲线的简单几何性质 教案

第三章 圆锥曲线的方程
3.2 双曲线
3.2.2 双曲线的简单几何性质
一、教学目标
1、会熟练画出一些简单双曲线的图象，并认真观察其图象有何几何特征.(重点)
2、会类比椭圆几何性质的研究方法，自己尝试获取双曲线的简单几何性质，并能初步应用.
二、教学重点、难点
重点： 双曲线的简单几何性质
难点： 双曲线的简单几何性质的正确应用
三、学法与教学用具
1、学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标.
2、教学用具：多媒体设备等
四、教学过程
（一）创设情景，揭示课题
【情景一】我们知道，电能是现代生活不可缺少的能源，目前我国主要靠火力发电，而火力发电主要是在火力发电厂中进行，火力发电厂简称“火电厂”，其形状就像照片中“粗烟囱”.那么这些“粗烟囱”是怎样建成的呢？
【问题】能否按照椭圆的几何性质的研究方法来研究双曲线，那么双曲线将会具有什么样的几何性质呢？
（二）阅读精要，研讨新知
【回顾】
椭圆的标准方程、简单的几何性质
图形
方程
范围
对称性 关于轴、轴、原点对称
焦点
顶点
离心率
【类比】
双曲线的标准方程、简单的几何性质
标准方程
性质 图形
焦点
焦距
1.范围 或 或
2.对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
3.顶点
性质 轴 实轴：线段，实轴长：，半实轴长= 虚轴：线段，虚轴长：，半虚轴长=
4.离心率
5.渐近线
等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线，它的渐近线是，离心率为
【例题研讨】阅读领悟课本例3（用时约为1分钟，教师作出准确的评析.）
例3 求双曲线的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.
解：由已知，双曲线的标准方程为，所以，
所以，双曲线的实半轴长为4，虚半轴长为3，焦点坐标为，离心率为，
渐近线方程为.
【小组互动】完成课本 练习1、2、3、4，同桌交换检查，老师答疑.
【练习答案】
【例题研讨】阅读领悟课本 例4、例5、例6（用时约为3-4分钟，教师作出准确的评析.）
例4双曲线型冷却塔的外形， 是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面(图3.2-10 (1) ). 它的最小半径为12m. 上口半径为13 m,下口半径为25m,高为55m. 试建立适 当的坐标系，
求出此双曲线的方程(精确到1 m).
解：根据双曲线的对称性，在冷却塔的轴截面所在平面建立如图3.2-10 (2)
所示的直角坐标系,使小圆的直径在轴上，圆心与原点重合，
这时，上、下口的直径都平行于轴，
且.
设双曲线的方程为，点
因为直径是实轴，所以，又两点都在双曲线上，所以，
由②得，代入①化简得，解得（舍去负值）
因此所求双曲线的方程为
例5动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，求动点的轨迹.
解：设是点到直线的距离，根据题意，动点的轨迹就是点的集合
由此得，化简得
所以，点的轨迹是焦点在轴上，实轴长为6、虚轴长为的双曲线
例6如图3.2-12, 过双曲线的右焦点, 倾斜角为的直线交双曲线于两点，求.
解：由已知，双曲线的焦点分别为 ，
直线的方程为
由，设，则
，
所以
【小组互动】完成课本练习1、2、3，同桌交换检查，老师答疑.
【练习答案】
（三）探索与发现、思考与感悟
类型一　双曲线的几何性质
1.已知双曲线的离心率为，则焦点到渐近线的距离为(　　)　
A.2 B. C.4 D.8
解：由已知，解得
所以双曲线一个焦点为，渐近线为，
所以焦点到渐近线的距离为，故选B
2. 已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为(　　)
A. B. C. D.
解：方法一：由已知，，渐近线为，故选C
方法二：由已知，,所以渐近线为，故选C
3. 在平面直角坐标系中,若双曲线的离心率为，则的值为________.
解：当焦点在轴上时,此时
当焦点在轴上时,此时
答案: 或
类型二　利用双曲线的几何性质求双曲线的方程
4. 已知双曲线的离心率,且其虚轴长为8,则双曲线的方程为 (　　)
A. B. C. D.
解：由已知解得，所以双曲线C的方程为，故选B
5. 过双曲线的右顶点作轴的垂线,与的一条渐近线相交于点，若以的右焦点为圆心、半径为4的圆经过两点(为坐标原点),则双曲线的方程为 (　　)
A. B. C. D.
解：因为以的右焦点为圆心、半径为4的圆经过两点,
所以半径，则圆的标准方程为,
由题意得,则，即
即，则双曲线的方程为 ，故选D.
6. 已知双曲线与有公共渐近线,且一个焦点为,则双曲线的标准方程为__________.
解：由已知,可设所求双曲线方程为 ,则，又，
所以,故所求双曲线的方程为，
答案:
（四）归纳小结，回顾重点
双曲线的标准方程、简单的几何性质
标准方程
性质 图形
焦点
焦距
1.范围 或 或
2.对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
3.顶点
性质 轴 实轴：线段，实轴长：，半实轴长= 虚轴：线段，虚轴长：，半虚轴长=
4.离心率
5.渐近线
等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线，它的渐近线是，离心率为
（五）作业布置，精炼双基
1.完成课本习题3.2 3、4、6、8、11、12、13、14
2.阅读课本《为什么是双曲线的渐近线》
3. 预习3.3 抛物线
五、教学反思：（课后补充，教学相长）