自5.5.1二倍角公式(共15张PPT)

(共15张PPT)
5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式(3)——二倍角公式
授课老师：某某某
学习目标及重难点
学习目标
1.会推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，提升数学抽象、逻辑推理素养;
2.能够灵活运用二倍角公式解决求值和证明等问题，提升数学运算素养.
复习回顾
两角和的正弦、余弦和正切公式
正弦：SCCS
异名积，符号同
余弦：CCSS
同名积，符号反
tan(α-β) =
—————
tanα-tanβ
1+tanαtanβ
tan(α+β) =
—————
tanα+tanβ
1-tanαtanβ
T(α+β)
T(α-β)
先α后β，主角排前
正切：
上和差，下乘积；
符号上同，下反.
sin(α+β) = sinαcosβ+cosαsinβ
sin(α-β) = sinαcosβ-cosαsinβ
S(α+β)
S(α-β)
cos(α+β) = cosαcosβ-sinαsinβ
C(α+β)
C(α-β)
新课引入
探究1：你能利用S(α+β)， C(α+β)，T(α+β)推导出sin2α，cos2α，tan2α的公式吗？
两角和的正弦公式：
sin(α+β) = sinαcosβ+cosαsinβ
sin2α= sin(α+α)
= sinα cosα + cosα sinα
= 2sinα cosα
二倍角的正弦公式：
sin2α = 2sinα cosα
新课引入
探究2：你能仿照刚刚的推导过程，利用C(α+β)，T(α+β)推导出cos2α，tan2α的公式吗？
cos2α= cos(α+α)
= cosα cosα - sinα sinα
= cos2α - sin2α
tan2α= tan(α+α)
2tanα
1 - tan2α
tanα + tanα
1 - tanα tanα
= ——————
= ————
追问：如果要求二倍角的余弦公式C(2α)中仅含α的正弦(余弦)，那么C(2α)还有其他的表示吗？
由 cos2α = cos2α - sin2α ,
cos2α + sin2α =1
得 cos2α = 2cos2α - 1 ,
或 cos2α = 1-2sin2α.
二倍角公式
S(2α)
sin2α = 2sinα cosα
C(2α)
cos2α = cos2α - sin2α
= 2cos2α - 1
= 1-2sin2α
tan2α = ————
2tanα
1 - tan2α
T(2α)
思考：观察二倍角公式，有何结构特征？
①从左向右：升幂缩角；
从右向左：降幂扩角.
②正弦是单项式，余弦是
多项式，正切是分式.
以上这些公式都叫做倍角公式.
注：这里的“倍角”专指“二倍角”，遇到“三倍角”等名词时，“三”字等不能省略.
例题探究
例1：
解：
例题探究
例2：
(1) sin4α = 2sin( )cos( )；
(2) sinα = 2sin( )cos( )；
(3) cos6α = ( ) - ( )
= 2( ) - 1
=1 - ( )
(4) = tan( )；
“倍”是描述两个数量之间关系的， 是 的二倍， 是 的二倍， 是 二倍，这里蕴含着换元思想.
例题探究
例3：
已知sin2α=，求sin4α，cos4α，tan4α的值.
例题探究
例4：
已知cos2α=，求cosα的值.
解：
追问：已知cos2α时，能否求出sinα的值呢？
由 cos2α = 1-2sin2α，
由 cos2α = 2cos2α - 1 ，
公式变形
公式特点：降幂升角
cos2α =
sin2α =
例题探究
例5：
解法1：
例题探究
例5：
解法2：
练习巩固
解：
(5)
(5)
课堂小结
两角差的余弦公式
02变形
01倍角公式
S(2α)
sin2α = 2sinα cosα
C(2α)
cos2α = cos2α - sin2α
tan2α = ————
2tanα
1 - tan2α
T(2α)
cos2α =
sin2α =