同步备课试题 第5章一元函数的导数及其应用 人教A版2019选择性必修第二册 （含解析）

第5章一元函数的导数及其应用（单元测试）
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知函数，若，则（ ）
A． B．1 C． D．
2．下列导数运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．函数在区间上的平均变化率为（ ）
A．-1 B．1 C．2 D．3
4．函数的部分图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知函数，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
6．函数在上可导,且,则
A．0 B．1 C．-1 D．不确定
7．已知函数，直线与曲线相切，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．设函数，当时，不等式对任意的恒成立，则的可能取值是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.
9．下列求导数运算正确的是（ ）
A．（2021x）′=x2021x﹣1
B．（x2021+log2x）′=2021x2020
C．（）′
D．（x23x）′=2x3x+x23xln3
10．如图是导函数的图象，则下列说法错误的是（ ）
A．为函数的单调递增区间
B．为函数的单调递减区间
C．函数在处取得极大值
D．函数在处取得极小值
11．已知点在函数的图象上，则过点A的曲线的切线方程是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知为函数的导函数，若，，则下列结论正确的是（ ）
A．在上单调递增
B．在上单调递减
C．在上有极大值
D．在上有极小值
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围为___________.
14．设函数,若方程至少有3个不同的实数根，则实数m的取值范围为______．
15．函数在上的最大值为______．
16．瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.已知平面直角坐标系中为直角三角形，其直角顶点在轴上，点是斜边上一点，其“欧拉线”是正切曲线以点为切点的切线，则点的坐标为______.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知函数 ．
（1）若 ，求的极值；
（2）证明：当 时，．
18．已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）求函数在区间上的值域．
19．如图，已知、两个城镇相距20公里，设是中点，在的中垂线上有一高铁站，的距离为10公里.为方便居民出行，在线段上任取一点（点与、不重合）建设交通枢纽，从高铁站铺设快速路到处，再铺设快速路分别到、两处.因地质条件等各种因素，其中快速路造价为1.5百万元/公里，快速路造价为1百万元/公里，快速路造价为2百万元/公里，设，总造价为(单位：百万元).
（1）求关于的函数关系式，并指出函数的定义域；
（2）求总造价的最小值，并求出此时的值.
20．已知函数．
（1）若曲线在点处的切线与轴平行，且，求的值；
（2）若，对恒成立，求的取值范围．
21．已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）设函数图象上不重合的两点.证明：.（是直线的斜率）
22．已知函数（e为自然对数的底数）．
（1）求函数的零点，以及曲线在处的切线方程；
（2）设方程有两个实数根，求证：．
第5章一元函数的导数及其应用（单元测试）
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知函数，若，则（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【分析】先求出，再代入求解即可.
【详解】解：由函数，
则，
又，
则，
即1，
故选：B.
【点睛】本题考查了导函数的求法，重点考查了运算能力，属基础题.
2．下列导数运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据导数的计算公式，以及导数的运算法则，逐项判断，即可得出结果.
【详解】对于A，，A错误；
对于B，，B正确；
对于C，，C错误；
对于D，，D错误．
故选：B．
3．函数在区间上的平均变化率为（ ）
A．-1 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】直接利用平均变化率公式进行求值.
【详解】因为，
所以在区间上的平均变化率为.
故选：B
【点睛】本题考查函数的平均变化率，考查运算求解能力，属于基础题.
4．函数的部分图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据奇偶性的定义，结合函数极限以及利用导数求得函数单调性，即可判断和选择.
【详解】容易得定义域为关于原点对称，
又，
故函数是偶函数，
的图象关于轴对称，
故排除B，
又，
故排除D.
当时，，令 ，解得；
故当时，单调递减，在单调递增.
此时
故排除C.
故选：.
【点睛】本题考查函数图象的辨识，涉及函数奇偶性、单调性的判断，属综合基础题.
5．已知函数，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】判断的奇偶性，利用导数判断上的单调性，根据单调性以及奇偶性比较大小即可.
【详解】易知为偶函数
∴
∵，当时，，∴在上为增函数
∴
∴
故选：A
6．函数在上可导,且,则
A．0 B．1 C．-1 D．不确定
【答案】C
【解析】求出代入求出，进而求出，即可求解.
【详解】，得，
，
.
故选:C
【点睛】本题考查函数的导数以及简单的运用，属于基础题.
7．已知函数，直线与曲线相切，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】设切点为,利用导数的几何意义与在与上联立求解即可.
【详解】设切点为,则,又直线与曲线相切故,消去有,代入第一个式子有
.易得.代入有.
故选：B
【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的运用,需要根据在某点处导函数的值等于在该点处切线的斜率以及切点在切线方程与函数式上联立求解即可.属于中等题型.
8．设函数，当时，不等式对任意的恒成立，则的可能取值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】利用导数求得函数的单调性，得到，把不等式恒成立，转化为得对任意的恒成立，求得，结合选项，即可求解．
【详解】由题意，函数，可得，
令，解得或，当时，可得，
所以在，上单调递减，在上单调递增，
又当时，，所以在上为减函数，
又，所以，
由不等式对任意的恒成立，
得对任意的恒成立，
所以恒成立，解得，即，
结合选项知，可得的可能取值是．
故选：D．
【点睛】易错警示：利用单调性解决相关应用问题时，要注意单调区间的判定，当自变量都在同一个单调区间内才能利用相应的单调性，解题时防止漏证导致解题错误．
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.
9．下列求导数运算正确的是（ ）
A．（2021x）′=x2021x﹣1
B．（x2021+log2x）′=2021x2020
C．（）′
D．（x23x）′=2x3x+x23xln3
【答案】BD
【分析】根据题意，依次计算选项中函数的导数，即可得答案.
【详解】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，（2021x）′=2021xln2021，A错误；
对于B，（x2021+log2x）′=（x2021）′+（log2x）′=2021x2020，B正确；
对于C，（）′，C错误；
对于D，（x23x）′=（x2）′ 3x+x2×（3x）′=2x3x+x23xln3，D正确.
故选：BD.
10．如图是导函数的图象，则下列说法错误的是（ ）
A．为函数的单调递增区间
B．为函数的单调递减区间
C．函数在处取得极大值
D．函数在处取得极小值
【答案】BC
【分析】根据导函数函数值的正负与函数单调性的关系，以及函数极值点的定义，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】由图可知，当时，，故单调递减；当，，故单调递增；
当，，故单调递减；当，，故单调递增，
且，，，
则该函数在和处取得极小值；当处取得极大值.
故选：BC.
11．已知点在函数的图象上，则过点A的曲线的切线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】先根据点在函数的图象上，可求出，再设出切点，求出在点处的切线方程，然后根据点在切线上，即可解出．
【详解】因为点在函数的图象上，所以．
设切点，则由得，，即，
所以在点处的切线方程为：，即．
而点在切线上，∴， 即，
解得或，∴切线方程为：和．
故选：AD．
【点睛】本题主要考查过某点的曲线的切线方程的求法，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．
12．已知为函数的导函数，若，，则下列结论正确的是（ ）
A．在上单调递增
B．在上单调递减
C．在上有极大值
D．在上有极小值
【答案】BD
【分析】首先根据题意设，得到，再求出的单调性和极值即可得到答案.
【详解】由，可知，则，
即，设.
由得，
由得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，函数取得极小值.
故选：BD.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围为___________.
【答案】
【分析】由于函数在区间上不单调，等价于函数在区间上存在极值点，对函数求导，对分类讨论，求出极值点，根据极值点在区间内，可得关于的不等式，即可求出结果．
【详解】由.
①当时，函数单调递增，不合题意；
②当时，函数的极值点为，
若函数在区间不单调，必有，解得.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：由于函数在区间上不单调，等价于函数在区间上存在极值点，这是解决本题的关键点和突破点.
14．设函数,若方程至少有3个不同的实数根，则实数m的取值范围为______．
【答案】
【分析】当时求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，即可求出函数在上的最小值，再画出函数图象，依题意与的图象至少有3个交点，结合函数图形即可求出参数的取值范围；
【详解】解：当时，由得，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
又，所以当时，的最小值为，
且时，，当时，易知在上单调递减，
在上单调递增，又，所以当时，的最小值为，画出函数与的图象如图所示，
由图可知，要使方程至少有3个不同的实数根，即与的图象至少有3个交点，只需．
故答案为：
15．函数在上的最大值为______．
【答案】
【分析】求导后判断在的正负号，即可得出在上的单调性，即可得出答案.
【详解】由得，
当时，，即在上单调递增，
又，所以在上的最大值为．
故答案为：.
16．瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.已知平面直角坐标系中为直角三角形，其直角顶点在轴上，点是斜边上一点，其“欧拉线”是正切曲线以点为切点的切线，则点的坐标为______.
【答案】
【分析】由题意的“欧拉线”即为直线，求出正切曲线在点处的切线方程，即的方程，令可得答案.
【详解】因为是直角三角形，所以其垂心为直角顶点，其外心为斜边的中点，
故的“欧拉线”即为直线，
由题设知直线即为正切曲线以点为切点的切线，
又点在斜边上，故的外心即为点，
由
所以正切曲线在点处的切线的斜率为
故其“欧拉线”的方程为，
令，得，所以∴.
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题考查利用导数求切线方程和新定义的应用，解答本题的关键由“欧拉线”的定义结合为直角三角形，利用条件得出的“欧拉线”即为直线，由导数的几何意义求出切线方程，可得答案，属于中档题.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知函数 ．
（1）若 ，求的极值；
（2）证明：当 时，．
【答案】（1）极大值为 ，没有极小值；（2）证明见详解.
【分析】（1）求出函数的导函数，分析函数的单调性，即可得到函数的极值；
（2）构造函数，证明函数在时恒成立.
【详解】（1）
,
当时,；
当时,
当变化时,的变化情况如下表：
单调递增 单调递减
因此,当时,有极大值,并且极大值为 ，没有极小值.
（2）令函数,
由（1）知在区间上单调递增,在区间上单调递减.
又
故在存在唯一零点.设为,则
当时,；当时,,
所以在区间上单调递增,在区间上单调递减
又，
所以，当时,.
故.
18．已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）求函数在区间上的值域．
【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）．
【解析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）根据函数的单调性求出函数的极值点，从而求出函数的最值即可．
【详解】解：（1）由题意得，，令，得，
令，得或，故函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）易知，
因为
,
所以．
（或由，可得）,
又当时，，
所以函数在区间上的值域为．
【点睛】确定函数单调区间的步骤：
第一步，确定函数的定义域；
第二步，求；
第三步，解不等式，解集在定义域内的部分为单调递增区间；解不等式，解集在定义域内的部分为单调递减区间．
19．如图，已知、两个城镇相距20公里，设是中点，在的中垂线上有一高铁站，的距离为10公里.为方便居民出行，在线段上任取一点（点与、不重合）建设交通枢纽，从高铁站铺设快速路到处，再铺设快速路分别到、两处.因地质条件等各种因素，其中快速路造价为1.5百万元/公里，快速路造价为1百万元/公里，快速路造价为2百万元/公里，设，总造价为(单位：百万元).
（1）求关于的函数关系式，并指出函数的定义域；
（2）求总造价的最小值，并求出此时的值.
【答案】（1），()（2）最小值为，此时
【分析】（1）由题意，根据三角形的性质，即可得到；
（2）构造函数，利用导数求得函数的单调性，即可求解函数的最值．
【详解】(1),
，，
，
(2)设
则
令，又，所以.
当,,,单调递减；
当,,,单调递增；
所以的最小值为.
答：的最小值为(百万元)，此时
【点睛】本题主要考查了函数的实际应用问题，以及利用导数求解函数单调性与最值问题，其中解答中认真审题，合理建立函数的关系式，准确利用导数求解函数的单调性与最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．
20．已知函数．
（1）若曲线在点处的切线与轴平行，且，求的值；
（2）若，对恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）对求导，，解方程组求出，即可．（2）将代入，利用参变分离可以将问题转化为在 恒成立，求出的最小值，令即可．
【详解】（1），，
由，得，
（2）因为，，
等价于，
令，，
当时，，所以在上单调递减，
当时，，所以在上单调递增，
所以，
所以.
【点睛】本题考查了导数的几何意义，函数单调性，函数的最值问题，属于中档题．
21．已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）设函数图象上不重合的两点.证明：.（是直线的斜率）
【答案】（1）①当时，函数在上单调递增；②当时，函数在上单调递增，在上单调递减.（2）证明见解析
【解析】（1）先由题意，得到函数定义域，对函数求导，分别讨论和两种情况，解对应的不等式，即可得出其单调性；
（2）根据斜率公式，由题意，得到，再由，将证明的问题转化为证明，令，即证时，成立，设，对其求导，用导数的方法求其范围，即可得出结果.
【详解】（1）函数的定义域为，
且
①当时，，此时在单调递增；
②当时，令可得或（舍），，
由得，由得，
所以在上单调递增，在上单调递减.
综上：①当时，函数在上单调递增；
②当时，函数在上单调递增，在上单调递减.
（2）由题意得，
所以
又，
要证成立，
即证：成立，
即证：成立.
令，即证时，成立.
设
则
所以函数在上是增函数，
所以，都有，
即，，
所以
【点睛】本题主要考查用导数的方法判定函数单调性，以及用导数的方法证明不等式恒成立，通常需要对函数求导，用导数的方法求函数单调区间，以及最值等，属于常考题型.
22．已知函数（e为自然对数的底数）．
（1）求函数的零点，以及曲线在处的切线方程；
（2）设方程有两个实数根，求证：．
【答案】（1），切线方程为和；（2）证明见解析．
【解析】（1）由，求得，得到函数的零点，求得函数的导数，结合导数的几何意义，即可求得曲线在处的切线方程；
（2）利用导数求得函数的单调性，根据（1）得到当时，，结合分析法，即可作出证明.
【详解】（1）由题意，函数，令，得，
所以函数的零点，
又由，可得，，
所以曲线在处的切线方程为．
又由，所以曲线在处的切线方程为．
（2）由（1）知，
令，即，解得，
当时，；
当时，．
所以的单调递增区间为，，单调递减区间为，
由（1）知，当或时，；当时，．
下面证明：当时，．
当时，由，即，可得，
令，可得，所以在上单调递增，
所以对任意恒成立，
当时，．
由，可得，记，
不妨设，则，
所以，
要证，只需证，即证，
又因为，只需证，即，
因为，所以，所以只需证，
令，则．
当时，，函数为单调递减函数；
当时，，函数为单调递增函数，
所以，所以，
所以.
【点睛】利用导数证明不等式问题：
（1）直接构造法：证明不等式转化为证明，进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数；