1．椭圆mx2＋ny2＋mn＝0(mA．(0，±) B．(±，0)
C．(0，±) D．(±，0)
[答案] C
[解析] 椭圆方程mx2＋ny2＋mn＝0可化为＋＝1，
∵m－n，椭圆的焦点在y轴上，排除B、D，
又n>m，∴无意义，排除A，故选C.
2．椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1、F2，一直线过F1交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为( )
A．32 B．16
C．8 D．4
[答案] B
[解析] 由题设条件知△ABF2的周长为|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16.
3．已知椭圆＋＝1的焦距为4，则m等于( )
A．4 B．8
C．4或8 D．以上都不对
[答案] C
[分析] 方程表示椭圆时，分母都大于0，又未指出焦点在哪个轴上，故应分类讨论，依据焦距为4列方程求解．
[解析] 当焦点在y轴上时，m－2>10－m>0，
∴6∵焦距为4，∴c2＝4，∴(m－2)－(10－m)＝4，
∴m＝8.同理，当焦点在x轴上时，m＝4.
4．设P是椭圆＋＝1上一点，P到两焦点F1、F2的距离之差为2，则△PF1F2是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
[答案] B
[解析] 由椭圆定义，知|PF1|＋|PF2|＝2a＝8.
又|PF1|－|PF2|＝2，
∴|PF1|＝5，|PF2|＝3.
又|F1F2|＝2c＝2＝4，
∴△PF1F2为直角三角形．
5．已知椭圆的两个焦点分别是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|＝|PF2|，那么动点Q的轨迹是( )
A．圆 B．椭圆
C．射线 D．直线
[答案] A
[解析] ∵|PQ|＝|PF2|且|PF1|＋|PF2|＝2a，
∴|PQ|＋|PF1|＝2a，
又∵F1、P、Q三点共线，
∴|PF1|＋|PQ|＝|F1Q|，∴|F1Q|＝2a.
即Q在以F1为圆心，以2a为半径的圆上．
6．点P为椭圆＋＝1上一点，以点P以及焦点F1、F2为顶点的三角形的面积为1，则P点的坐标为( )
A. B.
C. D.
[答案] D
[解析] S△PF1F2＝×|F1F2|·|yP|
＝×2×|yP|＝1，
∴|yP|＝1，yP＝±1，代入椭圆方程得，xP＝±.
7．方程－＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是________．
[解析] 将方程化为＋＝1，
由题意得，
解之得8．椭圆＋＝1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上．若|PF1|＝4，则|PF2|＝______；∠F1PF2的大小为________．
[答案] 2 120°
[解析] 考查椭圆定义及余弦定理．
由椭圆定义，|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，∴|PF2|＝2，
cos∠F1PF2＝
＝＝－.
∴∠F1PF2＝120°.
9．椭圆＋＝1的两个焦点为F1、F2，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则|PF1|是|PF2|的______倍．
[答案] 7
[解析] 如图，
PF1的中点M在y轴上，O为F1F2的中点，
∴OM∥PF2，∴PF2⊥x轴，|PF2|＝＝，
|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，
∴|PF1|＝4－＝＝7|PF2|.
1．椭圆＋＝1和＋＝k(k>0)具有( )
A．相同的长轴 B．相同的焦点
C．相同的顶点 D．相同的离心率
[答案] D
[解析] 椭圆＋＝1和＋＝k(k>0)中，不妨设a>b，椭圆＋＝1的离心率e1＝，椭圆＋＝1(k>0)的离心率e2＝＝.
2．已知椭圆＋＝1的焦点分别是F1、F2，P是椭圆上一点，若连接F1、F2、P三点恰好能构成直角三角形，则点P到y轴的距离是( )
A. B．3
C. D.
[答案] A
[解析] F1(0，－3)，F2(0,3)，∵3<4，
∴∠F1F2P＝90°或∠F2F1P＝90°.
设P(x,3)，代入椭圆方程得x＝±.
即点P到y轴的距离是.
3．(2013·广东文，9)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
[答案] D
[解析] 本题考查椭圆方程及相关概念．
设方程为＋＝1(a>b>0)，则a2＝b2＋1，＝，所以a2＝4，b2＝3，椭圆方程为＋＝1.
4．(2013·新课标Ⅱ文，5)设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为( )
A. B.
C. D.
[答案] D
[解析] 本题考查的是椭圆的定义与性质，解三角形的有关知识．
如图，在Rt△PF1F2中，|F1F2|＝2c，设|PF2|＝x，则|PF1|＝2x，由tan30°＝＝＝，得x＝c，而由椭圆的定义得，|PF1|＋|PF2|＝2a＝3x，∴a＝x＝c.
∴e＝＝＝，故选D.
5．(2013·全国大纲文，8)已知F1(－1,0)、F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交C于A、B两点，且|AB|＝3，则C的方程为( )
A.＋y2＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
[答案] C
[解析] 本题考查椭圆中的弦长问题及相关概念．
设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，则a2＝b2＋1，当x＝1时，y＝±，∴|AB|＝＝3，∴a2＝a＋1，即2a2－3a－2＝0.
∴a＝－(舍去)或a＝2，∴b2＝3，∴方程为＋＝1.
6．中心在原点、焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
[答案] A
[解析] ∵2a＝18，∴a＝9，由题意得2c＝×2a＝×18＝6，
∴c＝3，∴a2＝81，b2＝a2－c2＝81－9＝72，故椭圆方程为＋＝1.
7．设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F1作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为( )
A. B.
C．2－ D.－1
[答案] D
[解析] 设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)如图，
∵F1(－c,0)，∴P(－c，yP)代入椭圆方程得
＋＝1，∴y＝，
∴|PF1|＝＝|F1F2|，即＝2c，
又∵b2＝a2－c2，∴＝2c，∴e2＋2e－1＝0，
又08．若椭圆两焦点为F1(－4,0)、F2(4,0)，P在椭圆上，且△PF1F2的最大面积是12，则椭圆方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
[答案] C
[分析] 线段F1F2的长度为定值，欲使△PF1F2的面积最大，只须P到直线F1F2的距离最大，∴P为短轴端点．
[解析] 由题意得c＝4，∵P在椭圆上，且△PF1F2的最大面积为12，
∴×2c×b＝12，即bc＝12，
∴b＝3，a＝5，故椭圆方程为＋＝1.
9．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为________．
[答案] ＋＝1
[解析] 设椭圆G的标准方程为＋＝1 (a>b>0)，半焦距为c，则
，∴，
∴b2＝a2－c2＝36－27＝9，
∴椭圆G的方程为＋＝1.
10.
如图，在椭圆中，若AB⊥BF，其中F为焦点，A、B分别为长轴与短轴的一个端点，则椭圆的离心率e＝________.
[答案]
[解析] 设椭圆方程为＋＝1，则有A(a,0)，B(0，b)，F(c,0)，由AB⊥BF，得kAB·kBF＝－1，而kAB＝，kBF＝－代入上式得＝－1，利用b2＝a2－c2消去b2，得－＝1，即－e＝1，解得e＝，
∵e>0，∴e＝.
1．与椭圆＋y2＝1共焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是( )
A.－y2＝1 B.－y2＝1
C.－＝1 D．x2－＝1
[答案] B
[解析] 椭圆的焦点F1(－，0)，F2(，0)，
由双曲线定义知2a＝|PF1|－|PF2|
＝－
＝－＝2，
∴a＝，∴b2＝c2－a2＝1，
∴双曲线方程为－y2＝1.
2．在平面内，已知双曲线C：－＝1的焦点为F1、F2，则“|PF1|－|PF2|＝6”是“点P在双曲线C上”的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] B
[解析] 由已知若点P在双曲线C上，则有||PF1|－|PF2||＝6，
∴“|PF1|－|PF2|＝6”是“点P在双曲线C上”的充分不必要条件．
3．已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|等于( )
A．2 B．4
C．6 D．8
[答案] B
[解析] 在△PF1F2中，
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos60°＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，
即(2)2＝22＋|PF1|·|PF2|，
解得|PF1|·|PF2|＝4.
4．已知双曲线x2－＝1的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且·＝0，则点M到x轴的距离为( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] 由条件知c＝，∴|F1F2|＝2，
∵·＝0，∴|MO|＝|F1F2|＝，
设M(x0，y0)，则，
∴y＝，∴y0＝±，故选C.
5．过双曲线－＝1的焦点且与x轴垂直的直线被双线截取的线段的长度为________．
[答案]
[解析] ∵a2＝3，b2＝4，∴c2＝7，∴c＝，
该直线方程为x＝，
由，解得y2＝，
∴|y|＝，弦长为.
6．已知椭圆＋＝1上有一点P，到其左、右两焦点距离之比为1?3，求点P到两焦点的距离及点P的坐标．
[解析] 设P(x，y)，左、右焦点分别是F1、F2，
∵a＝10，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝20.
又|PF2|＝3|PF1|，∴|PF1|＝5，|PF2|＝15.
由两点间的距离公式可得
，解得x＝－.
代入椭圆方程得y＝±.
故点P的坐标为或.
1．椭圆＋＝1和双曲线－＝1有共同的焦点，则实数n的值是( )
A．±5 B．±3
C．25 D．9
[答案] B
[解析] 依题意，34－n2＝n2＋16，解得n＝±3，故答案为B.
2．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)，其焦点为F1、F2，过F1作直线交双曲线同一支于A、B两点，且|AB|＝m，则△ABF2的周长是( )
A．4a B．4a－m
C．4a＋2m D．4a－2m
[答案] C
3．设θ∈(，π)，则关于x、y的方程－＝1 所表示的曲线是( )
A．焦点在y轴上的双曲线
B．焦点在x轴上的双曲线
C．焦点在y轴上的椭圆
D．焦点在x轴上的椭圆
[答案] C
[解析] 方程即是＋＝1，因θ∈(，π)，
∴sinθ>0，cosθ<0，且－cosθ>sinθ，故方程表示焦点在y轴上的椭圆，故答案为C.
4．以椭圆＋＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线方程是( )
A.－y2＝1 B．y2－＝1
C.－＝1 D.－＝1
[答案] B
[解析] 由题意知双曲线的焦点在y轴上，且a＝1，c＝2，
∴b2＝3，双曲线方程为y2－＝1.
5．(2013·北京文，7)双曲线x2－＝1的离心率大于的充分必要条件是( )
A．m> B．m≥1
C．m>1 D．m>2
[答案] C
[解析] 本题考查双曲线离心率的概念，充分必要条件的理解．
双曲线离心率e＝>，所以m>1，选C.
6．双曲线－＝1的一个焦点到一条渐近线的距离等于( )
A. B．3
C．4 D．2
[答案] C
[解析] ∵焦点坐标为(±5,0)，渐近线方程为y＝±x，∴一个焦点(5,0)到渐近线y＝x的距离为4.
7．(2012·湖南文，6)已知双曲线C：－＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
[答案] A
[解析] 根据双曲线标准方程中系数之间的关系求解．
∵－＝1的焦距为10，∴c＝5＝.①
又双曲线渐近线方程为y＝±x，且P(2,1)在渐近线上，
∴＝1，即a＝2b.②
由①②解得a＝2，b＝，故应选A.
8．(2012·天津文，11)已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)与双曲线C2：－＝1有相同的渐近线，且C1的右焦点为F(，0)，则a＝________，b＝________.
[答案] 1 2
[解析] 利用共渐近线方程求解．
与双曲线－＝1有共同渐近线的双曲线的方程可设为－＝λ，即－＝1.由题意知c＝，则4λ＋16λ＝5?λ＝，
则a2＝1，b2＝4.又a>0，b>0，故a＝1，b＝2.
1．动圆与圆x2＋y2＝1和x2＋y2－8x＋12＝0都相外切，则动圆圆心的轨迹为( )
A．双曲线的一支 B．圆
C．抛物线 D．双曲线
[答案] A
[解析] 设动圆半径为r，圆心为O，x2＋y2＝1的圆心为O1，圆x2＋y2－8x＋12＝0的圆心为O2，
由题意得|OO1|＝r＋1，|OO2|＝r＋2，
∴|OO2|－|OO1|＝r＋2－r－1＝1<|O1O2|＝4，
由双曲线的定义知，动圆圆心O的轨迹是双曲线的一支．
2．抛物线y2＝mx的焦点为F，点P(2,2)在此抛物线上，M为线段PF的中点，则点M到该抛物线准线的距离为( )
A．1 B.
C．2 D.
[答案] D
[解析] ∵点P(2,2)在抛物线上，∴(2)2＝2m，
∴m＝4，P到抛物线准线的距离为2－(－1)＝3，F到准线距离为2，
∴M到抛物线准线的距离为d＝＝.
3．抛物线y2＝x上一点P到焦点的距离是2，则P点坐标为( )
A. B.
C. D.
[答案] B
[解析] 设P(x0，y0)，则|PF|＝x0＋＝x0＋＝2，
∴x0＝，∴y0＝±.
4．(2013·新课标Ⅰ文，8)O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为( )
A．2 B．2
C．2 D．4
[答案] C
[解析] 考查了抛物线的焦半径公式、焦点三角形的面积，设P(x0，y0)，则由抛物线的焦半径公式得|PF|＝
x0＋＝4，x0＝3代入抛物线的方程，得|y0|＝2，S△POF＝|y0|·|OF|＝2，选A，涉及到抛物线的焦点三角形问题，要考虑焦半径公式．
5．若椭圆＋＝1过抛物线y2＝8x的焦点，且与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，则该椭圆的方程是( )
A.＋＝1 B.＋y2＝1
C.＋＝1 D．x2＋＝1
[答案] A
[解析] 抛物线y2＝8x的焦点坐标为(2,0)，则依题意知椭圆的右顶点的坐标为(2,0)，又椭圆与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，∴a＝2，c＝，
∵c2＝a2－b2，∴b2＝2，∴椭圆的方程为＋＝1.
6．某抛物线形拱桥跨度是20m，拱桥高度是4m，在建桥时，每4m需用一根支柱支撑，求其中最长支柱的长．
[解析] 如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，
依题意知，点P(10，－4)在抛物线上，∴100＝－2p×(－4)，2p＝25，即抛物线方程为x2＝－25y.
∵每4m需用一根支柱支撑，
∴4根支柱的横坐标从左到右依次为－6，－2,2,6.
由图知，AB是最长的支柱之一，设点B的坐标为(2，yB)，代入x2＝－25y，得yB＝－.
∴|AB|＝4－＝3.84，即最长支柱的长为3.84m.
1．双曲线－＝1(mn≠0)离心率为2，有一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则mn的值为( )
A. B.
C. D.
[答案] A
[解析] 由条件知，
解得 .∴mn＝，故选A.
2．设抛物线的顶点在原点，其焦点为双曲线－y2＝1的右顶点，则当点(，y)在抛物线上时，y的值是( )
A. B．－2
C．± D．±2
[答案] D
[解析] 由双曲线－y2＝1得抛物线的焦点为(，0)，则抛物线方程为y2＝4x，所以当x＝时，y＝±2.
3．若抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，其通径的两端与顶点的连线组成的三角形的面积为4，则此抛物线的方程为( )
A．y2＝8x B．y2＝±4x
C．y2＝±4x D．y2＝±8x
[答案] B
[解析] 由题意S＝×2p×＝4，
∴p2＝8，p＝2.
又∵抛物线的焦点在x轴上，
∴y2＝±4x.
4．(2012～2013学年度福建东山二中高二期末测试)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)上一点A(m,4)到其焦点的距离为5，求p与m的值．
[解析] 抛物线的准线方程为y＝－，由抛物线的定义得，4＋＝5，∴p＝2.
∴抛物线方程为x2＝4y.
将点A(m,4)代入抛物线方程得m＝±4.
∴p＝2，m＝±4.
5．设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴．证明：直线AC经过原点O.
[证明] 如图，
设直线方程为y＝k，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，C，
由消去x得，y2－－p2＝0，
∴y1y2＝－p2，kOA＝，kOC＝＝＝，
又∵y＝2px1，∴kOC＝＝kOA，即AC经过原点O.
当k不存在时，AB⊥x轴，同理可得kOA＝kOC.
