能力拓展提升
一、选择题
11．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形(如下图)，则第七个三角形数是( )
A．27 B．28
C．29 D．30
[答案] B
[解析] 后面的三角形数依次在前面的基础上顺次加上2,3,4,5，……，故第七个三角形数为21＋7＝28.
12．若把正整数按下图所示的规律排序，则从2 010到2 012的箭头方向依次为( )
A．↓→ B．→↓
C．↑→ D．→↑
[答案] D
[解析] 根据箭头方向找规律，每相邻四个数字，箭头方向相同，2010÷4＝502余2，故从2010到2012与从2到4的方向一致，故选D.
13．如图所示的是一串黑白相间排列的珠子，若按这种规律排列下去，那么第36颗珠子的颜色是( )
A．白色 B．黑色
C．白色的可能性大 D．黑色的可能性大
[答案] A
[解析] 由图知，这串珠子的排列规律是：每5个一组(前3个是白色珠子，后2个是黑色珠子)呈周期性排列，而36＝5×7＋1，即第36颗珠子正好是第8组中的第1颗珠子，其颜色与第一颗珠子的颜色相同，故它的颜色一定是白色．
14．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：
他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1,4,9,16，…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )
A．289 B．1 024
C．1 225 D．1 378
[答案] C
[解析] 本题主要考查数形的有关知识．
图1中满足a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n，
以上累加得an－a1＝2＋3＋…＋n，an＝1＋2＋3＋…＋nan＝，图2中满足bn＝n2，
一个数若满足三角形数，其必能分解成两个相邻自然数乘积的一半；
一个数若满足正方形数，其必为某个自然数的平方．
∵1225＝352＝，∴选C.
二、填空题
15．已知{bn}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3…b9＝29.若{an}为等差数列，a5＝2，则{an}的类似结论为________．
[答案] a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9
[解析] 等比数列中，“乘积”类比到等差数列中“和”，故应有结论为a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9.
16．如图，已知命题：若矩形ABCD的对角线BD与边AB和BC所成的角分别为α，β，则cos2α＋cos2β＝1，则在长方体ABCD－A1B1C1D1中，可写出类似的命题：_______________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
[答案] 长方体ABCD－A1B1C1D1中，若对角线BD1与棱AB、BB1、BC所成的角分别为α、β、γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1或sin2α＋sin2β＋sin2γ＝2
(或：长方体ABCD－A1B1C1D1中，若对角线BD1与平面ABCD、ABB1A1、BCC1B1所成的角分别为α、β、γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝2或sin2α＋sin2β＋sin2γ＝1)．
三、解答题
17．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1且Sn－1＋＋2＝0(n≥2)，计算S1、S2、S3、S4，并猜想Sn的表达式．
[解析] 当n＝1时，S1＝a1＝1；
当n＝2时，＝－2－S1＝－3，∴S2＝－；
当n＝3时，＝－2－S2＝－；∴S3＝－；
当n＝4时，＝－2－S3＝－，∴S4＝－.
猜想：Sn＝－(n∈N*)．
18．若a1、a2∈R＋，则有不等式≥2成立，此不等式能推广吗？请你至少写出两个不同类型的推广．
[解析] 本例可以从a1、a2的个数以及指数上进行推广．
第一类型：≥()2，
≥()2，…，
≥()2；
第二类型：≥()3，≥()4，…，≥()n；
第三类型：≥()3，…，≥()m.
上述a1、a2、…、an∈R＋，m、n∈N*.
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一、选择题
11．“在四边形ABCD中，∵AB綊CD，∴四边形ABCD是平行四边形”．上述推理过程( )
A．省略了大前提 B．省略了小前提
C．是完整的三段论 D．推理形式错误
[答案] A
[解析] 上述推理基于大前提“一组对边平行且相等的四边形为平行四边形”．
12．(2012·浙江文，10)设a>0，b>0，e是自然对数的底数( )
A．若ea＋2a＝eb＋3b，则a>b
B．若ea＋2a＝eb＋3b，则a
C．若aa－2a＝eb－3b，则a>b
D．若ea－2a＝eb－3b，则a[答案] A
[解析] 本题考查了考生观察分析问题特点进而构造函数解决问题的能力，因为函数y＝ex＋2x为单调函数，若ea＋2a＝eb＋2b，则a＝b，若ea＋2a＝eb＋3b，则a>b，遇到较难的不等式问题，需要仔细观察式子特点，发现规律．
13．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理( )
A．结论正确 B．大前提不正确
C．小前提不正确 D．全不正确
[答案] C
[解析] 大前提中的“正弦函数”指y＝sinx，x∈R，因此函数f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，故小前提不正确，故选C.
14．下面几种推理过程是演绎推理的是( )
A．因为∠A和∠B是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角，所以∠A＋∠B＝180°
B．我国地质学家李四光发现中国松辽地区和中亚细亚的地质结构类似，而中亚细亚有丰富的石油，由此，他推断松辽平原也蕴藏着丰富的石油
C．由6＝3＋3,8＝3＋5,10＝3＋7,12＝5＋7,14＝7＋7，…，得出结论：一个偶数(大于4)可以写成两个素数的和
D．在数列{an}中，a1＝1，an＝(n≥2)，通过计算a2，a3，a4，a5的值归纳出{an}的通项公式
[答案] A
[解析] 选项A中“两条直线平行，同旁内角互补”是大前提，是真命题，该推理为三段论推理，选项B为类比推理，选项C，D都是归纳推理．
二、填空题
15．补充下列推理的三段论：
(1)因为互为相反数的两个数的和为0，又因为a与b互为相反数，且________，所以b＝8.
(2)因为________，又因为e＝2.718 28…是无限不循环小数，所以e是无理数．
[答案] (1)a＝－8 (2)无限不循环小数是无理数
16．三段论“平面内到两定点F1、F2的距离之和为定值的点的轨迹是椭圆(大前提)，平面内动点M到两定点F1(－2,0)、F2(2,0)的距离之和为4(小前提)，则M点的轨迹是椭圆(结论)”中的错误是________．
[答案] 大前提
[解析] 大前提中到两定点距离之和为定值的点的轨迹是椭圆，概念出错，不严密．
而因为F1(－2,0)、F2(2,0)间距离为|F1F2|＝4，
所平平面内动点M到两定点F1(－2,0)、F2(2,0)的距离之和为4的点的轨迹应为线段而不是椭圆．
三、解答题
17．设m∈(－2,2)，求证：方程x2－mx＋1＝0无实根．(用三段论形式证)
[解析] 因为如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式Δ＝b2－4ac<0，那么方程无实根，大前提
一元二次方程x2－mx＋1＝0的判别式Δ＝m2－4，当m∈(－2,2)时，Δ<0，小前提
所以，当m∈(－2,2)时，方程x2－mx＋1＝0无实根．结论
18．下面给出判断函数f(x)＝的奇偶性的解题过程：
解：由于x∈R，且
＝·
＝＝＝－1.
∴f(－x)＝－f(x)，故函数f(x)为奇函数．
试用三段论加以分析．
[解析] 判断奇偶性的大前提“若x∈R，且f(－x)＝－f(x)，则函数f(x)是奇函数；若x∈R，且f(－x)＝f(x)，则函数f(x)是偶函数”．在解题过程中往往不用写出来，上述证明过程就省略了大前提．解答过程就是验证小前提成立，即所给的具体函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)．
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一、选择题
10．在R上定义运算⊙?a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为( )
A．(0,2)
B．(－2,1)
C．(－∞，－2)∪(1＋∞)
D．(－1,2)
[答案] C
[解析] x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋x－2<0?x2＋x－2<0?－211．在△ABC中，已知sinAcosA＝sinBcosB，则该三角形是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
[答案] D
[解析] ∵sinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B，
∴2A＝2B或2A＝π－2B，
∴A＝B或A＋B＝.
12．要使－<成立，a、b应满足的条件是( )
A．ab<0且a>b
B．ab>0且a>b
C．ab<0且aD．ab>0且a>b或ab<0且a[答案] D
[解析] －<?a－b＋3－3∴当ab>0时，有<，即b当ab<0时，有>，即b>a.
13．下列函数f(x)中，满足“对任意x1、x2∈(0，＋∞)，当x1f(x2)”的是( )
A．f(x)＝ B．f(x)＝(x－1)2
C．f(x)＝ex D．f(x)＝ln(x＋1)
[答案] A
[解析] 对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1f(x1)－f(x2)＝－＝，
∵x1>0，x2>0，x1∴x2－x1>0，x1x2>0，
∴>0，
∴f(x1)>f(x2)，故选A.
二、填空题
14．在算式30－△＝4×□中的△，□内分别填入两个正数，使它们的倒数和最小，则这两个数构成的数对(△，□)应为________．
[答案] (10,5)
[解析] 设(△，□)为(a，b)，则30－a＝4b，
即a＋4b＝30，＋＝(＋)·＝≥＝，
当且仅当＝，即a＝2b时等号成立．
又有a＋4b＝30，可得a＝10，b＝5.
15．若sinα＋sinβ＋sinγ＝0，cosα＋cosβ＋cosγ＝0，则
cos(α－β)＝________.
[答案] －
[解析] 由题意sinα＋sinβ＝－sinγ①
cosα＋cosβ＝－cosγ②
①，②两边同时平方相加得
2＋2sinαsinβ＋2cosαcosβ＝1
2cos(α－β)＝－1，
cos(α－β)＝－.
三、解答题
16．(2012～2013学年度山东肥城二中高二期中测试)已知a、b、c、d为正实数，试用分析法证明：·≥ac＋bd.
[解析] 要证·≥ac＋bd成立，只需证
(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，
即证b2c2＋a2d2≥2abcd，
也就是(bc＋ad)2≥0.
∵(bc＋ad)2≥0显然成立，
∴·≥ac＋bd.
17．已知a、b、c均为正实数，且a＋b＋c＝1，求证：a2＋b2＋c2≥.
[解析] ∵a2＋≥，b2＋≥，c2＋≥，
∴(a2＋)＋(b2＋)＋(c2＋)≥a＋b＋c＝(a＋b＋c)＝.
∴a2＋b2＋c2≥.
能力拓展提升
一、选择题
11．(2012～2013学年度山东青岛二中高二期中测试)用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个大于60°”，反证假设正确的是( )
A．假设三内角都大于60°
B．假设三内角都不大于60°
C．假设三内角至多有一个大于60°
D．假设三内角至多有两个大于60°
[答案] B
12．设a、b、c∈R＋，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR>0”是P、Q、R同时大于零的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
[答案] C
[解析] 若P>0，Q>0，R>0，则必有PQR>0；反之，若PQR>0，也必有P>0，Q>0，R>0.因为当PQR>0时，若P、Q、R不同时大于零，则P、Q、R中必有两个负数，一个正数，不妨设P<0，Q<0，R>0，即a＋b0，Q>0，R>0.
13．若x、y>0且x＋y>2，则和的值满足( )
A.和中至少有一个小于2
B.和都小于2
C.和都大于2
D．不确定
[答案] A
[解析] 假设≥2和≥2同时成立．
因为x>0，y>0，
∴1＋x≥2y且1＋y≥2x，
两式相加得1＋x＋1＋y≥2(x＋y)，
即x＋y≤2，这与x＋y>2相矛盾，
因此和中至少有一个小于2.
14．下面的四个不等式：
①a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca；
②a(1－a)≤；
③＋≥2；
④(a2＋b2)·(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.
其中恒成立的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[答案] C
[解析] ∵a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac，
a(1－a)－＝－a2＋a－＝－(a－2)≤0，
(a2＋b2)·(c2＋d2)＝a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2
≥a2c2＋2abcd＋b2d2＝(ac＋bd)2
只有当＞0时，才有＋≥2成立，
∴应选C.
二、填空题
15．用反证法证明命题：“若a、b是实数，且|a－1|＋|b－1|＝0，则a＝b＝1”时，应作的假设是________．
[答案] 假设a≠1或b≠1
[解析] 结论“a＝b＝1”的含义是a＝1且b＝1，故其否定应为“a≠1或b≠1”．
16．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两名是对的，则获奖的歌手是________．
[答案] 丙
[解析] 若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的都是错的，同理可推知乙、丙、丁获奖的情况，最后可知获奖的歌手是丙．
三、解答题
17．用反证法证明：若函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，那么方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多只有一个实数根．
[解析] 证明：假设方程f(x)＝0在区间[a，b]上至少有两个根，设α、β为其中的两个实根．
因为α≠β，不妨设α>β.
又因为函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，所以f(α)>f(β)．
这与假设f(α)＝f(β)＝0矛盾，
所以方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多只有一个实数根．
18．已知非零实数a，b，c构成公差不为0的等差数列，求证：，，不能构成等差数列．
[解析] 假设，，能构成等差数列，则＝＋，于是得bc＋ab＝2ac.①
而由于a，b，c构成等差数列，即2b＝a＋c.②
所以由①②两式得，(a＋c)2＝4ac，即(a－c)2＝0，于是得a＝b＝c，这与a，b，c构成公差不为0的等差数列矛盾．故假设不成立，因此，，不能构成等差数列．
