能力拓展提升
一、选择题
11．已知复数z＝(x－1)＋(2x－1)i的模小于，则实数x的取值范围是( )
A．－
C．x>－ D．x<－或x>2
[答案] A
[解析] 由条件知，(x－1)2＋(2x－1)2<10，
∴5x2－6x－8<0，∴－12．若a、b∈R，则复数(a2＋6a＋10)＋(－b2－4b－5)i对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[答案] D
[解析] a2＋6a＋10＝(a＋3)2＋1>0，
－b2－4b－5＝－(b＋2)2－1<0.
13．复数1＋cosα＋isinα(π＜α＜2π)的模为( )
A．2cos B．－2cos
C．2sin D．－2sin
[答案] B
[解析] 所求复数的模为
＝＝，
∵π＜α＜2π，∴＜＜π，
∴cos＜0，
∴＝－2cos.
14．已知0A．(1,5) B．(1,3)
C．(1，) D．(1，)
[答案] C
[解析] 由已知，得|z|＝.
由0∴1∴|z|＝∈(1，)．
故选C.
二、填空题
15．已知复数z1＝－1＋2i、z2＝1－i、z3＝3－2i，它们所对应的点分别是A、B、C，若O＝x O＋y O(x、y∈R)，则x＋y的值是______．
[答案] 5
[解析] 由复数的几何意义可知，
O＝x＋y，即
3－2i＝x(－1＋2i)＋y(1－i)，
∴3－2i＝(y－x)＋(2x－y)i.
由复数相等可得
，解得.
∴x＋y＝5.
16．设(1＋i)sinθ－(1＋icosθ)对应的点在直线x＋y＋1＝0上，则tanθ的值为________．
[答案]
[解析] 由题意，得sinθ－1＋sinθ－cosθ＋1＝0，
∴tanθ＝.
三、解答题
17．实数m分别取什么数值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i是：
(1)对应点在x轴上方；
(2)对应点在直线x＋y＋5＝0上．
[解析] (1)由m2－2m－15>0，得知m<－3或m>5时，z的对应点在x轴上方．
(2)由(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)＋5＝0，得知：
m＝或m＝，
z的对应点在直线x＋y＋5＝0上．
18．设z∈C，则满足条件|z|＝|3＋4i|的复数z在复平面上对应的点Z的集合是什么图形？
[解析] 解法一：|z|＝|3＋4i|得|z|＝5.
这表明向量的长度等于5，即点Z到原点的距离等于5.
因此，满足条件的点Z的集合是以原点O为原点，以5为半径的圆．
解法二：设z＝x＋yi(x、y∈R)，则|z|2＝x2＋y2.
∵|3＋4i|＝5，
∴由|z|＝|3＋4i|得x2＋y2＝25，
∴点Z的集合是以原点为圆心，以5为半径的圆．
能力拓展提升
一、选择题
11．(2012～2013学年度河北磁县一中高二期中测试)i是虚数单位，i(－i)在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[答案] A
[解析] i(－i)＝1＋i，故选A.
12．(2013·广东文)若i(x＋yi)＝3＋4i，x、y∈R，则复数x＋yi的模是( )
A．2 B．3
C．4 D．5
[答案] D
[解析] 本题考查复数相等，复数的模等概念．由xi＋yi2＝3＋4i，知x＝4，y＝－3，则x＋yi的模为＝5.
13．(2012～2013学年度天津和平区高二期中测试)设z＝1＋i(i上虚数单位)，则＋z2等于( )
A．－1＋i B．－1－i
C．1＋i D．1－i
[答案] C
[解析] ＋z2＝＋(1＋i)2＝1－i＋2i＝1＋i.
14．设复数z满足＝i，则|1＋z|＝( )
A．0 B．1
C. D．2
[答案] C
[解析] ∵＝i，
∴z＝，∴z＋1＝＋1＝＝1－i，
∴|z＋1|＝.
二、填空题
15．(2012·湖北文，12)若＝a＋bi(a，b为实数，i为虚数单位)，则a＋b＝________.
[答案] 3
[解析] 本题主要考查了复数的运算和复数的相等的条件．
＝＝＋i＝a＋bi，
即，解得a＝0，b＝3.∴a＋b＝3.
16．若复数z满足z＋i＝，则|z|＝________.
[答案]
[解析] ∵z＝－i＝－3i＋1－i＝1－4i，
∴|z|＝.
三、解答题
17．计算：1＋i＋i2＋i3＋…＋i2 014.
[解析] 1＋i＋i2＋i3＋…＋i2014
＝＝
＝＝＝
＝＝i.
18．(2012～2013学年度重庆南开中学高二期中测试)已知＝1－ni，(m、n∈R，i是虚数单位)，求m、n的值．
[解析] ∵＝1－ni，
∴＝1－ni，
∴m－mi＝2－2ni，
∴，∴.
