1．在x＝1附近，取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x；②y＝x2；③y＝x3；④y＝中．平均变化率最大的是( )
A．④ B．③
C．② D．①
[答案] B
[解析] ①的平均变化率为1，②的平均变化率为2.3，③的平均变化率为3.99，④的平均变化率为－0.77.
2．一个物体的运动方程是s＝2t2＋at＋1，该物体在t＝1的瞬时速度为3，则a＝( )
A．－1 B．0
C．1 D．7
[答案] A
[解析] Δs＝2(1＋Δt)2＋a(1＋Δt)＋1－(2＋a＋1)＝2Δt2＋(4＋a)Δt，
由条件知 ＝ (2Δt＋4＋a)＝4＋a＝3，
∴a＝－1.
3．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则( )
A．f ′(x)＝a B．f ′(x)＝b
C．f ′(x0)＝a D．f ′(x0)＝b
[答案] C
[解析] ∵f ′(x0)＝
＝ ＝ (a＋bΔx)＝a.
∴f ′(x0)＝a.
4．f(x0)＝0，f ′(x0)＝4，则 ＝________.
[答案] 8
[解析]
＝2 ＝2f ′(x0)＝8.
5．某物体做匀速运动，其运动方程是s＝vt＋b，则该物体在运动过程中其平均速度与任何时刻的瞬时速度关系是________．
[答案] 相等
[解析] v0＝ ＝
＝ ＝ ＝v.
6．一物体做自由落体运动，已知s＝s(t)＝gt2(单位：m)．
(1)计算t从3s到3.1s、3.01s，两段内的平均速度；
(2)求t＝3s时的瞬时速度(取g＝9.8)．
[解析] (1)取一小段时间[3,3＋Δt]，此时物体的位置改变量Δs＝g(3＋Δt)2－g·32＝g(6＋Δt)Δt，
相应的平均速度＝＝(6＋Δt)
当Δt＝0.1时，即t从3秒到3.1秒＝29.89gm/s；
当Δt＝0.01时，即t从3秒到3.01秒＝29.449gm/s.
Δt越小，就越接近时刻t的速度．
(2)v＝ ＝ (6＋Δt)＝3g＝29.4m/s.
7．已知质点的运动方程为s＝t2＋t，求何时质点的速度为2.
[解析] 设在t0时刻质点的速度为2，
∵s＝t2＋t，
Δs＝(t0＋Δt)2＋(t0＋Δt)－(t＋t0)
＝t0·Δt＋(Δt)2＋Δt，
＝t0＋Δt＋1，
∴v＝
＝ (t0＋Δt＋1)
＝t0＋1.
由t0＋1＝2得t0＝2.
即t＝2时质点的速度为2.
1.已知函数y＝f(x)的图象如图，f′(xA)与f′(xB)的大小关系是( )
A．0>f′(xA)>f′(xB)
B．f′(xA)C．f′(xA)＝f′(xB)
D．f′(xA)>f′(xB)>0
[答案] B
[解析] f′(xA)和f′(xB)分别表示函数图象在点A，B处的切线斜率，故f′(xA)2．函数y＝－在点(，－2)处的切线方程是( )
A．y＝4x B．y＝4x－4
C．y＝4(x＋1) D．y＝2x＋4
[答案] B
[解析] y′＝ ＝ ＝ ＝，∴y′|x＝＝4，
∴切线的斜率为4.∴切线方程为y＝4－2，
即y＝4x－4.
3．设f(x)＝f ′(1)＋，则f(4)＝( )
A．2 B.
C. D．3
[答案] B
[解析] f ′(1)＝
＝
＝ ＝ ＝，
∴f(x)＝＋，
∴f(4)＝＋＝.
4．曲线y＝x3在点(1,1)处的切线与x轴，x＝2所围成的三角形的面积为________．
[答案]
[解析] y′＝ ＝3x2，所以k＝y′|x＝1＝3×1＝3，所以在点(1,1)处的切线方程为y＝3x－2，它与x轴的交点为，与x＝2的交点为(2,4)，所以S＝××4＝.
5．曲线y＝x2－3x上的点P处的切线平行于x轴，求点P的坐标．
[解析] 设P(x0，y0)，
Δy＝(x＋Δx)2－3(x＋Δx)－(x2－3x)
＝2x·Δx＋(Δx)2－3Δx，
＝＝2x＋Δx－3.
＝ (2x＋Δx－3)＝2x－3，
∴y′|x＝x0＝2x0－3，令2x0－3＝0得x0＝，
代入曲线方程得y0＝－，
∴P.
1．若y＝sinx，则y′| ＝( )
A. B．－
C. D．－
[答案] A
[解析] y′＝cosx，y′|＝cos＝.
2．两曲线y＝与y＝在交点处的两切线的斜率之积为________．
[答案] －
[解析] 两曲线y＝与y＝的交点坐标为(1,1)，
∴k1＝()′|x＝1＝－|x＝1＝－1，
k2＝()′|x＝1＝|x＝1＝.
∴k1·k2＝－.
3．曲线y＝x3在点(a，a3)(a≠0)处的切线与x轴，直线x＝a所围成的三角形的面积为，则a＝________.
[答案] ±1
[解析]
因为y ′＝3x2，所以曲线在(a，a3)处切线斜率为3a2，
切线方程为：y－a3＝3a2(x－a)所围成三角形如右图所示的阴影部分．
切线与x轴交于点A；x＝a与x轴交于点B(a,0)；切线与直线x＝a交于点M(a，a3)，
∵S△ABM＝·a3＝，，
∴a＝±1.
4．求过曲线y＝sinx上的点P且与在这点处的切线垂直的直线方程．
[解析] ∵y＝sinx，
∴y′＝(sinx)′＝cosx.
∴y′|x＝＝cos＝.
∴经过这点的切线的斜率为，从而可知适合题意的直线的斜率为－.
∴由点斜式得适合题意的直线方程为
y－＝－(x－)，
即x＋y－－π＝0.
1．设y＝－2exsinx，则y′等于( )
A．－2excosx B．－2ex(sinx＋cosx)
C．2exsinx D．－2exsinx
[答案] B
[解析] y′＝－2(ex)′sinx＋(－2)ex(sinx)′
＝－2exsinx－2excosx＝－2ex(sinx＋cosx)．
2．对任意的x，有f′(x)＝4x3，f(1)＝－1，则此函数解析式可以为( )
A．f(x)＝x4 B．f(x)＝x4＋1
C．f(x)＝x4－2 D．f(x)＝－x4
[答案] C
[解析] A中，f′(x)＝4x3，f(1)＝1，B中，f′(x)＝4x3，f(1)＝2，D中，f′(x)＝－4x3，故选C.
3．曲线y＝在点(－1，－1)处的切线方程为( )
A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1
C．y＝－2x－3 D．y＝－2x－2
[答案] A
[解析] ∵y′＝＝，
∴k＝y′|x＝－1＝＝2，
∴切线方程为：y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.
4．若函数f(x)＝exsinx，则此函数图象在点(4，f(4))处的切线的倾斜角为( )
A. B．0
C．钝角 D．锐角
[答案] C
[解析] y′|x＝4＝(exsinx＋excosx)|x＝4＝e4(sin4＋cos4)＝e4sin(4＋)<0，故倾斜角为钝角，选C.
5．曲线y＝x3＋x在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为________．
[答案]
[解析] ∵y′＝x2＋1，∴k＝2，切线方程y－＝2(x－1)，即6x－3y－2＝0，令x＝0得y＝－，令y＝0得x＝，∴S＝××＝.
6．已知曲线y＝－3lnx的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为________．
[答案] 3
[解析] y′＝－，令－＝，得x＝3或x＝－2，但原函数的定义域为(0，＋∞)，故x＝3.
7．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c通过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y＝x－3相切，求a、b、c的值．
[解析] ∵y′＝2ax＋b，∴x＝2代入得
4a＋b＝1，①
又抛物线过点(1,1)及(2,1)，
∴a＋b＋c＝1，②
4a＋2b＋c＝－1，③
由①②③联立得a＝3，b＝－11，c＝9.
8．已知函数f(x)＝x3＋x－16.
(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；
(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；
(3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．
[解析] (1)∵f ′(x)＝3x2＋1，
∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f ′(2)＝13.
∴切线的方程为13x－y－32＝0.
(2)解法一：设切点为(x0，y0)，
则直线l的斜率为f ′(x0)＝3x＋1，
∴直线l的方程为y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16，
又∵直线l过原点(0,0)，
∴0＝(3x＋1)(－x0)＋x＋x0－16，
整理得，x＝－8，∴x0＝－2，∴y0＝－26，k＝13.
∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
解法二：设直线l的方程为y＝kx，切点为(x0，y0)，
则k＝＝，
又∵k＝f ′(x0)＝3x＋1，∴＝3x＋1，
解之得，x0＝－2，∴y0＝－26，k＝13.
∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
(3)∵切线与直线y＝－＋3垂直，
∴切线的斜率k＝4.
设切点坐标为(x0，y0)，则f ′(x0)＝3x＋1＝4，
∴x0＝±1，∴，或.
∴切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)，切线方程为y＝4x－18或y＝4x－14.
即4x－y－18＝0或4x－y－14＝0.
1．二次函数y＝f(x)的图象过原点，且它的导函数y＝f ′(x)的图象是过第一、二、三象限的一条直线，则函数y＝f(x)的图象的顶点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[答案] C
[解析] 由题意可设f(x)＝ax2＋bx，f ′(x)＝2ax＋b，由于f ′(x)图象是过第一、二、三象限的一条直线，故2a>0，b>0，则f(x)＝a(x＋)2－，顶点(－，－)在第三象限，故选C.
2．设f ′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f ′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能的是( )
[答案] C
[分析] 由导函数f ′(x)的图象位于x轴上方(下方)，确定f(x)的单调性，对比f(x)的图象，用排除法求解．
[解析] 由f ′(x)的图象知，x∈(－∞，0)时，f ′(x)>0，f(x)为增函数，x∈(0,2)时，f ′(x)<0，f(x)为减函数，x∈(2，＋∞)时，f ′(x)>0，f(x)为增函数．
只有C符合题意，故选C.
3．函数y＝x3＋ax＋b在(－1,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，则( )
A．a＝1，b＝1 B．a＝1，b∈R
C．a＝－3，b＝3 D．a＝－3，b∈R
[答案] D
[解析] f ′(x)＝3x2＋a，由条件f ′(1)＝0，
∴a＝－3，b∈R.
4．已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程为y＝x＋2，则f(1)＋f ′(1)＝________.
[答案] 3
[解析] ∵切点M在切线y＝x＋2上，
∴f(1)＝×1＋2＝，
又切线斜率k＝，∴f ′(1)＝，
∴f(1)＋f ′(1)＝＋＝3.
5．若函数y＝－x3＋ax有三个单调区间，则a的取值范围________．
[答案] a>0
[解析] y′＝－4x2＋a，若y＝－x3＋ax有三个单调区间，则方程－4x2＋a＝0应有两个不等实根，故a>0.
6．已知f(x)＝x3＋ax2＋ax－2(a∈R)．若函数f(x)在(－∞，＋∞)上为单调递增函数，求a的取值范围．
[解析] 因为f ′(x)＝x2＋ax＋a(a∈R)，
由题意知：f ′(x)≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，
所以Δ＝a2－4a≤0，所以0≤a≤4.
故当0≤a≤4时，f(x)在R上单调递增．
1．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[－2,1]上的最大值、最小值分别是( )
A．12；－8 B．1；－8
C．12；－15 D．5；－16
[答案] A
[解析] y′＝6x2－6x－12，由y′＝0?x＝－1或x＝2(舍去)．x＝－2时y＝1，x＝－1时y＝12，x＝1时y＝－8.
∴ymax＝12，ymin＝－8.故选A.
2．函数y＝2－x2－x3的极值情况是( )
A．有极大值，没有极小值
B．有极小值，没有极大值
C．既无极大值也无极小值
D．既有极大值也有极小值
[答案] D
[解析] y′＝－3x2－2x＝－x(3x＋2)，
当x>0或x<－时，y′<0，
当－0，
∴当x＝－时取极小值，当x＝0时取极大值．
3．设函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋a在x＝±1处均有极值，且f(－1)＝－1，则a、b、c的值为( )
A．a＝－1，b＝0，c＝－1
B．a＝，b＝0，c＝－
C．a＝－3，b＝0，c＝－3
D．a＝3，b＝0，c＝3
[答案] C
[解析] ∵f ′(x)＝3x2＋2bx＋c，∴由题意得，
，即，
解得a＝－3，b＝0，c＝－3.
4．函数y＝的极大值为____________，极小值为____________．
[答案] 1，－1
[解析] y′＝，令y′>0得－1令y′<0得x>1或x<－1，∴当x＝－1时，取极小值－1，当x＝1时，取极大值1.
5．(2012·重庆文)已知函数f(x)＝ax3＋bx＋c在点x＝2处取得极值c－16.
(1)求a、b的值；
(2)若f(x)有极大值28，求f(x)在[－3,3]上的最小值．
[解析] (1)因f(x)＝ax3＋bx＋c，故f′(x)＝3ax2＋b，由于f(x)在点x＝2处取得极值c－16
故有，
即，化简得，
解得a＝1，b＝－12.
(2)由(1)知f(x)＝x3－12x＋c，
f′(x)＝3x2－12＝3(x－2)(x＋2)．
令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝2，
当x∈(－∞，－2)时，f′(x)>0，
故f(x)在(－∞，－2)上为增函数；
当x∈(－2,2)时，f′(x)<0，
故f(x)在(－2,2)上为减函数；
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，
故f(x)在(2，＋∞)上为增函数．
由此可知f(x)在x1＝－2处取得极大值f(－2)＝16＋c，f(x)在x2＝2处取得极小值f(2)＝c－16.
由题设条件知16＋c＝28，得c＝12.
此时f(－3)＝9＋c＝21，f(3)＝－9＋c＝3，
f(2)＝c－16＝－4，
因此f(x)在[－3,3]上的最小值为f(2)＝－4.
1．做一个圆柱形锅炉，容积为V，两个底面的材料每单位面积的价格为a元，侧面的材料每单位面积的价格为b元，当造价最低时，锅炉的底面直径与高的比为( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析]
如图，设圆柱的底面半径为R，高为h，则V＝πR2h.
设造价为y，则y＝2πR2a＋2πRhb＝2πaR2＋2πRb·＝2πaR2＋，
∴y′＝4πaR－.
令y′＝0并将V＝πR2h代入解得，＝.
2．以长为10的线段AB为直径画半圆，则它的内接矩形面积的最大值为( )
A．10 B．15
C．25 D．50
[答案] C
[解析] 如图，设∠NOB＝θ，则矩形面积S＝5sinθ·2·5cosθ＝50sinθ·cosθ＝25sin2θ，故Smax＝25.
3．某商品一件的成本为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出(200－x)件，要使利润最大每件定价为________元．
[答案] 85
[解析] 设每件商品定价x元，依题意可得
利润为L＝x(200－x)－30x＝－x2＋170x(0＜x＜200)．
L′＝－2x＋170，令－2x＋170＝0，解得x＝＝85.
因为在(0,200)内L只有一个极值，所以以每件85元出售时利润最大．
4．已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C＝100＋4q，价格p与产量q的函数关系式为p＝25－q，求产量q为何值时，利润L最大？
[分析] 利润L等于收入R减去成本C，而收入R等于产量乘价格，由此可得出利润L与产量q的函数关系式，再用导数求最大利润．
[解析] 收入R＝q·p＝q(25－q)＝25q－q2.
利润L＝R－C＝(25q－q2)－(100＋4q)＝－q2＋21q－100(0所以L′＝－q＋21.令L′＝0，
即－q＋21＝0，解得q＝84.
因为当00；
当84所以当q＝84时，L取得最大值，最大值为782.
答：当产量为84时，利润取得最大值782.
5．某厂生产某种产品的固定成本(固定投入)为2 500元，已知每生产x件这样的产品需要再增加可变成本C(x)＝200x＋x3(元)，若生产出的产品都能以每件500元售出，要使利润最大，该厂应生产多少件这种产品？最大利润是多少？
[解析] 设该厂生产x件这种产品利润为L(x)
则L(x)＝500x－2 500－C(x)
＝500x－2 500－
＝300x－x3－2 500(x∈N)
令L′(x)＝300－x2＝0，得x＝60(件)
又当0≤x<60时，L′(x)>0
x>60时，L′(x)<0
所以x＝60是L(x)的极大值点，也是最大值点．
所以当x＝60时，L(x)＝9 500元．
答：要使利润最大，该厂应生产60件这种产品，最大利润为9 500元．
