基础巩固强化
一、选择题
1．椭圆2x2＋3y2＝12的两焦点之间的距离是( )
A．2 B.
C. D．2
[答案] D
[解析] 椭圆方程2x2＋3y2＝12可化为：＋＝1，
a2＝6，b2＝4，c2＝6－4＝2，∴2c＝2.
2．椭圆5x2＋ky2＝5的一个焦点是(0,2)，那么k的值为( )
A．－1 B．1
C. D．－
[答案] B
[解析] 椭圆方程5x2＋ky2＝5可化为：x2＋＝1，
又∵焦点是(0,2)，∴a2＝，b2＝1，c2＝－1＝4，
∴k＝1.
3．已知方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是( )
A．－9C．168
[答案] B
[解析] 由题意得，解得84．已知椭圆＋＝1上一点P到其一个焦点的距离为3，则点P到另一个焦点的距离为( )
A．2 B．3
C．5 D．7
[答案] D
[解析] 设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，由椭圆定义知，|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，点P到另一个焦点的距离为7.
5．平面上到两点A(－5,0)、B(5,0)距离之和为8的点的轨迹是( )
A．椭圆 B．圆
C．线段 D．轨迹不存在
[答案] D
[解析] 设平面上任一点为P，则|PA|＋|PB|≥|AB|＝10，而8<10，∴轨迹不存在．
6．已知椭圆过点P和点Q，则此椭圆的标准方程是( )
A.＋x2＝1
B.＋y2＝1或x2＋＝1
C.＋y2＝1
D．以上都不对
[答案] A
[解析] 设椭圆方程为：Ax2＋By2＝1(A>0，B>0)，
由题意得，解得.
二、填空题
7．已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆与x轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为________．
[答案] ＋＝1
[解析] 由题意可得，∴，
故b2＝a2－c2＝3，所以椭圆方程为＋＝1.
8．过点(－3,2)且与＋＝1有相同焦点的椭圆方程是________．
[答案] ＋＝1
[解析] 因为焦点坐标为(±，0)，设方程为＋＝1，将(－3,2)代入方程可得＋＝1，解得a2＝15，故方程为＋＝1.
9．动点P到两定点A(－3,0)，B(3,0)距离之和为10，则点P的轨迹方程为________．
[答案] ＋＝1
[解析] ∵|AB|＝6<10，∴所求轨迹为以A、B为焦点的椭圆，由定义知a＝5，c＝3，∴b＝4，
∴方程为＋＝1.
三、解答题
10．已知椭圆的中心在原点，且经过点P(3,0)，a＝3b，求椭圆的标准方程．
[解析] 当焦点在x轴上时，设其方程为＋＝1(a>b>0)．由椭圆过点P(3,0)，知＋＝1，又a＝3b，解得b2＝1，a2＝9，故椭圆的方程为＋y2＝1.
当焦点在y轴上时，设其方程为＋＝1(a>b>0)．
由椭圆过点P(3,0)，知＋＝1，又a＝3b，联立解得a2＝81，b2＝9，故椭圆的方程为＋＝1.
故椭圆的标准方程为＋＝1或＋y2＝1.
基础巩固强化
一、选择题
1．椭圆＋＝1的离心率为( )
A. B.
C. D.
[答案] D
[解析] ∵a2＝16，b2＝8，
∴c2＝a2－b2＝8，
∴c＝2，
∴离心率e＝＝＝.
2．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( )
A．5,3,0.8 B．10,6,0.8
C．5,3,0.6 D．10,6,0.6
[答案] B
[解析] 椭圆方程化为标准方程为＋＝1，
∴椭圆的长轴长等于2a＝10，短轴长等于2b＝6，
离心率e＝＝＝0.8.
3．椭圆＋＝1与＋＝1(0A．有相等的长、短轴 B．有相等的焦距
C．有相同的焦点 D．x，y有相同的取值范围
[答案] B
[解析] ∵0∴25－k－9＋k＝16，
故两椭圆有相等的焦距．
4．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为( )
A. B.
C．2 D．4
[答案] A
[解析] 由题意＋x2＝1，且＝2，
∴m＝.故选A.
5．(2012～2013学年度浙江宁波市重点中学高二期末测试)已知焦点在y轴上的椭圆＋y2＝1，其离心率为，则实数m的值是( )
A．4 B.
C．4或 D.
[答案] B
[解析] 由题意，得a2＝1，b2＝m，
∴c2＝a2－b2＝1－m，
∴离心率e＝＝＝，
∴m＝.
6．椭圆的焦点在x轴上，长、短半轴之和为10，焦距为4，则椭圆的标准方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
[答案] A
[解析] 由题意得c＝2，a＋b＝10，
∴b2＝(10－a)2＝a2－c2＝a2－20，
解得a2＝36，b2＝16，故椭圆方程为＋＝1.
二、填空题
7．椭圆x2＋6y2＝6的短轴长等于________．
[答案] 2
[解析] 椭圆方程化为标准方程为＋y2＝1，故其短轴长等于2.
8．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为4的椭圆方程是________．
[答案] ＋＝1
[解析] 依题意得椭圆的焦点坐标为(0，)，(0，－)．
故c＝.又∵2b＝4，
∴b＝2，a2＝b2＋c2＝25，
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
9．已知B1、B2为椭圆短轴的两个端点，F1、F2是椭圆的两个焦点，若四边形B1F1B2F2为正方形，则椭圆的离心率为________．
[答案]
[解析] 如图，由已知得b＝c＝a，
∴e＝＝.
三、解答题
10．已知F1、F2为椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点，过F2作椭圆的弦AB，若△AF1B的周长为16，椭圆的离心率e＝，求椭圆的方程．
[解析] 由题意，得，∴a＝4，c＝2.
∴b2＝a2－c2＝4，所求椭圆方程为＋＝1.
基础巩固强化
一、选择题
1．(2012～2013学年度四川南部中学高二期末测试)双曲线3x2－4y2＝－12的焦点坐标为( )
A．(±5,0) B．(0，±)
C．(±，0) D．(0，±)
[答案] D
[解析] 双曲线3x2－4y2＝－12化为标准方程为－＝1，∴a2＝3，b2＝4，c2＝a2＋b2＝7，∴c＝，又∵焦点在y轴上，故选D.
2．已知方程－＝1表示双曲线，则k的取值范围是( )
A．－10
C．k≥0 D．k>1或k<－1
[答案] A
[解析] 由题意得(1＋k)(1－k)>0，∴(k－1)(k＋1)<0，∴－13．椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则m的值是( )
A．±1 B．1
C．－1 D．不存在
[答案] A
[解析] 验证法：当m＝±1时，m2＝1，
对椭圆来说，a2＝4，b2＝1，c2＝3.
对双曲线来说，a2＝1，b2＝2，c2＝3，
故当m＝±1时，它们有相同的焦点．
直接法：显然双曲线焦点在x轴上，故4－m2＝m2＋2.
∴m2＝1，即m＝±1.
4．(2012～2013学年度宁夏宁大附中高二期末测试)双曲线－＝1的焦距是( )
A．4 B．2
C．8 D．与m有关
[答案] C
[解析] 由题意知，a2＝m2＋12，b2＝4－m2，∴c2＝a2＋b2＝16，∴c＝4，故双曲线的焦距为8.
5．已知点F1(－4,0)和F2(4,0)，曲线C上的动点P到F1、F2距离之差为6，则曲线C的方程为( )
A.－＝1
B.－＝1(y>0)
C.－＝1或－＝1
D.－＝1(x>0)
[答案] D
[解析] 由双曲线的定义知，点P的轨迹是以F1、F2为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，其方程为：－＝1(x>0)
6．已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线与双曲线的左支交于A、B两点，线段AB的长为5，若2a＝8，那么△ABF2的周长是( )
A．16 B．18
C．21 D．26
[答案] D
[解析] |AF2|－|AF1|＝2a＝8，|BF2|－|BF1|＝2a
＝8，
∴|AF2|＋|BF2|－(|AF1|＋|BF1|)＝16，
∴|AF2|＋|BF2|＝16＋5＝21，
∴△ABF2的周长为|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝21＋5
＝26.
二、填空题
7．双曲线的焦点在x轴上，且经过点M(3,2)、N(－2，－1)，则双曲线标准方程是________．
[答案] －＝1
[解析] 解法一：设双曲线方程为：－＝1(a>0，b>0)
又点M(3,2)、N(－2，－1)在双曲线上，
∴，∴.
解法二：设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n<0)，则，解得.
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
8．(2012～2013学年度安徽安庆市高二期末测试)双曲线－y2＝1的一个焦点为F(3,0)，则m＝________.
[答案] 8
[解析] 由题意，得a2＝m，b2＝1，
∴c2＝a2＋b2＝m＋1，又c＝3，
∴m＋1＝9，∴m＝8.
9．方程＋＝1表示双曲线，则m的取值范围是________．
[答案] m>2或－1[解析] 方程＋＝1表示双曲线，
则(|m|－1)(2－m)<0，
解得m>2或－1三、解答题
10．讨论＋＝1表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征．
[解析] (1)当k<9时，25－k>0,9－k>0，
所给方程表示椭圆，
此时a2＝25－k，b2＝9－k，c2＝a2－b2＝16，
这些椭圆有共同的焦点(－4,0)，(4,0)．
(2)当90,9－k<0，
所给方程表示双曲线，
此时，a2＝25－k，b2＝k－9，c2＝a2＋b2＝16，这些双曲线也有共同的焦点(－4,0)，(4,0)．
(3)当k>25时，所给方程没有轨迹.
基础巩固强化
一、选择题
1．设双曲线－＝1(a>0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为( )
A．4 B．3
C．2 D．1
[答案] C
[解析] 双曲线－＝1(a>0)的渐近线方程为y＝±x，∴＝，∴a＝2.
2．(2013·福建文，3)双曲线x2－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( )
A. B.
C．1 D.
[答案] B
[解析] 双曲线x2－y2＝1的一个顶点为A(1,0)，一条渐近线为y＝x，则A(1,0)到y＝x距离为d＝＝.
3．(2013·北京理，6)若双曲线－＝1的离心率为，则其渐近线方程为( )
A．y＝±2x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
[答案] B
[解析] 本题考查双曲线的离心率及渐近线方程等几何性质．
因为离心率e＝，所以c＝a，即b＝a，由双曲线的焦点在x轴上，所以渐近线方程为y＝±＝±x.选B.
4．(2013·湖北文，2)已知0<θ<，则双曲线C1：－＝1，与C2：－＝1 ( )
A．实轴长相等 B．虚轴长相等
C．离心率相等 D．焦距相等
[答案] D
[解析] 本题考查双曲线的性质．
由双曲线的性质c2＝a2＋b2知，C1：c2＝sin2θ＋cos2θ＝1，C2：c2＝cos2θ＋sin2θ＝1.
∴C1与C2的焦距相等，故选D.
5．经过点M(2，－2)且与双曲线－＝1有相同渐近线的双曲线方程是( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
[答案] C
[解析] 设双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，把点M(2，－2)代入双曲线方程，得λ＝－＝－2，
∴双曲线方程为：－＝1.
6．(2012～2013学年度黑龙江鹤岗一中高二期末测试)下列双曲线，离心率e＝的是( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
[答案] B
[解析] 选项A中，a＝，b＝2，c＝，离心率e＝＝；选项B中，a＝2，b＝，c＝，∴离心率e＝＝；选项C中，a＝2，b＝，c＝2，离心率e＝＝；选项D中，a＝2，b＝，c＝，离心率e＝＝，故选B.
二、填空题
7．椭圆＋＝1与双曲线－y2＝1焦点相同，则a＝________.
[答案] ±
[解析] 由题意得4－a2＝a2＋1，∴2a2＝3，a＝±.
8．双曲线以椭圆＋＝1的焦点为焦点，它的离心率是椭圆离心率的2倍，该双曲线的方程为________．
[答案] －＝1
[解析] 椭圆＋＝1中，a＝5，b＝3，c2＝16，
焦点为(0，±4)，离心率e＝＝，
∴双曲线的离心率e1＝2e＝，
∴＝＝，∴a1＝，
∴b＝c－a＝16－＝，
∴双曲线的方程为－＝1.
9．若双曲线－＝1(a>0)的离心率为2，则a等于________．
[答案]
[解析] ∵c2＝a2＋9，∴c＝，
∴离心率e＝＝＝2，
解得a＝或a＝－(舍去)．
三、解答题
10．(1)求与椭圆＋＝1有公共焦点，且离心率e＝的双曲线的方程；
(2)求虚轴长为12，离心率为的双曲线的标准方程．
[解析] (1)设双曲线的方程为－＝1(4<λ<9)，则
a2＝9－λ，b2＝λ－4，
∴c2＝a2＋b2＝5，
∵e＝，∴e2＝＝＝，解得λ＝5，
∴所求双曲线的方程为－y2＝1.
(2)由于无法确定双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上，所以可设双曲线标准方程为－＝1(a>0，b>0)或－＝1(a>0，b>0)．
由题设知2b＝12，＝且c2＝a2＋b2，
∴b＝6，c＝10，a＝8.
∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
基础巩固强化
一、选择题
1．抛物线y＝2x2的焦点坐标是( )
A. B.
C. D.
[答案] D
[解析] 化为标准形式：x2＝y，∴2p＝，∴p＝，
∴焦点坐标为.
2．顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，过点(－2,3)的抛物线方程是( )
A．y2＝x
B．x2＝y
C．y2＝－x或x2＝－y
D．y2＝－x或x2＝y
[答案] D
[解析] ∵点(－2,3)在第二象限，
∴设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)或x2＝2p′y(p′>0)，
又点(－2,3)在抛物线上，
∴p＝，p′＝，
∴抛物线方程为y2＝－x或x2＝y.
3．抛物线y＝ax2的准线是y－2＝0，则a的值是( )
A. B．－
C．8 D．－8
[答案] B
[解析] 抛物线方程化为标准形式为x2＝y，由题意知a<0，且2p＝－，p＝－，
∴＝－＝2，∴a＝－.
4．(2012～2013学年度吉林省实验中学高二期末测试)抛物线y2＝4x上一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是( )
A．0 B.
C. D.
[答案] A
[解析] 设M(x0，y0)，则x0＋1＝1，
∴x0＝0，∴y0＝0.
5．过点F(0,3)且和直线y＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为( )
A．y2＝12x B．y2＝－12x
C．x2＝12y D．x2＝－12y
[答案] C
[解析] 由题意，知动圆圆心到点F(0,3)的距离等于到定直线y＝－3的距离，故动圆圆心的轨迹是以F为焦点，直线y＝－3为准线的抛物线．
6．抛物线x2＝4y上一点A的纵坐标为4，则点A到抛物线焦点的距离为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
[答案] D
[解析] 解法一：∵y＝4，∴x2＝4·y＝16，∴x＝4，
∴A(4,4)，焦点坐标为(0,1)，
∴所求距离为＝＝5.
解法二：抛物线的准线为y＝－1，∴A到准线的距离为5，
又∵A到准线的距离与A到焦点的距离相等．
∴距离为5.
二、填空题
7．(2012～2013学年度陕西宝鸡中学高二期末测试)若一条抛物线以原点为顶点，准线为x＝－1，则此抛物线的标准方程为________．
[答案] y2＝4x
[解析] 由题意可设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，且＝1，p＝2，故此抛物线的标准方程为y2＝4x.
8．(2013·北京文，9)若抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1,0)，则p＝________，准线方程为________．
[答案] 2 x＝－1
[解析] 本题考查抛物线的焦点坐标及准线方程. 由＝1知p＝2，则准线方程为x＝－＝－1.
9．以双曲线－＝1的中心为顶点，左焦点为焦点的抛物线方程是__________．
[答案] y2＝－20x
[解析] ∵双曲线的左焦点为(－5,0)，故设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，
又p＝10，∴y2＝－20x.
三、解答题
10．若抛物线y2＝2px(p>0)上一点M到准线及对称轴的距离分别为10和6，求M点的横坐标及抛物线方程．
[解析] ∵点M到对称轴的距离为6，
∴设点M的坐标为(x,6)．
∵点M到准线的距离为10，
∴，解得，或，
故当点M的横坐标为9时，抛物线方程为y2＝4x.
当点M的横坐标为1时，抛物线方程为y2＝36x.
基础巩固强化
一、选择题
1．已知P(8，a)在抛物线y2＝4px上，且P到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为( )
A．2 B．4
C．8 D．16
[答案] B
[解析] 根据题意可知，P点到准线的距离为8＋p＝10，可得p＝2，所以焦点到准线的距离为2p＝4，选B.
2．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为( )
A. B．1
C．2 D．4
[答案] C
[解析] 本题考查抛物线的准线方程，直线与圆的位置关系．
抛物线y2＝2px(p>0)的准线方程是x＝－，由题意知，3＋＝4，p＝2.
3．设抛物线y2＝8x的焦点为F，点P在此抛物线上且横坐标为4，则|PF|等于( )
A．8 B．6 C．4 D．2
[答案] B
[解析] 抛物线准线l：x＝－2，P到l距离d＝4－(－2)＝6，∴|PF|＝6.
4．抛物线y2＝2px与直线ax＋y－4＝0的一个交点是(1,2)，则抛物线的焦点到该直线的距离是( )
A. B.
C. D.
[答案] B
[解析] 由已知得抛物线方程为y2＝4x，直线方程为2x＋y－4＝0，抛物线y2＝4x的焦点坐标是F(1,0)，到直线2x＋y－4＝0的距离为d＝＝.
5．(2013·天津理，5)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p>0)的准线分别交于A、B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p＝( )
A．1 B.
C．2 D．3
[答案] C
[解析] 本题考查了双曲线、抛物线的几何性质与三角形面积．
∵＝2，∴b2＝3a2，双曲线的两条渐近线方程为y＝±x，不妨设A(－，)，B(－，－)，则AB＝p，又三角形的高为，则S△AOB＝××p＝，即p2＝4，又p>0，∴p＝2.
6．P为抛物线y2＝2px的焦点弦AB的中点，A、B、P三点到抛物线准线的距离分别是|AA1|、|BB1|、|PP1|，则有( )
A．|PP1|＝|AA1|＋|BB1| B．|PP1|＝|AB|
C．|PP1|>|AB| D．|PP1|<|AB|
[答案] B
[解析]
如图，
由题意可知|PP1|
＝，
根据抛物线的定义，得
|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BC|，
∴|PP1|＝＝|AB|.
二、填空题
7．若抛物线y2＝－2px(p>0)上有一点M，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，则点M的坐标为________．
[答案] (－9，－6)或(－9,6)
[解析] 由抛物线方程y2＝－2px(p>0)，得其焦点坐标为F，准线方程为x＝，设点M到准线的距离为d，则d＝|MF|＝10，即－(－9)＝10，∴p＝2，故抛物线方程为y2＝－4x.
将M(－9，y)代入抛物线方程，得y＝±6，∴M(－9,6)或M(－9，－6)．
8．沿直线y＝－2发出的光线经抛物线y2＝ax反射后，与x轴相交于点A(2,0)，则抛物线的准线方程为________．
[答案] x＝－2
[解析] 由抛物线的几何性质：从焦点发出的光线经抛物线反射后与轴平行，及直线y＝－2平行于抛物线的轴知A(2,0)为焦点，故准线方程为x＝－2.
9．过抛物线y2＝8x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，那么|AB|的值为________．
[答案] 10
[解析] 利用焦半径公式，|AB|＝|AF|＋|BF|即可求得．
三、解答题
10．一抛物线拱桥跨度为52m，拱顶离水面6.5m，一竹排上载有一宽4m，高6m的大木箱，问竹排能否安全通过？
[解析] 如图所示建立平面直角坐标系，
设抛物线方程为x2＝－2py，则有A(26，－6.5)，
设B(2，y)，由262＝－2p×(－6.5)得p＝52，
∴抛物线方程为x2＝－104y.
当x＝2时，4＝－104y，y＝－，
∵6.5－>6，∴能通过.
