2014《成才之路》高二数学（人教A版）选修1-2综合素质检测：第二章 推理与证明

第二章综合素质检测
时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．自然数是整数，4是自然数，所以4是整数．以上三段论推理(　　)
A．正确
B．推理形式不正确
C．两个“自然数”概念不一致
D．“两个整数”概念不一致
[答案]　A
[解析]　三段论中的大前提、小前提及推理形式都是正确的．
2．已知aA．a2C．a<4－b D.<
[答案]　C
[解析]　令a＝－2，b＝－1，满足ab2，＝2>1，>，故A、B、D都不成立，排除A、B、D，选C.
3．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：
按照上面的规律，第n个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为(　　)
A．6n－2 B．8n－2
C．6n＋2 D．8n＋2
[答案]　C
[解析]　归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前的面“金鱼”多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8，公差是6的等差数列，通项公式为an＝6n＋2.
4．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2·an(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2、a3、a4，猜想an＝(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　B
[解析]　考查归纳推理．
a2＝S2－S1＝22a2－1，∴a2＝，
a3＝S3－S2＝32·a3－22·a2＝9a3－4×，
∴a3＝.
a4＝S4－S3＝42·a4－32a3＝16a4－9×，
∴a4＝.
由此猜想an＝.
5．观察数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…的特点，则第100项为(　　)
A．10 B．14
C．13 D．100
[答案]　B
[解析]　设n∈N*，则数字n共有n个，
所以≤100即n(n＋1)≤200，
又因为n∈N*，所以n＝13，到第13个13时共有＝91项，从第92项开始为14，故第100项为14.
6．求证：＋>.
证明：因为＋和都是正数，
所以为了证明＋>，
只需证明(＋)2>()2.
展开得5＋2>5，即2>0，
此式显然成立，
所以不等式＋>成立．
上述证明过程应用了(　　)
A．综合法
B．分析法
C．综合法、分析法配合使用
D．间接证法
[答案]　B
[解析]　证明过程中的“为了证明……”，“只需证明……”这样的语句是分析法所特有的，是分析法的证明模式．
7．已知f1(x)＝cosx，f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，f4(x)＝f3′(x)，…，fn(x)＝fn－1′(x)，则f2011(x)等于(　　)
A．sinx B．－sinx
C．cosx D．－cosx
[答案]　D
[解析]　由已知，有f1(x)＝cosx，f2(x)＝－sinx，f3(x)＝－cosx，f4(x)＝sinx，f5(x)＝cosx，…，可以归纳出：
f4n(x)＝sinx，f4n＋1(x)＝cosx，f4n＋2(x)＝－sinx，f4n＋3(x)＝－cosx(n∈N*)．所以f2011(x)＝f3(x)＝－cosx.
8．已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝(n∈N*)，则a20等于(　　)
A．0 B．－
C. D.
[答案]　B
[解析]　a2＝＝－，a3＝＝，a4＝0，所以此数列具有周期性，0，－，依次重复出现．
因为20＝3×6＋2，所以a20＝a2＝－.
9．定义一种运算“*”；对于自然数n满足以下运算性质：(　　)
A. n B.n＋1
C．n－1 D．n2
[答案]　A
[解析]　令an＝n*1，则由(ii)得，an＋1＝an＋1，由(i)得，a1＝1
∴{an}是首项a1＝1，公差为1的等差数列，∴an＝n，即n*1＝n，故选A.
10．已知f(x)＝x3＋x，a、b、c∈R，且a＋b>0，a＋c>0，b＋c>0，则f(a)＋f(b)＋f(c)的值(　　)
A．一定大于零 B．一定等于零
C．一定小于零 D．正负都有可能
[答案]　A
[解析]　f(x)＝x3＋x是奇函数，且在R上是增函数，
由a＋b>0得a>－b，
所以f(a)>f(－b)，即f(a)＋f(b)>0，
同理f(a)＋f(c)>0，f(b)＋f(c)>0，所以f(a)＋f(b)＋f(c)>0.
11．用反证法证明命题“若整数系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a、b、c中至少有一个是偶数”，下列各假设中正确的是(　　)
A．假设a、b、c都是偶数
B．假设a、b、c都不是偶数
C．假设a、b、c中至多有一个是偶数
D．假设a、b、c中至多有两个偶数
[答案]　B
[解析]　对命题的结论“a、b、c中至少有一个是偶数”进行否定假设应是“假设a、b、c都不是偶数”．因为“至少有一个”即有一个、两个或三个，因此它的否定应是“都不是”．
12．若＝＝，则△ABC是(　　)
A．等边三角形
B．有一个内角是30°的直角三角形
C．等腰直角三角形
D．有一个内角是30°的等腰三角形
[答案]　C
[解析]　∵＝＝，由正弦定理得，
＝＝，∴＝＝＝，
∴sinB＝cosB，sinC＝cosC，∴∠B＝∠C＝45°，
∴△ABC是等腰直角三角形．
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上)
13．“因为AC，BD是菱形ABCD的对角线，所以AC、BD互相垂直且平分．”以上推理的大前提是________．
[答案]　菱形对角线互相垂直且平分
14．设函数f(x)＝(x>0)，观察：
f1(x)＝f(x)＝，
f2(x)＝f(f1(x))＝，
f3(x)＝f(f2(x))＝，
f4(x)＝f(f3(x))＝，
…
根据以上事实，由归纳推理可得：
当n∈N*且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________.
[答案]　
[解析]　由已知可归纳如下：f1(x)＝，
f2(x)＝，f3(x)＝，
f4(x)＝，…，
fn(x)＝.
15．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“a·b＝b·a”；
②“(m＋n)t＝mt＋nt”类比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”；
③“t≠0，mt＝nt?m＝n”类比得到“c≠0，a·c＝b·c?a＝b”；
④“|m·n|＝|m|·|n|”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”；
⑤“(m·n)t＝m(n·t)”类比得到“(a·b)·c＝a·(b·c)”；
⑥“＝”类比得到“＝”．
以上类比得到的结论正确的是________．
[答案]　①②
[解析]　①②都正确；③⑥错误，因为向量不能相除；④可由数量积定义判断，所以错误；⑤向量中结合律不成立，所以错误．
16．(2012～2013学年度天津和平区高二期中测试)观察下列等式：
1＝1　　　　　　　　　 13＝1
1＋2＝3 13＋23＝9
1＋2＋3＝6 13＋23＋33＝36
1＋2＋3＋4＝10 13＋23＋33＋43＝100
1＋2＋3＋4＋5＝15 13＋23＋33＋43＋53＝225
… …
可以推测：13＋23＋33＋…＋n3＝________.(n∈N*，用含有n的代数式表示)
[答案]　
[解析]　由条件可知：
13＝12,13＋23＝9＝32＝(1＋2)2,13＋23＋33＝36＝62＝(1＋2＋3)2，…，不难得出．
13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2
＝[]2＝.
三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本题满分12分)已知a、b、c是全不相等的正实数，求证：＋＋>3.
[解析]　解法一：(分析法)
要证＋＋>3，
只需证明＋－1＋＋－1＋＋－1>3，
即证＋＋＋＋＋>6.
而事实上，由a、b、c是全不相等的正实数，
得＋>2，＋>2，＋>2.
从而＋＋＋＋＋>6.
故＋＋>3得证．
解法二：(综合法)
∵a、b、c全不相等，
∴与，与，与全不相等．
∴＋>2，＋>2，＋>2.
三式相加得＋＋＋＋＋>6，
∴(＋－1)＋(＋－1)＋(＋－1)>3，
即＋＋>3.
18．(本题满分12分)设f(x)＝，先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．
[解析]　f(0)＋f(1)＝＋＝＋＝＋＝，同理可得：f(－1)＋f(2)＝，f(－2)＋f(3)＝.
一般性结论：若x1＋x2＝1，则f(x1)＋f(x2)＝.
证明：设x1＋x2＝1，
19．(本题满分12分)若x>0，y>0，用分析法证明：
[解析]　要证，
只需证(x2＋y2)3>(x3＋y3)2，
即证x6＋3x4y2＋3x2y4＋y6>x6＋2x3y3＋y6，
即证3x4y2＋3y4x2>2x3y3.
又因为x>0，y>0，所以x2y2>0，
故只需证3x2＋3y2>2xy.
而3x2＋3y2>x2＋y2≥2xy成立，
所以成立．
20．(本题满分12分)证明下列等式，并从中归纳出一个一般性的结论．
2cos＝，
2cos＝，
2cos＝，
……
[解析]　2cos＝2·＝，
2cos＝2
＝2·＝，
2cos＝2
＝2
＝
…
归纳得出，2cos＝.
n个根号
21．(本题满分12分)已知数列{an}满足a1＝3，an·an－1＝2·an－1－1.
(1)求a2，a3，a4；
(2)求证：数列是等差数列，并求出数列{an}的通项公式．
[解析]　(1)由an·an－1＝2·an－1－1得
an＝2－，
代入a1＝3，n依次取值2、3、4，得
a2＝2－＝，a3＝2－＝，a4＝2－＝.
(2)由an·an－1＝2·an－1－1变形，得，
(an－1)·(an－1－1)＝－(an－1)＋(an－1－1)，
即－＝1，
所以{}是等差数列．
由＝，所以＝＋n－1＝，
变形得an－1＝，
所以an＝为数列{an}的通项公式．
22．(本题满分14分)已知函数f(x)对任意实数a、b都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，并且当x>0时，f(x)>1.
(1)求证：f(x)是R上的增函数．
(2)若f(4)＝5，解不等式f(3m2－m－2)<3.
[解析]　(1)设任意x1、x2∈R，且x2>x1，
则有x2－x1>0，利用已知条件“当x>0时，f(x)>1”得f(x2－x1)>1，
而f(x2)－f(x1)
＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)
＝f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1)
＝f(x2－x1)－1>0，
即f(x2)>f(x1)，
所以f(x)是R上的增函数．
(2)由于f(4)＝f(2)＋f(2)－1＝5，所以f(2)＝3.
由f(3m2－m－2)<3得f(3m2－m－2)由f(x)是R上的增函数，得3m2－m－2<2，
解得－11．已知1＋2×3＋3×32＋4×32＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N*都成立，那么a、b、c的值为(　　)
A．a＝，b＝c＝
B．a＝b＝c＝
C．a＝0，b＝c＝
D．不存在这样的a、b、c
[答案]　A
[解析]　令n＝1,2,3，得，
所以a＝，b＝c＝.
2．如果x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0与x轴相切于原点，那么(　　)
A．F＝0，D≠0，E≠0 B．E＝0，F＝0，D≠0
C．D＝0，F＝0，E≠0 D．D＝0，E＝0，F≠0
[答案]　C
[解析]　∵圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0与x轴相切于原点，
∴圆过原点，F＝0，又圆心在y轴上，∴D＝0，E≠0.
3．已知各项均不为零的数列{an}，定义向量cn＝(an，an＋1)，bn＝(n，n＋1)，n∈N*.下列命题中真命题是(　　)
A．若?n∈N*总有cn∥bn成立，则数列{an}是等差数列
B．若?n∈N*总有cn∥bn成立，则数列{an}是等比数列
C．若?n∈N*总有cn⊥bn成立，则数列{an}是等差数列
D．若?n∈N*总有cn⊥bn成立，则数列{an}是等比数列
[答案]　A
[解析]　∵对?n∈N*总有cn∥bn，则存在实数λ≠0，使cn＝λbn，∴an＝λn，∴{an}是等差数列．
4．已知＝2，＝3，＝4，…，若＝7，(a，t均为正实数)，则类比以上等式，可推测a、t的值，a＋t＝________.
[答案]　55
[解析]　观察各项规律易知：a＝7，∵3＝22－1,8＝32－1,15＝42－1，t＝a2－1＝48.
∴a＋t＝55.
5．已知整数对排列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…，则第62个整数对是________．
[答案]　(7,5)
[解析]　整数对的横、纵坐标的和为2,3,4，…，的整数对个数成等差数列，其首项a1＝1，公差d＝1，故从和为2到和为11的整数对个数是＝55.根据横坐标由小到大、纵坐标由大到小排列规律，可知第62个整数对是(7,5)．
6．已知m>0，a，b∈R，求证：()2≤.
[解析]　∵m>0，∴1＋m>0.
所以要证原不等式成立，
只需证明(a＋mb)2≤(1＋m)(a2＋mb2)，
即证m(a2－2ab＋b2)≥0，即证(a－b)2≥0，
而(a－b)2≥0显然成立，
故原不等式得证．
7．在某两个正数x、y之间，若插入一个数a，使x，a，y成等差数列，若插入两个数b、c，使x，b，c，y成等比数列，求证(a＋1)2≥(b＋1)(c＋1)．
[解析]　由已知条件得x，y得
2a＝＋，且有a>0>b>0，c>0.
要证(a＋1)2≥(b＋1)(c＋1)，
只需证a＋1≥，
只要证a＋1≥，
也就是证2a≥b＋c.
而2a＝＋，
只需证＋≥b＋c，
即证b3＋c3≥(b＋c)bc，
即证b2＋c2－bc≥bc，
即证(b－c)2≥0.
∵上式显然成立，
∴(a＋1)2≥(b＋1)(c＋1)．