1．等差数列有如下性质：若数列{an}是等差数列，则当bn＝时，数列{bn}也是等差数列；类比上述性质，相应地，若数列{cn}是正项等比数列，则当dn＝________时，数列{dn}也是等比数列．
[答案]
[解析] 类比等差数列与等比数列的性质，可猜测dn＝，{dn}为等比数列．
2．(2013·陕西文)观察下列等式
(1＋1)＝2×1
(2＋1)(2＋2)＝22×1×3
(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5
……
照此规律，第n个等式可为________________________．
[答案] (n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)
[解析] 本题考查了逻辑推理能力．观察规律，等号左侧为(n＋1)(n＋2)…(n＋n)，右侧分两部分，一部分是2n，另一部分为1×3×…(2n－1)．
3．根据等差数列的性质，利用类比方法试写出等比数列的一些性质.
等差数列性质{an}，公差d
等比数列性质{bn}，公比q
若m＋n＝p＋q则am＋an＝ap＋aq
①
若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap
②
ak，ak＋m，ak＋2m，…构成公差为md的等差数列
③
Sn为前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成公差为n2d的等差数列
④
am＝an＋(m－n)d
⑤
[解析] 由等差数列，等比数列性质，不难类比得到①－⑤的性质：
①若m＋n＝p＋q，则bm·bn＝bp·bq；
②若m＋n＝2p，则bm·bn＝b；
③bk，bk＋m，bk＋2m……构成公比为qm的等比数列；
④公比q≠－1时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n构成等比数列，公比为qn；
⑤bm＝bn·qm－n.
1．某西方国家流传这样的一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员先生是鹅”．结论显然是错误的，这是因为( )
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．非以上错误
[答案] C
[解析] 推理形式不符合三段论推理的形式，三段论的形式是：M是P，S是M，则S是P，而上面的推理形式则是：M是P，S是P，则S是M.故选C.
2．关于下面推理结论的错误：“因为对数函数y＝logax是增函数(大前提)，又y＝logx是对数函数(小前提)，所以y＝logx是增函数(结论)．”下列说法正确的是( )
A．大前提错误导致结论错误
B．小前提错误导致结论错误
C．推理形式错误导致结论错误
D．大前提和小前提都错误导致结论错误
[答案] A
[解析] 大前提错误，因为对数函数y＝logax(o＜a＜1)是减函数，故选A.
3．指出下面推理中的错误：
(1)自然数是整数 (大前提)
－6是整数 (小前提)
所以，－6是自然数 (结论)
(2)中国的大学分布在中国各地 (大前提)
北京大学是中国的大学 (小前提)
所以，北京大学分布在中国各地 (结论)
[分析] 判断三段论推理是否正确．必须严格按其推理规则进行考察，其推理规则为：
M是P，S是M?S是P
既要看大前提、小前提是否有误，也要看推理形式是否合乎规范．
[解析] (1)推理形式错误，自然数是整数为大前提，小前提应是判断某数为自然数，而不是某数为整数．
(2)推理形式错误，大前提中M是“中国的大学”，它的含义是中国的每一所大学，而小前提中的“中国的大学”仅表示中国的一所大学，二者是两个不同的概念，犯了偷换概念错误．
1．证明：对任意实数x、y，有x4＋y4≥xy(x＋y)2.
[解析] 要证x4＋y4≥xy(x＋y)2，
只需证2(x4＋y4)≥x3y＋xy3＋2x2y2，
只需证
不等式②显然成立，下面证明不等式①成立．
(x4＋y4)－(x3y＋xy3)＝(x－y)(x3－y3)，
∵x－y与x3－y3同号，
∴(x－y)(x3－y3)≥0，即不等式①成立．
故x4＋y4≥xy(x＋y)2.
2．已知a≥－，b≥－，a＋b＝1，求证：＋≤2.
下面是证明过程：要证＋≤2，只需证2(a＋b)＋2＋2·≤8.
∵a＋b＝1，∴即证·≤2，只需证(2a＋1)(2b＋1)≤4，
即证ab≤.∵≤，∴ab≤2＝.∵ab≤成立，因此＋≤2成立．试分析找出上述证明过程中的错误，并给予订正．
[解析] 上述解法中，对ab≤的证明是错误的．因为≤成立的条件是a≥0，b≥0，而原题条件是a≥－，b≥－，不满足上述条件．
正确解答为：在错解中，得·≤2.
∵a≥－，b≥－，
∴2a＋1≥0,2b＋1≥0.
∴·≤
＝＝2，即·≤2成立，因此原不等式成立．
1．“自然数a、b、c中恰有一个偶数”的否定为( )
A．自然数a、b、c都是奇数
B．自然数a、b、c都是偶数
C．自然数a、b、c中至少有两个偶数
D．自然数a、b、c都是奇数或至少有两个偶数
[答案] D
[解析] 恰有一个偶数的否定有两种情况，其一是无偶数，其二是至少有两个偶数．
2．若a>b>0，则下列不等式中总成立的是( )
A．a＋>b＋ B.>
C．a＋>b＋ D.>
[答案] A
[解析] 可通过举反例说明B、C、D均是错误的，或直接论证A选项正确．
3．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若a、b、c三边的倒数成等差数列，求证：∠B<90°.
[解析] 假设∠B<90°不成立，即∠B≥90°，从而∠B是△ABC的最大角，∴b是△ABC的最大边，即b>a，b>c.
∴>，>，相加得
＋>＋＝，这与＋＝矛盾．
故∠B≥90°不成立．∴∠B<90°.
4．用反证法证明：已知a、b均为有理数，且和都是无理数，求证：＋是无理数．
[解析] 解法一：假设＋为有理数，令＋＝t，
则＝t－，两边平方，得b＝t2－2t＋a，
∴＝.
∵a、b、t均为有理数，
∴也是有理数．
即为有理数，这与已知为无理数矛盾．
故假设不成立．
∴＋一定是无理数．
解法二：假设＋为有理数，
则(＋)(－)＝a－b.
由a>0，b>0，得＋>0.
∴－＝.
∵a、b为有理数，即a－b为有理数．
∴为有理数，∴－为有理数．
∴(＋)＋(－)为有理数，即2为有理数．
从而也就为有理数，这与已知为无理数矛盾，
∴＋一定为无理数．
