基础巩固强化
一、选择题
1．下列语句中命题的个数为( )
①{0}∈N；②他长得很高；③地球上的四大洋；
④5的平方是20.
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] C
[解析] ①④是命题，②③不是命题．地球上的四大洋是不完整的句子．
2．有下列命题：
①若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；②若a>b，则a＋c>b＋c；③矩形的对角线互相垂直．其中真命题共有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
[答案] B
[解析] 只有②中的命题是真命题．
3．下列语句中，不能成为命题的是( )
A．5>12
B．x>0
C．若a⊥b，则a·b＝0
D．三角形的三条中线交于一点
[答案] B
[解析] A是假命题；C、D是真命题，B中含变量x，未指定x的取值范围，无法判断真假，故不是命题．
4．下列命题正确的是( )
A．三点确定一个平面
B．两条直线确定一个平面
C．四边形确定一个平面
D．不共面的四点可以确定四个平面
[答案] D
[解析] 因为四点不共面，所以任意三点不共线，又不共线的三点确定一个平面，所以不共面的四点可以确定四个平面．
5．(2012·黔东南州高二检测)下列四个命题中，真命题是( )
A．a>b，c>d?ac>bd
B．aC.<?a>b
D．a>b，cb－d
[答案] D
[解析] ∵c－d，又∵a>b，∴a－c>b－d，故选D.
6．设a、b、c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则①(a·b)c＝(c·a)b；②|a|－|b|>|a－b|；③(b·c)a－(c·a)b与c垂直；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2中，是真命题的有( )
A．①② B．②③
C．③④ D．②④
[答案] C
[解析] 因为b、c不是共线向量，所以①是假命题．
②中的命题为假命题．
∵[(b·c)a－(c·a)b]·c＝(b·c)(a·c)－(c·a)(b·c)＝0，
∴(b·c)a－(c·a)b与c垂直，所以③中的命题是真命题．由(3a＋2b)(3a－2b)＝9a2－4b2＝9|a|2－4|b|2知④中的命题为真命题．∴选C.
二、填空题
7．下列语句是命题的是________．
(1)证明x2＋2x＋1≥0；
(2)你是团员吗？
(3)一个正数不是素数就是合数；
(4)若x∈R，则x2＋4x＋7>0.
[答案] (3)(4)
[解析] (1)(2)不是命题，(1)是祈使句，(2)是疑问句；而(3)(4)是命题，其中(3)是假命题，如正数既不是素数也不是合数；(4)是真命题，x2＋4x＋4＝(x＋2)2≥0恒成立，x2＋4x＋7＝(x＋2)2＋3>0恒成立．
8．给出下列命题
①若ac＝bc，则a＝b；
②方程x2－x＋1＝0有两个实数根；
③对于实数x，若x－2＝0，则(x－2)(x＋1)＝0；
④若p>0，则p2>p；
⑤正方形不是菱形．
其中真命题是________，假命题是________．
[答案] ③ ①②④⑤
[解析] c＝0时，①错；方程x2－x＋1＝0的判别式Δ＝－3<0，∴方程x2－x＋1＝0无实根；p＝0.5>0，但p2>p不成立；正方形的四条边相等，是菱形．因此①②④⑤都是假命题．
对于③，若x－2＝0，则x＝2，∴(x－2)(x＋1)＝0，故正确．
9．把命题“函数f(x)＝sinx是奇函数”改写成“若p，则q”的形式是________．
[答案] 若一个函数是f(x)＝sinx，则该函数是奇函数
[解析] 命题的条件是：若一个函数是f(x)＝sinx，结论是：该函数是奇函数．
三、解答题
10．判断下列命题的真假：
(1)形如a＋b的数是无理数；
(2)正项等差数列的公差大于零；
(3)奇函数的图象关于原点对称；
(4)能被2整除的数一定能被4整除．
[分析] 根据命题本身涉及的知识去判断真假．
[解析] (1)假命题．反例，若a＝1，b＝0，则a＋b为有理数．
(2)假命题．反例，正项等差数列为递减数列时，公差小于零，如数列20,17,14,11,8,5,2，它的公差为－3.
(3)真命题．
(4)假命题．反例，数2,6能被2整除，但不能被4整除.
基础巩固强化
一、选择题
1．设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是( )
A．若a≠－b，则|a|≠|b|
B．若a＝－b，则|a|≠|b|
C．若|a|≠|b|，则a≠－b
D．若|a|＝|b|，则a＝－b
[答案] D
[解析] 将原命题的条件改为结论，结论改为条件，即得原命题的逆命题．
2．命题：“若x2<1，则－1A．若x2≥1，则x≥1，或x≤－1
B．若－1C．若x>1，或x<－1，则x2>1
D．若x≥1，或x≤－1，则x2≥1
[答案] D
[解析] －1x2<1的否定为x2≥1，
故逆否命题为“若x≤－1或x≥1，则x2≥1”，故选D.
3．(2012～2013学年度安徽安庆市高二期末测试)命题“若ab＝0，则a＝0或b＝0”的逆否命题是( )
A．若a＝0或b＝0，则ab＝0
B．若ab≠0，则a≠0或b≠0
C．若a≠0且b≠0，则ab≠0
D．若a≠0或b≠0，则ab≠0
[答案] C
[解析] 命题“若ab＝0，则a＝0或b＝0”的逆否命题是“若a≠0且b≠0，则ab≠0”．
4．(2012·宿州高二检测)命题“若c<0，则方程x2＋x＋c＝0有实数解”，则( )
A．该命题的逆命题为真，逆否命题也为真
B．该命题的逆命题为真，逆否命题也假
C．该命题的逆命题为假，逆否命题为真
D．该命题的逆命题为假，逆否命题也为假
[答案] C
[解析] 如：当c＝0时，方程x2＋x＋c＝0有实数解，
该命题的逆命题“若方程x2＋x＋c＝0有实数解，则c<0”是假命题；
若c<0，则Δ＝1－4c>0，命题“若c<0，则方程x2＋x＋c＝0有实数解”是真命题，故其逆否命题是真命题．
5．命题“若a＝5，则a2＝25”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，假命题是( )
A．原命题、否命题 B．原命题、逆命题
C．原命题、逆否命题 D．逆命题、否命题
[答案] D
[解析] ∵原命题为真，逆命题为假，
∴逆否命题为真，否命题为假．
6．命题“当AB＝AC时，△ABC为等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是( )
A．4 B．3 C．2 D．0
[答案] C
[解析] “当AB＝AC时，△ABC为等腰三角形”为真，故逆否命题为真，
逆命题：“△ABC为等腰三角形，则AB＝AC”为假，
故否命题为假．
二、填空题
7．命题“若a>1，则a>0”的逆否命题是______命题(填“真”或“假”)．
[答案] 真
[解析] ∵原命题为真，∴其逆否命题为真．
8．命题“若x＝3，y＝5，则x＋y＝8”的逆命题是____________________；否命题是__________________，逆否命题是____________________．
[答案] 逆命题：若x＋y＝8，则x＝3，y＝5；
否命题：若x≠3或y≠5，则x＋y≠8；
逆否命题：x＋y≠8，则x≠3或y≠5.
9．命题“若函数f(x)＝ax＋b，则函数是一次函数”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．
[答案] 2
[解析] 命题“若函数f(x)＝ax＋b，则函数是一次函数”是假命题，故其逆否命题是假命题；该命题的逆命题是“若函数f(x)是一次函数，则函数f(x)＝ax＋b”为真命题，故其否命题是真命题．
三、解答题
10．把命题“全等三角形的面积相等”改写成“若p，则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题与逆否命题．
[解析] “若p，则q”的形式：
若两个三角形全等，则它们的面积相等．
逆命题：若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等．
否命题：若两个三角形不全等，则它们的面积不相等．
逆否命题：若两个三角形的面积不相等，则这两个三角形不全等.
基础巩固强化
一、选择题
1．(2012～2013学年度浙江宁波市重点中学高二期末测试)α≠是sinα≠1的( )
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] α≠?/ sinα≠1，sinα≠1?α≠，故选A.
2．(2013·天津文，4)设a，b∈R，则“(a－b)·a2<0”是“aA．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 本题结合充分条件，必要条件考查不等式的性质．
因为a2≥0，而(a－b)a2<0，所以a－b<0，即a3．(2012～2013学年度四川南部中学高二期末测试)“a＝－2”是“直线l1：(a＋1)x＋y－2＝0与直线l2：ax＋(2a＋2)y＋1＝0互直垂直”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 由l1⊥l2，得a(a＋1)＋2a＋2＝0，
解得a＝－1或a＝－2，
故选A.
4．(2012～2013学年度湖南益阳市一中高二期末测试)若a∈R，则“a＋1＝0”是“(a＋1)(a－2)＝0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
[答案] A
[解析] a＋1＝0?(a＋1)(a－2)＝0，
(a＋1)(a－2)＝0a＋1＝0，故选A.
5．(2013·浙江文，3)设α∈R，则“α＝0”是“sinαA．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 本题结合三角函数考查了充分条件，必要条件.
由α＝0可以得出sinα＝0，cosα＝1，sinα对命题“若p则q”，首行应分清条件是什么，结论是什么，然后尝试用条件推结论，用结论推条件．
6．(2012～2013学年度北京西城区高二期末测试)设x、y∈R，则“x<0且y<0”是“x＋y－4<0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件 D．充要条件
[答案] A
[解析] x<0且y<0?x＋y－4<0，
由x＋y－4<0x<0且y<0，故选A.
二、填空题
7．(2012～2013学年度陕西宝鸡中学高二期末测试)已知p：x＝3，q：x2＝9，则p是q的________条件．(填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要)
[答案] 充分不必要
[解析] x＝3?x2＝9，x2＝9 x＝3，
故p是q的充分不必要条件．
8．已知a、b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的________条件．
[答案] 充要
[解析] a>0且b>0?a＋b>0且ab>0，a＋b>0且ab>0?a>0且b>0，故填充要．
9．命题p：sinα＝sinβ，命题q：α＝β，则p是q的________条件．
[答案] 必要不充分
[解析] sinα＝sinβα＝β，α＝β?sinα＝sinβ，故填必要不充分．
三、解答题
10．下列各题中，p是q的什么条件？
(1)p：x＝1； q：x－1＝；
(2)p：－1≤x≤5； q：x≥－1且x≤5；
(3)p：三角形是等边三角形；
q：三角形是等腰三角形．
[解析] (1)充分不必要条件
当x＝1时，x－1＝成立；
当x－1＝时，x＝1或x＝2.
(2)充要条件
∵－1≤x≤5?x≥－1且x≤5.
(3)充分不必要条件
∵等边三角形一定是等腰三角形，而等腰三角形不一定都是等边三角形.
基础巩固强化
一、选择题
1．设x∈R，则x>2的一个必要不充分条件是( )
A．x>1 B．x<1
C．x>3 D．x<3
[答案] A
[解析] ∵x>2?x>1，但x>1x>2，∴选A.
2．若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] a＝1?|a|＝1，|a|＝1a＝1，故选A.
3．(2012·浙江文，4)设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋2y＋4＝0平行”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] C
[解析] 若l1∥l2，则2a－2＝0，∴a＝1，故选C.
4．已知直线a和平面α，那么a∥α的一个充分条件是( )
A．存在一条直线b，a∥b且b?α
B．存在一条直线b，a⊥b且b⊥α
C．存在一个平面β，a?β且α∥β
D．存在一个平面β，a∥β且α∥β
[答案] C
[解析] A选项中，有可能a?α，B，D选项中也有可能a?α，C选项中，∵α∥β，又a?β，∴a与α无公共点．
∴a∥α，故选C.
5．(2013·福建理，2)已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A?B”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 本题考查了充要条件的判断．
当a＝3时，A＝{1,3}，故A?B，若A?B?a＝2或a＝3，故为充分不必要条件．
6．(2012～2013学年度福建东山二中高二期末测试)已知p：|2x－3|<1，q：x(x－3)<0，则p是q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 由p：|2x－3|<1，得1<2x－3<1，∴1由q：x(x－3)<0，得0二、填空题
7．条件甲：“a>1”是条件乙：“a>”的______________条件．
[答案] 充要
[解析] a>1?a>成立；
反之：a>，即，解得a>1.
8．“lgx>lgy”是“>”的______________条件．
[答案] 充分不必要
[解析] 由lgx>lgy?x>y>0?>，充分条件成立．
又由>成立，当y＝0时，lgx>lgy不成立，必要条件不成立．
9．“a＝b”是“直线y＝x＋2与圆(x－a)2＋(y－b)2＝2相切”的________条件．
[答案] 充分不必要
[解析] 圆心为(a，b)，半径r＝.若a＝b，有圆心(a，b)到直线y＝x＋2的距离d＝r，所以直线与圆相切．若直线与圆相切，有＝，则a＝b或a－b＝－4，所以“a＝b”是“直线与圆相切”的充分不必要条件．
三、解答题
10．求不等式(a2－3a＋2)x2＋(a－1)x＋2>0的解集是R的充要条件．
[解析] 讨论二次项系数：
(1)由a2－3a＋2＝0，得a＝1或a＝2.
当a＝1时，原不等式为2>0恒成立，∴a＝1适合．
当a＝2时，原不等式为x＋2>0，即x>－2，它的解集不是R，
∴a＝2不符合．
(2)当a2－3a＋2≠0时，必须有
，
解得，
∴a<1或a>.
综上可知，满足题意的充要条件是a的取值范围是a≤1或a>.
基础巩固强化
一、选择题
1．下列语句：①的值是无限循环小数；②x2>x；③△ABC的两角之和；④毕业班的学生．
其中不是命题的是( )
A．①②③ B．①②④
C．①③④ D．②③④
[答案] D
[解析] 对于①能判断真假，对于②、③、④均不能判断真假．①是命题，②、③、④均不是命题．故选D.
2．“xy≠0”是指( )
A．x≠0且y≠0 B．x≠0或y≠0
C．x，y至少一个不为0 D．不都是0
[答案] A
[解析] xy≠0当且仅当x≠0且y≠0.
3．若命题p：1不是质数，命题q：2是合数，则下列结论中正确的是( )
A．“p∨q”为假 B．“p∨q”为真
C．“p∧q”为真 D．以上都不对
[答案] B
[解析] 命题p为真命题，命题q为假命题，故“p∨q”为真命题．
4．命题“p或q为真”是命题“q且p为真”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] B
[解析] 若p或q为真，则p、q一真一假或p、q均为真，若q且p为真，则q、p均为真，故选B.
5．(2012～2013学年度黑龙江鹤岗一中高二期末测试)设命题p：x>2是x2>4的充要条件；命题q：若>，则a>b，则( )
A．p∨q为真 B．p∧q为真
C．p真q假 D．p、q均为假
[答案] A
[解析] x>2?x2>4，x2>4?/ x>2，故p为假命题；由>?a>b，故q为真命题，∴p∨q为真，p∧q为假，故选A.
6．下列命题：①5>4或4>5；②9≥3；③“若a>b，则a＋c>b＋c”；④“正方形的两条对角线相等且互相垂直”，其中假命题的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] A
[解析] ①②为“p或q”形式的命题，都是真命题，③为真命题，④为“p且q”形式的命题，为真命题，故选A.
二、填空题
7．p：ax＋b>0的解集为x>－；
q：(x－a)(x－b)<0的解为a则p∧q是________命题(填“真”或“假”)．
[答案] 假
[解析] p中a的符号未知，q中a与b的大小关系未知，因此命题p与q都是假命题．
8．已知命题p：??{0}，q：{1}∈{1,2}．由它们构成的“p或q”、“p且q”形式的命题中真命题有________个．
[答案] 1
[解析] 命题p正确，命题q错误，故“p或q”为真，“p且q”为假．
9．分别用“p∧q”、“p∨q”填空．
(1)命题“0是自然数且是偶数”是________形式；
(2)命题“正数或0的平方根是实数”是________形式．
[答案] (1)p∧q (2)p∨q
三、解答题
10．分别指出下列各组命题构成的“p∧q”、“p∨q”形式的命题的真假．
(1)p：6<6，q：6＝6；
(2)p：梯形的对角线相等，q：梯形的对角线互相平分；
(3)p：函数y＝x2＋x＋2的图象与x轴没有公共点，
q：不等式x2＋x＋2<0无解；
(4)p：函数y＝cosx是周期函数，q：函数y＝cosx是奇函数．
[解析] (1)∵p为假命题，q为真命题，
∴p∧q为假命题，p∨q为真命题．
(2)∵p为假命题，q为假命题，
∴p∧q为假命题，p∨q为假命题．
(3)∵p为真命题，q为真命题，
∴p∧q为真命题，p∨q为真命题．
(4)∵p为真命题，q为假命题，
∴p∧q为假命题，p∨q为真命题.
基础巩固强化
一、选择题
1．已知命题p：x∈A∪B，则p的否定是( )
A．x?A且x?B B．x?A或x?B
C．x?A∩B D．x∈A∩B
[答案] A
[解析] x∈A∪B即x∈A或x∈B，
∴綈p：x?A且x?B.
2．如果命题“綈(p∨q)”为假命题，则( )
A．p、q均为真命题
B．p、q均为假命题
C．p、q至少有一个为真命题
D．p、q中至多有一个为假命题
[答案] C
[解析] “綈(p∨q)”为假命题，则“p∨q”为真命题，即p，q中至少有一个为真命题．
3．(2012～2013学年度浙江温州市十校联合高二期末测试)若命题“p∧q”和“綈p”都是假命题，则( )
A．p∨q为假命题 B．q为假命题
C．q为真命题 D．不能判断q的真假
[答案] B
[解析] ∵“綈p”是假命题，∴p是真命题．
又∵“p∧q”是假命题，∴q为假命题．
4．已知命题p：2是偶数，命题q：2是3的约数，则下列命题为真命题的是( )
A．p∧q B．p∨q
C．綈p D．(綈p)∧(綈q)
[答案] B
[解析] ∵p为真，q为假，∴綈p为假，綈q为真．
∴p∧q为假，p∨q为真，綈p为假，
(綈p)∧(綈q)为假．故选B项．
5．已知条件p：a≤1，条件q：|a|≤1，则綈p是綈q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 由|a|≤1得－1≤a≤1，
∴綈p：a>1，綈q：a<－1或a>1，
∴綈p?綈q，但綈q?/ 綈p，故选A.
6．如果命题“p或q”为真，命题“p且q”为假，则( )
A．命题p和命题q都是假命题
B．命题p和命题q都是真命题
C．命题p和命题“非q”真值不同
D．命题p和命题“非q”真值相同
[答案] D
[解析] “p或q”为真，“p且q”为假，则p、q一个真一个假，故命题p和命题“非q”真值相同．
二、填空题
7．已知p：不等式ax＋b>0的解集为{x|x>－}，q：关于x的不等式(x－a)(x－b)<0的解集为{x|a[答案] b≤a≤0
[解析] ∵p∨q为假命题，∴p，q均为假命题．p假?a≤0，q假?a≥b，则b≤a≤0.
8．已知p：x2－x≥6，q：x∈Z.若“p∧q”，“綈q”都是假命题，则x的值组成的集合为________．
[答案] {－1,0,1,2}
[解析] 因为“p∧q”为假，“綈q”为假，所以q为真，p为假．
故，即，因此x的值可以是－1,0,1,2.
9．已知命题p：x2＋2x－3>0，命题q：>1，若“綈q且p”为真，则x的取值范围是________．
[答案] (－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞)
[解析] 由x2＋2x－3>0，得x<－3或x>1，
∴p：x<－3或x>1.
由>1, 得<0，
∴2∴q：2若“綈q且p”为真，则有，
∴x<－3或1三、解答题
10．分别指出由下列各组命题构成的新命题“p∨q”、“p∧q”、“?p”的真假
(1)p：梯形有一组对边平行，
q：梯形有一组对边相等；
(2)p：不等式x2－2x＋1>0的解集为R，
q：不等式x2－3x－4<0的解集为?.
[解析] (1)p真、q假，所以“p∨q”为真，“p∧q” 为假，“?p”为假．
(2)不等式x2－2x＋1>0的解集为{x|x≠1}，∴p假；
不等式x2－3x－4<0的解集为{x|－1故“p∨q”为假，“p∧q”为假，“?p”为真.
基础巩固强化
一、选择题
1．下列命题中，全称命题的个数为( )
①平行四边形的对角线互相平分；②梯形有两边平行；
③存在一个菱形，它的四条边不相等．
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] C
[解析] ①②是全称命题，③是特称命题．
2．下列特称命题中真命题的个数是( )
①?x∈R，x≤0；②至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数；③?x∈{x|x是整数}，x2是整数．
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] D
[解析] ①②③都是真命题．
3．(2013·四川文，4)设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：?x∈A,2x∈B，则( )
A．綈p：?x∈A,2x∈B
B．綈p：?x?A,2x∈B
C．綈p：?x∈A,2x?B
D．綈p：?x?A,2x?B
[答案] C
[解析] 本题考查全称命题与特称命题的转化问题．
由命题p：?x∈A,2x∈B得綈p：?x∈A,2x?B.
4．(2012～2013学年度安徽安庆市高二期末测试)已知命题p：?x∈R，sinx≤1，则( )
A．綈p：?x∈R，sinx≥1
B．綈p：?x∈R，sinx≥1
C．綈p：?x∈R，sinx>1
D．綈p：?x∈R，sinx>1
[答案] D
[解析] 将“?”改为“?”，将“≤”改为“>”即可．
5．下列命题中，是真命题且是全称命题的是( )
A．对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2<0
B．菱形的两条对角线相等
C．?x∈R，＝x
D．对数函数在定义域上是单调函数
[答案] D
[解析] A中含有全称量词“任意的”，因为a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0；故是假命题．B、D在叙述上没有全称量词，但实际上是指“所有的”，菱形的对角线不一定相等，所以B是假命题，C是特称命题，故选D.
6．已知命题p：?n∈N,2n>1 000，则?p为( )
A．?n∈N,2n≤1 000 B．?n∈N,2n>1 000
C．?n∈N,2n≤1 000 D．?n∈N,2n<1 000
[答案] A
[解析] 特称命题的否定为全称命题，“>”的否定为“≤”．
二、填空题
7．命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是________．
[答案] 任意x∈R，使得x2＋2x＋5≠0
[解析] 特称命题的否定是全称命题，将“存在”改为“任意”，“＝”改为“≠”．
8．命题“过平面外一点与已知平面平行的直线在同一平面内”的否定为________．
[答案] 过平面外一点与已知平面平行的直线不都在同一平面内
[解析] 原命题为全称命题，写其否定是要将全称量词改为存在量词．
9．若命题“?x0∈R，使x＋(a＋1)x0＋1<0”是假命题，则实数a的取值范围为________．
[答案] [－3,1]
[解析] 原命题为特殊命题，其为假命题，故它的否定是“?x∈R，使得x2＋(a＋1)x＋1≥0”是真命题，故Δ＝(a＋1)2－4≤0，解得－3≤a≤1.
三、解答题
10．写出下列命题的否定并判断真假：
(1)不论m取何实数，方程x2＋x－m＝0必有实数根；
(2)所有末位数字是0或5的整数都能被5整除；
(3)某些梯形的对角线互相平分；
(4)被8整除的数能被4整除．
[解析] (1)这一命题可以表述为p：“对所有的实数m，方程x2＋x－m＝0都有实数根”，其否定是綈p：“存在实数m，使得x2＋x－m＝0没有实数根”，注意到当Δ＝1＋4m<0，即m<－时，一元二次方程没有实根，因此綈p是真命题．
(2)命题的否定是：存在末位数字是0或5的整数不能被5整除，是假命题．
(3)命题的否定：任一个梯形的对角线都不互相平分，是真命题．
(4)命题的否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除，是假命题.
