能力拓展提升
一、选择题
11．对于回归分析，下列说法错误的是( )
A．在回归分析中，变量间的关系是非确定性关系，因此因变量不能由自变量唯一确定
B．线性相关系数可以是正的或负的
C．回归分析中，如果r＝±1，说明x与y之间完全线性相关
D．样本相关系数r∈(－1,1)
[答案] D
[解析] ∵相关系数|r|≤1，∴D错．
12．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表
广告费用x(万元)
4
2
3
5
销售额y(万元)
49
26
39
54
根据上表可得回归方程＝x＋中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )
A．63.6万元 B．65.5万元
C．67.7万元 D．72.0万元
[答案] B
[解析] 此题必须明确回归直线方程过定点(，)．
易求得＝3.5，＝42，则将(3.5,42)代入＝x＋中得：42＝9.4×3.5＋，即＝9.1，则＝9.4x＋9.1，所以当广告费用为6万元时销售额为9.4×6＋9.1＝65.5万元．
13．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A、B两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r与残差平方和m如下表：
甲
乙
丙
丁
r
0.82
0.78
0.69
0.85
m
106
115
124
103
则哪位同学的试验结果体现A、B两变量有更强的线性相关性( )
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
[答案] D
[解析] r越接近1，相关性越强，残差平方和m越小，相关性越强，故选D.
14．某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：
x
1.99
3
4
5.1
6.12
y
1.5
4.04
7.5
12
18.01
对于表中数据，现给出下列拟合曲线，其中拟合程度最好的是( )
A．y＝2x－2 B．y＝()x
C．y＝log2x D．y＝(x2－1)
[答案] D
[解析] 可以代入检验，当x取相应的值时，所求y与已知y相差平方和最小的便是拟合程度最高的．
二、填空题
15．已知两个变量x和y之间有线性相关性，5次试验的观测数据如下表：
x
100
120
140
160
180
y
45
54
62
75
92
那么变量y关于x的回归方程是________．
[答案] ＝0.575x－14.9
[解析] 根据公式计算可得＝0.575，＝－14.9，所以回归直线方程是＝0.575x－14.9.
16．已知x，y的取值如下表：
x
0
1
3
4
y
2.2
4.3
4.8
6.7
若x，y具有线性相关关系，且回归方程为＝0.95x＋a，则a的值为________．
[答案] 2.6
[解析] 由已知得＝2，＝4.5，而回归方程过点(，)，则4.5＝0.95×2＋a，
∴a＝2.6.
三、解答题
17．某5名学生的数学成绩和化学成绩如下表：
数学成绩x
88
76
73
66
63
化学成绩y
78
65
71
64
61
(1)画出散点图；
(2)如果x、y呈线性相关关系，求y对x的线性回归方程．
[解析] (1)散点图如图：
(2)＝73.2，＝67.8，＝27 174，＝23 167，
iyi＝25 054，
∴＝≈0.625，
＝－＝22.05，
所求回归方程为,sup6(︿))＝22.05＋0.625x.
18．以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y和房屋的面积x的数据：
房屋面积(m2)
115
110
80
135
105
销售价格(万元)
24.8
21.6
18.4
29.2
22
(1)画出数据对应的散点图；
(2)求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线；
(3)据(2)的结果估计当房屋面积为150m2时的销售价格．
[解析] (1)数据对应的散点图如下图所示：
(2)＝xi＝109，lxx＝ (xi－)2＝1 570，
＝23.2，lxy＝ (xi－)(yi－)＝308.
设所求回归直线方程为＝x＋，
则＝＝≈0.196 2，＝－＝1.816 6.
故所求回归直线方程为＝0.196 2x＋1.816 6.
(3)据(2)，当x＝150m2时，销售价格的估计值为
＝0.196 2×150＋1.816 6＝31.246 6(万元)．
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一、选择题
9．下列说法：
①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；
②设有一条直线的回归方程为＝3－5x，变量x增加一个单位时，y平均增加5个单位；
③线性回归直线＝x＋必过点(，)；
④在一个2×2列联表中，由计算得K2＝13.079，则有99%的把握确认这两个变量间有关系．其中错误的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
本题可以参考独立性检验临界值表：
P(χ2≥k0)
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
k0
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
P(χ2≥k0)
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
[答案] B
[解析] 一组数据都加上或减去同一个常数，数据的平均数有变化，方差不变(方差是反映数据的波动程度的量)，①正确；回归方程中x的系数具备直线斜率的功能，对于回归方程＝3－5x，当x增加一个单位时，y平均减少5个单位，②错误；由线性回归方程的定义知，线性回归直线＝x＋必过点(，)，③正确；因为K2＝13.079>10.828，故有99%的把握确认这两个变量有关系，④正确，故选B.
10．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：
男
女
总计
爱好
40
20
60
不爱好
20
30
50
总计
60
50
110
由K2＝算得，K2＝≈7.8.
附表：
P(k2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
参照附表，得到的正确结论是( )
A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
[答案] A
[解析] 根据独立性检验的定义，由k2≈7.8>6.635可知，有99%以上把握认为“爱好该项运动与性别有关”．
11．某班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查，数据如下表：
认为作业多
认为作业不多
总数
喜欢玩电脑游戏
18
9
27
不喜欢玩电脑游戏
8
15
23
总数
26
24
50
则认为喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少有关系的把握大约为( )
A．99% B．95%
C．90% D．无充分依据
[答案] B
[解析] 由表中数据得k＝
≈5.059>3.841.
所以约有95%的把握认为两变量之间有关系．
二、填空题
12．某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据如下表：
专业
性别
非统计专业
统计专业
男
13
10
女
7
20
为了判断主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，得到
K2＝≈4.844，
因为K2≥3.841，所以判定主修统计专业与性别有关系，那么这种判断出错的可能性为________．
[答案] 5%
[解析] ∵k>3.841，所以有95%的把握认为主修统计专业与性别有关，出错的可能性为5%.
三、解答题
13．为了研究性格与血型的关系，抽取80名被试者，他们的血型与性格汇总如下，试判断性格与血型是否相关.
血型
性格
O型或A型
B型或AB型
总计
A型
18
16
34
B型
17
29
46
总计
35
45
80
[解析] 由列联表中的数据得到：
K2＝≈2.030≤2.706.
认为没有充分的证据显示“血型与性格有关系”．
14．打鼾不仅影响别人休息，而且可能与患某种疾病有关．下表是一次调查所得的数据，试问：每一晚都打鼾与患心脏病有关吗？
患心脏病
未患心脏病
合计
每一晚都打鼾
30
224
254
不打鼾
24
1 355
1 379
合计
54
1 579
1 633
[解析] 假设每一晚都打鼾与患心脏病无关系，则有a＝30，b＝224，c＝24，d＝1 355，a＋b＝254，c＋d＝ 1 379，a＋c＝54，b＋d＝1 579，n＝1 633.
∴K2＝
＝＝68.033.
∵68.033>10.828.
∴有99%的把握说每一晚都打鼾与患心脏病有关．
