2014《成才之路》高二数学（人教A版）选修1-2综合素质检测：第三章 数系的扩充与复数的引入

第三章综合素质检测
时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若a、b∈R，i为虚数单位，且(a＋i)i＝b＋i，则(　　)
A．a＝1，b＝1　　　　　　　 B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1
[答案]　C
[解析]　由(a＋i)i＝b＋i，得ai－1＝b＋i，所以a＝1，b＝－1.
2．(2012·课标全国文，2)复数z＝的共轭复数是(　　)
A．2＋i B．2－i
C．－1＋i D．－1－i
[答案]　D
[解析]　本题考查了复数的除法运算以及共轭复数的概念．
z＝＝＝＝－1＋i，故z的共轭复数为－1－i.
3．(2012～2013学年度山东沂水县高二期中测试)若a、b∈R，i是虚数单位，且(1＋ai)i＝1－bi，则在复平面内，复数a＋bi所对应的点在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[答案]　C
[解析]　∵(2＋ai)i＝1－bi，
∴－a＋2i＝1－bi，
∴，∴，
∴复数a＋bi＝－1－2i所对应的点在第三象限．
4．设复数z＝，则复数z的虚部是(　　)
A. B．－1
C．－i D．1
[答案]　B
[解析]　z＝＝＝－i，∴复数z的虚部是－1.
5．复数＝(　　)
A．－－i B．－＋i
C.－i D.＋i
[答案]　C
[解析]　∵i2＋i3＋i4＝－1＋(－i)＋1＝－i，
∴原式＝＝＝＝－i.
6．已知复数z满足＝1＋2i，则＝(　　)
A．4＋3i B．4－3i
C．－i D．i
[答案]　D
[解析]　由＝1＋2i，得z＝＝＝＝－i，∴＝i.
7．复数10的值是(　　)
A．－1 B．1
C．－32 D．32
[答案]　A
[解析]　本题主要考查复数的基本运算，＝－i，(－i)10＝－1，故选A.
8．复数z＝(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[答案]　D
[解析]　∵z＝＝＝＝－i.
∴z在复平面内对应的点为 (，－)，故选D.
9．若复数z＝(a∈R)，且z是纯虚数，则|a＋2i|等于(　　)
A. B．2
C．2 D．40
[答案]　B
[解析]　z＝＝＝＝，
当z为纯虚数时，，得a＝6，
∴a＋2i＝6＋2i，
∴|a＋2i|＝2.
10．若z＝cosθ＋isinθ(i为虚数单位)，则使z2＝－1的θ值可能是(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　D
[解析]　∵z2＝cos2θ＋isin2θ＝－1，∴，
∴2θ＝2kπ＋π　(k∈Z)，
∴θ＝kπ＋.令k＝0知，D正确．
11．若x是纯虚数，y是实数，且2x－1＋i＝y－(3－y)i，则x＋y等于(　　)
A．1＋i B．－1＋i
C．1－i D．－1－i
[答案]　D
[解析]　设x＝it(t∈R且t≠0)，
于是2ti－1＋i＝y－(3－y)i，
∴－1＋(2t＋1)i＝y－(3－y)i，
∴，∴.
∴x＋y＝－1－i.
12．定义运算＝ad－bc，则符合条件＝4＋2i的复数z为(　　)
A．3－i B．1＋3i
C．3＋i D．1－3i
[答案]　A
[解析]　由定义知＝zi＋z，得zi＋z＝4＋2i，即z＝＝3－i.
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上)
13．若复数z＝1－2i(i为虚数单位)，则z·＋z＝________.
[答案]　6－2i
[解析]　本题考查了复数的基本运算．
∵z＝1－2i，∴＝1＋2i，
∴z·＋z＝(1－2i)(1＋2i)＋1－2i
＝5＋1－2i＝6－2i.
14．已知a、b∈R，且a－1＋2ai＝4＋bi，则b＝________.
[答案]　10
[解析]　由已知得，得.
15．若z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且为纯虚数，则实数a的值为________．
[答案]　
[解析]　＝＝
＝＝＋i，
∵为纯虚数，∴，∴a＝.
16．已知复数z＝a＋bi(a、b∈R)且＋＝，则复数z在复平面对应的点位于第________象限．
[答案]　四
[解析]　∵a、b∈R且＋＝，
即＋＝，
∴5a＋5ai＋2b＋4bi＝15－5i，
∴，解得.
∴复数z＝a＋bi＝7－10i在复平面内对应的点位于第四象限．
三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本题满分12分)m为何实数时，复数z＝(2＋i)m2－3(i＋1)m－2(1－i)是：
(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数？
[解析]　z＝(2＋i)m2－3(i＋1)m－2(1－i)
＝2m2＋m2i－3mi－3m－2＋2i
＝(2m2－3m－2)＋(m2－3m＋2)i.
(1)由m2－3m＋2＝0得m＝1或m＝2，
即m＝1或2时，z为实数．
(2)由m2－3m＋2≠0得m≠1且m≠2，
即m≠1且m≠2时，z为虚数．
(3)由，得m＝－，
即m＝－时，z为纯虚数．
18．(本题满分12分)已知复数z满足z－i()＝1＋3i，求z.
[解析]　将方程两边化成a＋bi的形式，根据复数相等的充要条件来解．
设z＝x＋yi(x、y∈R)，则z·＝x2＋y2，
3z＝3x＋3yi
＝3x－3yi
∴x2＋y2－3y－3xi＝1＋3i，
由复数相等得，
解得，或.
∴z＝－1或z＝－1＋3i.
19．(本题满分12分)已知复数x2＋x－2＋(x2－3x＋2)i(x∈R)是复数4－20i的共轭复数，求实数x的值．
[解析]　因为复数4－20i的共轭复数为4＋20i，由题意得
x2＋x－2＋(x2－3x＋2)i＝4＋20i，
根据复数相等的充要条件，得

方程①的解为x＝－3或x＝2.
方程②的解为x＝－3或x＝6.
所以实数x的值为－3.
20．(本题满分12分)设a、b为共轭复数，且(a＋b)2－3abi＝4－6i，求a和b.
[解析]　∵a、b为共轭复数，∴设a＝x＋yi(x、y∈R)
则b＝x－yi，
由(a＋b)2－3abi＝4－6i，得
(2x)2－3(x2＋y2)i＝4－6i，
即，
∴，　∴.
∴a＝1＋i，b＝1－i；a＝－1＋i，b＝－1－i；
a＝1－i，b＝1＋i；a＝－1－i，b＝－1＋i.
21．(本题满分12分)已知z＝1＋i，
(1)求w＝z2＋3－4；
(2)如果＝1－i，求实数a、b的值．
[解析]　(1)w＝(1＋i)2＋3(1－i)－4
＝2i＋3－3i－4＝－1－i.
(2)＝
＝
＝(a＋2)－(a＋b)i，
∴(a＋2)－(a＋b)i＝1－i，
∴a＝－1，b＝2.
22．(本题满分14分)设z＝log2(1＋m)＋ilog(3－m)(m∈R)．
(1)若z在复平面内对应的点在第三象限，求m的取值范围；
(2)若z在复平面内对应的点在直线x－y－1＝0上，求m的值．
[解析]　(1)由已知，得

解①得－1解②得m<2.
故不等式组的解集为{x|－1因此m的取值范围是{x|－1(2)由已知得，点(log2(1＋m)，log (3－m))在直线x－y－1＝0上，
即log2(1＋m)－log (3－m)－1＝0，
整理得log2(1＋m)(3－m)＝1.
从而(1＋m)(3－m)＝2，
即m2－2m－1＝0，
解得m＝1±，且当m＝1±时都能使1＋m>0，且3－m>0.
故m＝1±.
1．若复数(a∈R，i为虚数单位)是纯虚数，则实数a的值为(　　)
A．－2 B．4
C．－6 D．6
[答案]　D
[解析]　＝
＝＝＋i.
由纯虚数的定义，得＝0，且≠0，
解得a＝6，故选D.
2．若z1＝(x－2)＋yi与z2＝3x＋i(x、y∈R)互为共轭复数，则z1对应的点在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[答案]　C
[解析]　由已知得，∴.
∴z1＝－3－i，故选C.
3．复数(3i－1)i的共轭复数是(　　)
A．3－i B．3＋i
C．－3－i D．－3＋i
[答案]　D
[解析]　∵z＝(3i－1)i＝－3－i，
∴＝－3＋i，故选D.
4．设复数z＝1＋i，则z2－2z等于(　　)
A．－3 B．3
C．－3i D．3i
[答案]　A
[解析]　z2－2z＝(1＋i)2－2(1＋i)＝1＋2i－2－2－2i＝－3.
5．当z＝时，z100＋z50＋1的值等于(　　)
A．1 B．－1
C．i D．－i
[答案]　D
[解析]　z2＝(1－2i－1)＝－i，z50＝(－i)25＝－i，z100＝(－i)2＝－1，故原式＝－i.
6．复数z＝(m∈R，i为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[答案]　A
[解析]　z＝＝＝[m－4]－2(m＋1)i，其实部为m－4，虚部为－2(m＋1)由，得，此时无解．故复数在复平面上对应的点不可能位于第一象限．
7．规定运算＝ad－bc，若＝1－2i，设i为虚数单位，则复数z＝________.
[答案]　1－i
[解析]　由已知可得＝2z＋i2＝2z－1＝1－2i，∴z＝1－i.