基础巩固强化
一、选择题
1．观察下列各式：1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…可以得出的一般结论是( )
A．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝n2
B．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2
C．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝n2
D．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝(2n－1)2
[答案] B
[解析] 观察各等式的构成规律可以发现，各等式的左边是2n－1(n∈N*)项的和，其首项为n，右边是项数的平方，故第n个等式首项为n，共有2n－1项，右边是(2n－1)2，
即n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.
2．观察下列各等式：＋＝2，＋＝2，＋＝2，＋＝2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为( )
A.＋＝2
B.＋＝2
C.＋＝2
D.＋＝2
[答案] A
[解析] 观察发现：每个等式的右边均为2，左边是两个分数相加，分子之和等于8，分母中被减数与分子相同，减数都是4，因此只有A正确．
3．下列哪个平面图形与空间图形中的平行六面体作为类比对象较合适( )
A．三角形 B．梯形
C．平行四边形 D．矩形
[答案] C
[解析] 从构成几何图形的几何元素的数目、位置关系、度量等方面考虑，用平行四边形作为平行六面体的类比对象较为合适．
4.观察下图图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( )
A.
B．△
C．?
D．○
[答案] A
[解析] 图形涉及○、△、?三种符号；其中△与○各有3个，且各自有两黑一白，所以缺一个黑色?符号，即应画上?才合适．
5．已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式：S＝，可推知扇形面积公式S扇等于( )
A. B.
C. D．不可类比
[答案] C
6．平面内的小圆形按照下图中的规律排列，每个图中的圆的个数构成一个数列{an}，则下列结论正确的是( )
①a5＝15；
②数列{an}是一个等差数列；
③数列{an}是一个等比数列；
④数列{an}的递推关系是an＝an－1＋n(n∈N*)．
A．①②④ B．①③④
C．①② D．①④
[答案] D
[解析] 由于a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，所以有a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4.因此必有a5－a4＝5，即a5＝15，故①正确．同时④正确，而{an}显然不是等差数列也不是等比数列，故②③错误，故选D.
二、填空题
7．对于平面几何中的命题：“夹在两平行线之间的平行线段的长度相等”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到的命题是：________________________________________________________________________.
[答案] 夹在两个平行平面间的平行线段的长度相等
8．(2012～2013学年度新疆兵团农二师华山中学高二期末测试)在△ABC中，不等式＋＋≥成立，在四边形中不等式＋＋＋≥成立，在五边形中＋＋＋＋≥成立，猜想在n边形A1A2…An中有不等式：________成立．
[答案] ＋＋＋…＋≥
[解析] 不等式的左边是n个内角倒数的和，右边分子是n2，分母是(n－2)π，故在n边形A1A2…An中有不等式＋＋＋…＋≥成立．
9．设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，________，________，成等比数列．
[答案]
[解析] 依题意有T4＝b1b2b3b4，＝b5b6b7b8，＝b9b10b11b12，＝b13b14b15b16，若原等比数列公比为q，则T4，，，构成公比为q16的等比数列．
[点评] 本例从结构上类比，从等差数列“和式的差”类比到等比数列“积式的商”．
三、解答题
10．已知数列{an}的第1项，a1＝1，且an＋1＝(n＝1,2，…)，试归纳出这个数列的通项公式．
[解析] 当n＝1时，a1＝1；
当n＝2时，a2＝＝；
当n＝3时，a3＝＝；
当n＝4时，a4＝＝.
观察可得，数列的前4项都等于相应序号的倒数，由此猜想，这个数列的通项公式为an＝.
基础巩固强化
一、选择题
1．“∵四边形ABCD为矩形，∴四边形ABCD的对角线相等”，以上推理省略的大前提为( )
A．正方形都是对角线相等的四边形
B．矩形都是对角线相等的四边形
C．等腰梯形都是对角线相等的四边形
D．矩形都是对边平行且相等的四边形
[答案] B
2．三段论：“①只有船准时起航，才能准时到达目的港；②这艘船是准时到达目的港的；③所以这艘船是准时起航的．”中的“小前提”是( )
A．① B．②
C．①② D．③
[答案] B
3．“凡是自然数都是整数，4是自然数，所以4是整数．”以上三段论推理( )
A．完全正确
B．推理形式不正确
C．不正确，两个“自然数”概念不一致
D．不正确，两个“整数”概念不一致
[答案] A
[解析] 大前提“凡是自然数都是整数”正确．
小前提“4是自然数”也正确，推理形式符合演绎推理规则，所以结论正确．
4．“三角函数是周期函数，y＝tanx，x∈是三角函数，所以y＝tanx，x∈是周期函数．”以上演绎推理过程( )
A．完全正确 B．大前提不正确
C．小前提不正确 D．推理形式不正确
[答案] C
[解析] 在“三角函数是周期函数”大前提下，对应的小前提应是“y＝tanx，是三角函数”，而不是“y＝tanx，x∈是三角函数”．
[点评] 此题在应用三段论时，犯了偷换概念的错误，前一个“三角函数”与后一个“三角函数”的概念不同．
5．下面符合三段论推理规则的为( )
A．如果p?q，p真，则q真
B．如果b?c，a?b，则a?c
C．如果a∥b，b∥c，则a∥c
D．如果a≥b，b≥c，则a≥c
[答案] B
6．有这样一段演绎推理：“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，这是因为( )
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．非以上错误
[答案] B
[解析] 用小前提“S是M”，判断得到结论“S是P”时，大前提“M是P”必须是所有的M，而不是部分．
二、填空题
7．已知推理：“因为△ABC的三边长依次为3、4、5，所以△ABC是直角三角形”，若将其恢复成完整的三段论，则大前提是________________________．
[答案] 一条边的平方等于其他两边平方和的三角形是直角三角形．
8．函数y＝2x＋5的图象是一条直线，用三段论表示为：
大前提________________________________________________．
小前提________________________________________________．
结论________________________________________________．
[答案] 所有一次函数的图像都是一条直线 函数y＝2x＋5是一次函数 函数y＝2x＋5的图像是一条直线
9．以下推理中，错误的序号为________．
①∵ab＝ac，∴b＝c；
②∵a≥b，b>c，∴a>c；
③∵75不能被2整除，∴75是奇数；
④∵a∥b，b⊥平面α，∴a⊥α.
[答案] ①
[解析] 当a＝0时，ab＝ac，但b＝c未必成立．
三、解答题
10．指出下列推理中的错误，并分析产生错误的原因．
(1)无限小数是无理数，＝0.666…是无限小数，是无理数；
(2)对于函数f(x)，如果对定义域内的任意x，都有f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数，f(x)＝sinx(－
[解析] (1)大前提错，无限不循环小数是无理数．
(2)小前提错，f(x)的定义域不关于原点对称，f()有意义，f(－)无意义.
基础巩固强化
一、选择题
1．关于综合法和分析法的说法错误的是( )
A．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法
B．综合法又叫顺推证法或由因导果法
C．综合法和分析法都是因果分别互推的“两头凑”法
D．分析法又叫逆推证法或执果索因法
[答案] C
[解析] 综合法是由因导果，分析法是执果索因，故选项C错误．
2．“对任意角θ，都有cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的证明过程：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”应用了( )
A．分析法
B．综合法
C．综合法与分析法结合使用
D．间接证法
[答案] B
[解析] 证明过程是利用已有的公式顺推得到要证明的等式，因此是综合法．
3．设a、b∈R，且a≠b，a＋b＝2，则必有( )
A．1≤ab≤ B．ab<1<
C．ab<<1 D.<1[答案] B
[解析] ab<2<(a≠b)．
4．设0A．a B．b
C．c D．不能确定
[答案] C
[解析] 因为b－c＝(1＋x)－＝＝－＜0，所以b2x>0，所以b＝1＋x>＝a，所以a5．p＝＋，q＝·(m、n、a、b、c、d均为正数)，则p、q的大小为( )
A．p≥q B．p≤q
C．p>q D．不确定
[答案] B
[解析] q＝≥＝＋＝p.
6．已知函数f(x)＝x，a、b∈R＋，A＝f，B＝f()，C＝f，则A、B、C的大小关系为( )
A．A≤B≤C B．A≤C≤B
C．B≤C≤A D．C≤B≤A
[答案] A
[解析] ≥≥，又函数f(x)＝()x在(－∞，＋∞)上是单调减函数，∴f()≤f()≤f()．
二、填空题
7．已知a>0，b>0，m＝lg，n＝lg，则m与n的大小关系为________．
[答案] m>n
[解析] 因为(＋)2＝a＋b＋2>a＋b>0，所以>，所以m>n.
8．如果a＋b>a＋b，则实数a、b应满足的条件是________．
[答案] a≠b且a≥0，b≥0
[解析] a＋b>a＋b?a＋b－a－b>0?a(－)＋b(－)>0?(a－b)(－)>0?(＋)(－)2>0
只需a≠b且a、b都不小于零即可．
三、解答题
9．设a≥b>0，求证：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.
[解析] 3a3＋2b3－(3a2b＋2ab2)＝3a2(a－b)＋2b2(b－a)＝(3a2－2b2)(a－b)．
因为a≥b>0，
所以a－b≥0,3a2－2b2>0，
从而(3a2－2b2)(a－b)≥0，
即3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.
基础巩固强化
一、选择题
1．命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是( )
A．有两个内角是直角
B．有三个内角是直角
C．至少有两个内角是直角
D．没有一个内角是直角
[答案] C
[解析] “最多只有一个”的含义是“有且仅有一个或者没有”，因此它的反面应是“至少有两个”．
2．设实数a、b、c满足a＋b＋c＝1，则a、b、c中至少有一个数不小于( )
A．0 B.
C. D．1
[答案] B
[解析] 三个数a、b、c的和为1，其平均数为，故三个数中至少有一个大于或等于.假设a、b、c都小于，则a＋b＋c<1与已知矛盾．
3．a＋b＞c＋d的一个必要不充分条件是( )
A．a＞c B．b＞d
C．a＞c且b＞d D．a＞c或b＞d
[答案] D
[解析] A、B是既不充分也不必要条件，C是充分不必要条件，只有D正确，可用反证法证明；若a＞c或b＞d不成立，则a≤c且b≤d，相加得，a＋b≤c＋d，与a＋b＞c＋d矛盾，故条件是必要的．又取a＝10，b＝1，c＝4，d＝8知条件是不充分的．
4．实数a、b、c不全为0等价于( )
A．a、b、c均不为0
B．a、b、c中至多有一个为0
C．a、b、c中至少有一个为0
D．a、b、c中至少有一个不为0
[答案] D
[解析] “不全为0”的含义是至少有一个不为0，其否定应为“全为0”．
[点评] 要与“a、b、c全不为0”加以区别，“a、b、c全不为0”是指a、b、c中没有一个为0，其否定应为“a、b、c中至少有一个为0”．
5．命题“若x2<1，则－1A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1
B．或－1C．若x>1或x<－1，则x2>1
D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1
[答案] D
6．如果两个数之和为正数，则这两个数( )
A．一个是正数，一个是负数
B．都是正数
C．不可能有负数
D．至少有一个是正数
[答案] D
[解析] 两个数的和为正数，可以是一正一负，也可以是一正一为0，还可以是两正，但不可能是两负．
二、填空题
7．“x＝0且y＝0”的否定形式为________．
[答案] x≠0或y≠0
[解析] “p且q”的否定形式为“綈p或綈q”．
8．和两条异面直线AB、CD都相交的两条直线AC、BD的位置关系是________．
[答案] 异面
[解析] 假设AC与BD共面于平面 α，则A、C、B、D都在平面α内，∴AB?α，CD?α，这与AB、CD异面相矛盾，故AC与BD异面．
9．在空间中有下列命题：①空间四点中有三点共线，则这四点必共面；②空间四点，其中任何三点不共线，则这四点不共面；③垂直于同一直线的两直线平行；④两组对边分别相等的四边形是平行四边形．其中真命题是________．
[答案] ①
[解析] 四点中若有三点共线，则这条直线与另外一点必在同一平面内，故①真；四点中任何三点不共线，这四点也可以共面，如正方形的四个顶点，故②假；正方体交于同一顶点的三条棱所在直线中，一条与另两条都垂直，故③假；空间四边形ABCD中，可以有AB＝CD，AD＝BC，例如将平行四边形ABCD沿对角线BD折起构成空间四边形，这时它的两组对边仍保持相等，故④假．
三、解答题
10．实数a、b、c、d满足a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1.
求证：a、b、c、d中至少有一个是负数．
[解析] 假设a、b、c、d都是非负数．
则1＝(a＋b)(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd＝(ac＋bd)＋(ad＋bc)≥ac＋bd，即ac＋bd≤1.这与已知ac＋bd>1矛盾，
所以假设不成立．故a、b、c、d中至少有一个是负数．
[点评] 该命题中含有“至少”字样，故想到用反证法来证明，又因为已知中有ac＋bd>1这一条件，要想构造出ac＋bd，需用(a＋b)乘以(c＋d).
